CHAPITRE X. -— LES GÉQMÉTRIES NON EUCLIDIENNES
au point a^, a, ... est donné par la formule
cos V = ^- Z'bib'i,
et le plan perpendiculaire en a,, a^ ... à la droite (3) est
ZbiXi = o.
la droite qui passe par les points x^, x, ... et j,, y, ... et dont la longueur est c a pour équations
Xj sin ^{tï "" ?) -^ J'i sin/i<p
et en copiant pour ainsi dire lanalyse du S précédent, on trouve entre les angles et les côtés d'un triangle ABC les relations
cos h^ '-= cos h^ cos n^ -f- sin hi^r sin h^ cos A,
cos ^|v = cos h^ cos Aiw -i- sin /tw sin /i,v cos d,
cos /ifi = cos h^ cos /iw -h sin /iw sin /i ^ cos t..
et en général toutes les formules de la trigonométrie sphérique ou on change a en a \J — i , 6 en 6 \/ — i et c en c v^ — i .
3. L'horisphère. — Plaçons-nous dans un espace hyperbolique, soit
AjX^ + AjXg 4- A3X3 -f- A^X^ = o ;
l'équation d'un plan, par un point a^, a^, a.^, a^^ du plan menons une perpendiculaire de longueur / à ce plan, elle aura pour équations
Xj = «1 cos/i'f + 6j sin/icp, ...
pour o = o, on a Xj = a^, ... pour o = g, on a
hl , . hl X, = aiCOS-w = Oj sm j^, ...
l38 LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE GÉNÉRALE
et pour que la droite soit perpendiculaire au plan,. il faut que
Aj "" Aj — A3 -^ A, — v^^T*
Les coordonnées du point situé sur la perpendiculaire en a, a^ . . . menée au plan et à la distance / de ce point seront
V hl RA,
éliminant les a entre ces équations et
. . A^a^ -h A-^a2-h AjO, — A^a^ = o, on a Téquation de Vhorisphère.
c'est une équation non homogène du i*"^ degré, mais qu'il est facile de rendre homogène, en l'écrivant ainsi
^ l^' ~ s/z'A^ R ) ~Kl = °-
cos
La géométrie Euclidienne correspondant au cas où R = oo , dans les deux géométries que nous venons de considérer, pourrait s'appeler géométrie parabolique.
En géométrie sphérique, dans un triangle ABC qui a un angle droit B, on déduit de la formule
cos A = cos B ces G 4- sin B sin G ces w,
la suivante
ces A = sin G ces ^ ;
cos j. sin C peut être pris égal a i et même plus petit que i ; une
droite perpendiculaire à une droite peut rencontrer une autre perpendiculaire à cette droite. Au contraire en géométrie hyperbolique, dans le triangle rectangle en B, on a
cos A = sin G cos h n ;
et sin C cos h ji doit être inférieur ou au plus égal à i, pour que A
soit réel ; donc C < - . Non seulement deux perpendiculaires ne se
rencontrent pas, mais bien des obliques ne rencontrent pas la perpendiculaire située dans le même plan, le plus petit angle 2p donné par la formule
cos p =
cos h p
est Vangle de parallélisme; il dépend de la nature de Tespacë caractérisé par la constante R, et il dépend aussi de la dislance a qui sépare la perpendiculaire du point par lequel on mène Toblique.
l4^ LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE GÉNÉRALE
Le postulatum d'EucIide, au fond, suppose qu'un déplacement est une substitution orthogonale.
La géométrie sphérique ou de Biemann, suppose le déplacement défini par des formules telles que
avec les relations
^'i -h a?*, -4- x\ -h x*^, = R*; la géométrie hyperbolique suppose
x\ -h x\ -h x\ — ar*^ = R*.
les formules (i) ne sont plus orthogonales et Ton a
au^ -^ a^i^ -h a,i^ — a^^ = i, ùuOij -h a^iCi^j H- a^iù^j — a^iO^y = o.
Les formules de la géométrie Euclidienne sont homogènes par rapport aux lignes, quand Tunité ne joue aucun rôle dans ces formules. C'est là un fait qui est incontestable, et qui résulte de ce que les formules fondamentales sont homogènes ; mais on a cru démontrer cette homogénété à priori, et sans s'appuyer sur aucune considération tirée des théorèmes de la géométrie. Or le principe d'homogénété, s'il était \rai, servirait à démontrer le postulatum d Euclide, car, dans un triangle, un angle est fonction d'un côté et des deux autres angles ; puisque, un triangle est déterminé quand on donne un côté a et les angles adjacents B et C, donc en appelant A le 3« angle, on aurait A == ç(a,B,G), d ou a doit disparaître, en vertu de Thomogénété; donc A = p(B,C), et dans un triangle rectangle, si B = ^, A est déterminé quand C l'est, car la fonction f
et son inverse n ont qu'une valeur. Il n'est pas difficile alors, en décomposant un triangle en deux triangles rectangles, au moyen d'une hauteur, de voir sur cette figure, que A -f- B 4- G == ir.
D'ailleurs les formules de la trigonométrie sphérique et hyperbolique ne sont pas homogènes.
4. L'espace homogrephique. — Nous allons édifier un nouveau type de géométrie, mais auparavant, il est nécessaire de dire ce que Ton entend par un groupe de substitutions, considérons une substitution
(i = I, a ... fi)
Supposons que les fonctions f renferment outre les variables x^ ... Xn, des paramètres variables, comme les substitutions orthogonales, voir même des fonctions arbitraires, la substitution (i) en représentera en réalité une infinité, et ces substitutions formeront un groupe, si en eiTectuant deux substitutions quelconques de cet ensemble successivement, on obtient une nouvelle substitution de cet ensemble, et si de plus, les substitutions obtenues en résolvant les équations (i) font encore partie de l'ensemble. Enfin pour certaines valeurs de paramètres, on doit avoir o^ = x,. Les substitutions orthogonales sont un exemple de substitutions formant un groupe.
Les déplacements dans l'espace ordinaire Euclidien et a trois dimensions que Thomme a créé, pour expliquer et coordonner ses sensations, forment un groupe; mais en réalité les déplacements forment-ils un groupe ? Les objets sensibles, peuvent-ils prendre deux fois la même place ? il semble que oui, mais cela n'est pas sûr. Or ce qui fait que l'étude de la géométrie est intéressante, c'est précisément parce que nous admettons la notion d'égalité des figures, notion qui n'existe que parce que nous admettons que les déplacements forment un groupe.
Les diverses géométries que Ton peut édifier sont donc au fond l'étude des groupes de substitutions • et de leurs invariants, et par invariants nous entendons tout ce qui subsiste quand on fait les substitutions du groupe que l'on considère.
Un groupe important, le premier de ceux qui a été étudié, est le groupe linéaire, il donne lieu à la considération de Tespace homographique, les formules
(I) Vi =
OÙ les au sont des paramètres indépendants des Xj qui définiront maintenant les déplacements sans changement de forme. Une équation de premier degré
k^x^ H- A^X^ ... -\- knXn -4- Aq == O
représentera toujours ce que nous appellerons un plan, n — i équations du premier degré ou des équations de la forme
{2) x^ = «jP -f- Pj. ... Xn — a„p -+- P„,
où les a et les jS sont constants et p variable, représenteront toujours une droite.
Un déplacement, évidemment, n'altère pas le degré d'une équation, une droite, un plan déplacés sont encore une droite, un plan. Mais la notion de distance n'existe plus en général, pas plus que la notion d'angle, deux points n'ont pas en général d'invariant.
Quatre points
ont un invariant quand ils sont en ligne droite; cet invariant, que l'on appelle leur rapport anharmonique, est donné par les formules
i^-x!^ . ar/3) ,./»)
ou « peut être à volonté égal à 1,1, ,..n. Pour le démontrer, il suffit de mettre les équations de la droite contenant ces points sous la forme (-2), d'y changer jSj, /B^, jSj, jS* et x en y, ce qui donne
j 0) ^ aipi -^ P, ... j„(') = a„pi H- p„
de faire la substitution (i) ce qui donne
pour constater que
•^'^ -^. ^/^^-^.^'^ = p. - H , Pa-P> ,t,.
a;,(') atjW a^/î) ajjW Pi — P* ' Pa — Pt
COxNCXUSION 1 43
Il y a des points que toute substitution linéaire laisse invariants, on les obtient en faisant dans (i)
ce qui donne
Ko ■+- «10^1 -^ •••) ^i = «Oi- -^ «li-^l + •••
ces équations sont du deuxième degré en iCi, aj„, on peut lès mettre sous la forme
api + auXi -4- . .. _____ ^ 00 H- «ipac ... ^ ou en les rendant homogènes et en supposant x^ = i
ou enfin
^Qi^O -+■ ^ii^i -h ... ___ «00 -i- «ipa^l -f- ... ___
Si^o H- aji^-j ... + a„ia:„ = sxi {1 = 1,2 ... a)
l'élimination des x donne une équation du degré n -\- 1 en s.
(Iqq — s, CjQ ... Gno
Si «Il "- «» ••• ««1
à chacune des racines de cette équation correspondra un système de valeurs des x. Il y aura donc n -{- i points invariants et par suite des droites invariantes joignant les points invariants, etc.
Bien entendu, ces conclusions sont soumises à des restrictions.
Maintenant nous allons diminuer la généralité de nos conclusions pour obtenir des résultats plus conformes à l'idée que nous nousfesons de l'espace que nous croyons réel.
L'homologie. — Considérons le cas particulier où les formules homographiques sont de la forme
elles forment un groupe
1^4 ^ GÉOMÉraiE ANALYTIQUE GÉïVBftALB
On voit que le point x^ = o, x, = o ... reste inTariant, c'est le centre dhomologie oa VœU. Les points dn plan
a,x, -f- Oj^f •-. = 1
restent invariants, c'est le plan du tableau. Le rapport anharmonique est toujours invariant pour 4 points en ligne droite.
Réduisons le nombre n à 3 pour nous rapprocher, de nos apparences, désignons par Ti T, .,. les opérations qui ont pour objet de faire une substitution
x^ ar, x,
^' — axi-h6x, -hcx3-hcf -^* — ... ' ^* ~ ...
désignons en outre par Di D, ... de simples déplacements par D'|, D'^ ... les opérations qui ont pour objet de remettre en place les figures sur lesquelles on a opéré les déplacements D, D,... enfin par Dî Tj l'opéraliGn résultant de l'opération T^ suivie de l'opération Di. Les opérations D'^ TDi sont représentées par des formules linéaires qui forment un groupe, car
D'.T.DiD'iTA revient à D'^T^T^Df, les opérations T'.DTj également, car les opérations D forment un groupe.
Si donc on considère un objet réel dans diverses positions et l'objet bomologique qui en est une sorte d'image, ces images, pour nous, changeront de forme, en supposant, a, 6, c invariables. Le point y,, y^, y.j^ étant joint au point x^^ x^, x^, la droite qui unit CCS points aura pour équations
ou
ou
ri — a-.
ri -
Xs — as,
Xa
elle passe par l'œil ; on peut supposer
ax, -h bx^ -+- cxj -h (f = X3 — h
CdNCLUSIOM 145
rintersectîon de la droite en question avec le tableau X, ==" h, aura pour coordonnées
Xh ^ h
C'est ce qu'on appelle la perspective du point y^, ja, y^, perspective dont les propriétés sont bien connues. La figure homologique d'une figure donnée est ce qu'on appelle la perspective relief ou bas-relief de ce tle fîgu re .
Or, nous ne voyons que les bas-reliefs des objets, et même que les perspectives de ces objets quand l'œil reste immobile, ou varie peu par rapport aux dimensions de ces objets. N'oublions pas alors, que les apparences sont trompeuses, n'oublions pas qu'il a été dangereux de proclamer que la lune était plus grande que le Péloponèse, même chez les Athéniens.
La similitude est un groupe de transformations que Ton obtient en faisant successivement des déplacements euclidiens et des substitutions de la forme
jj = kx^ ... y„ = /fx„
k désignant un paramètre variable, mais indépendant des x et des y. Ces dernières substitutions sont des homolhelies. Elles ont, comme on sait, pour invariants les angles, mais la distance n*est pas, en général invariante.
Enfin il y a un groupe de transformations très intéressantes à cause des analogies qu'elles présentent avec les transformations orthogonales ; ce sont les suivantes :
Sjj = a ,H- c^^x^ H- c^^x^ H- C^Xu, Ji = «2 4- c^^x^ -h c^^x^ -+- c^„x„,
les a et les c,y sont indépendants des x et des y et les Cij sont les cpefHcients d'une substitution qui n'altère pas une fonction du second degré homogène toujours positive
et que nous avons appris à former p. (118). Si Ton appelle déplacement sans changement de forme une substitution telle que (A),
Laubbnt. — La Géométrie analytique générale lO
i46 LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE GÉNÉRALE
distance de deux points x^x^ ... et x'j, x\ ... la quantité & donnée par la formule
â sera un invariant.
On pourra mettre les équations de deux droites sous la forme
OTi = Y, -h §j<, ... Xn = Yn -f- S„^ X, = y\ 4- 8V» - ^n = ï'n -h ^'nt
les y et les (^ désignant des constantes et / une variable on pourra supposer
A8.,8,...)=i.A8'.,8',-)='; et alors on appellera cosinus de l'angle des deux droites l'invariant
8'./.(8'.. 8', •••) + *,/,(8'.. 8', •••) + ••• qui est égal à
formules où
Ji[X,,X^ ^^
à l'aide de ces conventions on pourra constituer une géométrie qui ressemblera beaucoup à la géométrie Euclidienne.
En parlant des groupes de substitutions, nous n'avons fait qu'effleurer un sujet extrêmement vaste et qui est appelé à jeter un jour éclatant et nouveau sur toutes les branches de l'analyse, ce qui précède n'est qu'unç introduction à cette théorie dont toute l'importance a été mise en relief par le géomètre Suédois Sophus Lie.
Une dernière question. — Et maintenant que nous sommes fixés sur la nature des hypothèses fondamentales sur lesquelles est fondée notre géométrie Euclidienne, il se pose une question :
Est-îl possible d'édifier une géométrie rigoureuse dans ses principes, claire dans son exposition, sans se servir de l'appareil algébrique et trop transcendant dont nous avons fait usage ?
Peut-être, car nous ne pouvons prévoir les découvertes que nous ménage l'avenir. Dans l'état actuel de la science, cela parait bien
difGcile, car il faudra définir le déplacement sans changement de forme auquel est liée Tidée de nombre ; celte idée du nombre est indépendante de tout système de numération, car c'est un symbole qui sert à distinguer les quantités égales entre elles de celles qui leur sont supérieures ou inférieures, ce symbole peut être une forme géométrique sur laquelle il faudra chercher à définir l'égalité et Taddition d'une façon qui comportera beaucoup d'arbitraire et quoi que Ton imagine, la géométrie que Ton édifiera devra nécessairement s'appliquer à une foule de figures très différentes et portant le même nom.
Le plan, la ligne droite, Tangle, la distance devront être les invariants des déplacements sans changement de. forme, et on devra pouvoir démontrer facilement le postulatum d'Euclide. La grosse difficulté sera la définition du déplacement sans changement de forme.
