CHAPITRE X. — LES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES l
passant par Zj ... et a^i .., la distance de ces points étant 6, Tangle C des droites (4) et (5) sera dqnné par la formule
Z I — y-cos/TT — ©W^icosç II — XjCos/g — o'j-j-ZiCOso' I
R2cosC =
ou Ton devra faire
on aura alors
. a . 6 sin -^ sm ^
'^ ces Cl sm 1^ sin w = 2rc,yj -h Sz»^ ces w cos jv
— LyiZi cos ^ — Sxi^i cos g.
c'est-à-dire
•* cos Ci sm j^ sm |^ = iV cos |^ + R' cos |^ cos w — 2 R^ cos ^ cos ^ ,
ou enfin
cos j. = cos w cos ^ -t- cos G sm ^ sm ^ •
C'est la relation qui existe entre les angles et les côtés d'un triangle ; de cette formule et de ses analogues
cos |C = cos n cos w -h cos A sm t» «m ^ ,
6 a c -Tk - c > a
cos ^ = cos |v cos ^ -h cos B sm ^ sm w ,
on lire toutes les formules de la trigonométrie sphérique;
2. Espaces Hyperboliques. Géométrie de Bolyai. — Plaçons nous dans l'espace hyperbolique, dans lequel les coordonnées Xi ... ^4 d'un point sont liées entre elles par la relation
^'i -+- ^% -^ ^\ — ^\ = ^'i et pour abréger posons
*l + «2 H- «3 — O^ = X'ofi,
t36 LÀ GÉOMliTIUE ÀNÀLTTIQUE GENERALE
on pourra écrire
Le déplacement sans changement de forme, sera la substitution linéaire I
^» = ««Jl -*- «i^8 ••» ^^4^4» (i = I, 2. 3. 4) I
dans laquelle on aura '
H'CLipUiq = O, 2'a% = I .
alors on aura
l,'x\ = ZYi = R*.
Toute équation homogène et du premier degré en x^, x^, Xj, x^ représentera un plan, deux équations linéaires homogènes représenteront une droite.
Les équations d'une droite seront alors de la forme
x^ = ajii -t- b^Vf ...
ou plus élégamment (en suivant une analyse semblable à celle que nous avons développée au S précédent)
^i). x, = otj CCS h^ -h fej sin /lo, ...
la longueur de Tare de. courbe sera
cl la longueur de Tare de droite (i) sera
R(?i - -Po)-
Tangle A de deux lignes se rencontrant en x^, acj, x.^, x^, sera donné par la formule de définition
1 ^i^X: dX:
S et s' désignant les longueurs des arcs au point commun ; l'angle V de deux droites
(a) rcj = flj ces h^ h- 6, sin h^, ...
x^ = a, C08 h^' -h b\ sin M, ...
