LIVRE SECOND

étoient compris entre deux lignes droites. C'est pourquoi je croirai avoir mis ici tout ce qui est requis pour les éléments des lignes courbes, lorsque j'aurai généralement donné la façon de tirer des lignes droites qui tombent à angles droits sur tels de leurs points qu'on voudra choisir. Et j'ose dire que c'est ceci le problème le plus utile et le plus général, non seulement que je sache, mais même que j'aie jamais désiré de savoir en géométrie.

Soit CE (fig. i2) la ligne courbe, et qu'il faille tirer une ligne droite par

Ftg, i2.

le point C, qui fasse avec. elle des angles droits. Je suppose la chose déjà faite, et que la ligne cherchée est GP, laquelle je prolonge jusqu'au point P, où elle rencontre la ligne droite G A, que je suppose être celle aux points de laquelle on rapporte tous ceux de la ligne GE; en sorte que faisant MA on GB = y, et GM ou BA = a;, j'ai quelque équation qui explique le rapport qui est entre x et y; puis je fais PG = s, et PA = v, ou PM = v — y; et à cause du triangle rectangle PMG, j'ai s*, qui est le carré de la base, égal à a?* 4- v' — 2^1/ -h t/*, qui sont les carrés des deux côtés; c'est-à-dire

jai

X = Ks' — v' -h 2v»/ — 2/',

ou bien

et par le moyen de cette équation, j'ôte de l'autre équation, qui m'explique le rapport qu'ont tous les points de la courbe GE à ceux de la droite GA, l'une des deux quantités indéterminées x ou y; ce qui est aisé à faire en mettant partout

Ks* — V* -+- 2vt/ — 2/"

au lieu de ac, et le carri de cette somme au lieu de x*, et son cube au lieu

Descartes. — Géométrie. V*

Façon générale pour trouver des

lignes droites, qui coupent les courbes données ou leurs contingentes, à

angles droits.

de x', et ainsi des autres, si c'est x que je veuille ôter; ou bien si c'est t/, en mettant en son lieu

€i le carré ou le cube, etc., de cette somme au lieu de y* ou y*, etc. De façon qu'il reste toujours après cela une équation en laquelle il n'y a plus qu'une seule .quantité indéterminée x ony.

Comme si CE est une ellipse, et que MA soit le segment de son diamètre, auquel CM soit appliquée par ordre, et qui ait r pour son côté droit et q pour le traversant, on a, par le treizième théorème du premier livre

d'Apollonius, a?* =z ry t/*, d'où ôtant x", il reste

s* — V* -H 2vi/ —y* = ry y%

ou bien

qry

2qvy -h qv* — qs* q — r '

car il est mieux en cet endroit de considérer ainsi ensemble toute la somme que d'en faire une partie égale à l'autre.

Tout de même si CE (fig. 13) est la ligne courbe décrite par le mouve-

Fig. iS.

ment d'une parabole en la façon ci-dessus expliquée (page 18), et qu'on ait posé h pour GA, c pour KL, et d pour le côté droit du diamètre KL en la parabole, l'équation qui explique le rapport qui est entre x et y est

2/* — hy^ — cdy -h hcd + dxy = 0,