LIVRE SECOND

d'où ôtant x on a

' — ^y* — cdy + hcd h- dy V^ — v' -f- 2vî/ — y' = 0;

et remettant en ordre ces termes par le moyen de la multiplication, il vient

y» 2by» + (6* — 2cd 4- d") t 4- (4bcd — 2d*r) y»

4- (c«d« — d*s* 4- d«v» — 2b*cd) y» — 26c«d«t/ + 6'c*d« == 0,

et ainsi des autres.

Même, encore que les points de la ligne courbe ne se rapportassent pas en la façon que j'ai dit à ceux d'une ligne droite, mais en toute autre qu'on sauroit imaginer, on ne laisse pas de pouvoir toujours avoir une telle équation. Comme si CE (fig, i4) est une ligne qui ait tel rapport aux trois

Ftg. 14.

points F, G et A, que les lignes droites tirées de chacun de ses points commfe C jusques au point F, surpassent la ligne FA d'une quantité qui ait certaine proportion donnée à une autre quantité dont G A surpasse les lignes tirées des mêmes points jusques à G. Faisons GA = b, AF = c, et prenant à discrétion le point C dans la courbe, que la quantité dont CF surpasse FA, soit à celle dont G A surpasse G G, comme d k e; en sorte que si cette quan-

tité qui est indéterminée se nomme z, CF est c 4- z, et GC est 6 — -z.

Puis posant MA = y, GM est h — y, et FM est c 4- y, et à cause du triangle rectangle CM G, ôtant le carré de G M du carré de GC, on a le carré de CM, qui est

puis ôtant le carré de FM du carré de CF, on a encore le carré de CM en d'autres termes, à savoir z* 4-'2cz — 2c j/ — y*; et ces termes étant égaux

aux précédents, ils font connoître t/ ou MA, qui est

d*z* + 2cd*z — e'z' -h 2hd ez

et substituant cette somme au Heu de y dans le carré de CM, on trouve qu'il s'exprime en ces termes :

b(Pz^ -h cé^z* + ^bcd^z — 2hcdez ^ 6d« 4- cd' ' ""^'

Puis supposant que la ligne droite PC rencontre la courbe à angles droits au point C, et faisant PC = set PA = v comme devant, PM est v — y; et à cause dû triangle rectangle PCM, on as' — v' -i- 2vy — y* pour le carré de CM, ou derechef, ayant au lieu de y substitué la somme qui lui est égale, il vient

. 26cd*z — 2hcdez — 2cd^vz — 2hdevz — [>dVH- 6d*v* — cdV-+-cd"v'

^ -^ ir^i i i 3i = ^

oa' 4- ce' + e'v — a'v

pour Téquation que nous cherchions.

Or après qu'on a trouvé une telle équation, au lieu de s'en servir pour connoître les quantités x, ou y, ou z, qui sont déjà données, puisque le point C est donné, on la doit employer à trouver v ou s, qui déterminent le point P qui est demandé. Et à cet effet il faut considérer que si ce point P est tel qu'on le désire, lé cercle dont il sera le centre, et qui passera par le point C, y touchera la ligne courbe CE sans la couper; mais que si ce point P est tant soit peu plus proche ou plus éloigné du point A qu'il ne doit, ce cercle coupera la courbe, 'non seulement au point C, mais aussi nécessairement en quelque autre. Puis il faut aussi considérer que lorsque ce cercle coupe la ligne courbe CE, l'équation par laquelle on cherche la quantité x ou j/, ou quelque autre semblable, en supposant P A et PC être connues, contient nécessairement deux racines qui sont inégales. Car par exemple, si ce cercle coupe la courbe aux points C et E (fig. 15), ayant tiré EQ parallèle à CM, les noms des quantités indéterminées xeiy conviendront aussi bien aux lignes EQ et QA qu à'CM et M A; puis PE est égale