LIVRE SECOND

à PC à cause du cercle, si bien que cherchant les lignes EQ et Q A, par PE et PÀ qu'on suppose comme données, on aura la même équation que si on

Fig. i5.

cherchoit CM et MA par PC, PA; d*où il suit évidemment que la valeur de X ou de i/, ou de telle autre quantité qu'on aura supposée, sera double en pette équation, c'est-à-dtre qu'il y aura deux racines inégales entreelles, et dont Tune sera CM, l'autre EQ, si c'est x qu'on cherche, ou bien l'une sera MA et l'autre QA, si c'est y; et ainsi des autres. Il est vrai que si le point £ ne se trouve pas du même côté de la courbe que le point C, il n'y aura que l'une de ces deux racines qui soit vraie, et l'autre sera renversée ou moindre que rien : mais plus ces deux points C et E sont proches l'un de l'autre, moins il y a de différence entre ces deux racines; et enfin elles sont entièrement égales, s'ils sont tous deux joints en un, c'est-à-dire si le cercle qui passe par C y touche la courbe CE sans la couper.

De plus il faut considérer que lorsqu'il y a deux racines égales en une équation, elle a nécessairement la même forme que si on multiplie par soimême la quantité qu'on y suppose être inconnue, moins la quantité connue qui lui est égale, et qu'après cela, si cette dernière somme n'a pas tant de dimensions que la précédente, on la multiplie par une autre somme qui en ait autant qu'il lui en manque, afin qu'il puisse y avoir séparément équation entre chacun des termes de l'une et chacim des termes de l'autre.

Comme par exemple, je dis que la première équation trouvée ci-dessus, à savoir

qry — ^qvy -H qv* — gs'

doit avoir la ihême forme que celle qui se produit en faisant e égal à i/, et

multipliant y — e par soi-même, d'où il vient y* — 2ey -h é*y en sorte

qu'on peut comparer séparément chacun de leurs termes, et dire que puisque

le premier qui est y*^ est tout le même en l'une qu'en l'autre, le second qui

qry — ^gvy

est en l'une ^—^ — > est égal au second de l'autre qui est — 2ci/ ;

r 1 d'où cherchant la quantité v qui est la ligne PA, onav=e ^ + 0*'»

ou bien à cause que nous avons supposé e égal à y, on a v =: a/ — r -y h- -r.

Et ainsi on pourroit trouver s par le troisième terme e* = — ; mais

pourceque la quantité v détermine assez le point P, qui est le seul que nous cherchions, on n'a pas besoin de passer outre. Tout de même la seconde équation trouvée ci-dessus, à savoir

rf — 2bt/ -H (6* — 2cd -h â}) 1/^ + (4bcd — 2d*v) y»

-h (c'd* — 2Vcd 4- d'v» — d*8«) y* — 26c* d't/ -+- Vc'd},

doit avoir même forme que la somme qui se produit lorsqu'on multiplie

t/» — 2 ey 4- e* par t/^ 4- fy^ 4- g^y^ 4- h^y 4- fe* qui est

y' ^{f— 2e) y' 4- {9^ — ^ef 4- e») y' 4- (/i» - 2eg* 4- e^f) y'