LIVRE TROISIEME

quantité, cela témoigne que cette autre quantité n'est la valeur d'aucune de si quelque ses racines. Ck)mme cette dernière quantité

x^ — 4ac*

donnée est la

valeur d*une

racine.

peut bien être divisée par x — 2, et par x — 3, et par x — 4, et par x — 5, mais non point par as + ou — aucune autre quantité; ce qui montre qu'elle ne peut avoir que les quatre racines % 3, 4 et 5.

On connoît aussi de ceci combien il peut y avoir de vraies racines et combien de fausses en chaque équation : à savoir il y en peut avoir autant de vraies que les signes -f- et — s'y trouvent de fois être changés, et autant de fausses qu'il s'y trouve de fois deux signes + ou deux signes — qui s'en tre-sui vent. Gomme en la dernière, à cause qu'après + xMl y a — 4x*, qui est un changement du signe H- en — , et après — IO.t' il y a -f- 106 a', et après -¥■ 106a; il y a — 120, qui sont encore deux autres chanj^ements, on connoit qu'il y a trois vraies racines ; et une fausse, à cause que les deux signes — de 4ac' et 19x' s'entre-suivent.

De plus, il est aisé de faire en une même équation que toutes les racines qui étoient fausses deviennent vraies, et par même moyen que toutes celles qui étoient vraies deviennent fausses, à savoir en changeant tous les signes H- ou — qui sont en la seconde, en la quatrième, en la sixième, ou autres places qui se désignent par les nombres pairs, sans chinger ceux de la première, de la troisième, de la cinquième, et semblables qui se désignent par les nombres impairs. Comme si, au lieu de

Combien il

peut y avoir de

vraies racines

eu chaque

équation.

Comment on

fait que les

fausses racines

d'une équation

deviennent

vraies, et les

vraies fausses.

on écrit

-*- se* — 4x» — 19x« + 106a; — 120 = 0,

+ 0?* -+- 4ic« — 19x' — 106aî — 120 = 0,

on a une équation en laquelle il n'y a qu'une vraie racine qui est 5, et trois fausses qui sont 2, 3 et 4.

Que si, sans connoitre la valeur des racines d'une équation, on la veut augmenter ou diminuer de quelque quantité connue, il ne faut qu'au lieu du terme inconnu en supposer un autre qui soit plus ou moins grand de cette même quantité, et le substituer partout en la place du premier.

Descartes. — Géométrie 8

Commeut on

peut augmenter ou diminuer les racines d'une équation sans les connottre.

Comme si on veut auj^menler de 3 la racine de cette équation

il faut prendre y au lieu de x, et penser que cette quantité y est plus grande que X de 3, en sorte que y — 3 est égal k x; et au lieu de ac* il faut mettre le carré dey — 3, qui est y* — 6 y -h 9; et au lieu de x* il faut mettre son €ube qui est y* — 9ï/* -h 27 y — 27; et enfin au lieu de x* il faut mettre son carré de carré qui est y*" — 12i/* -*- 54i/' — iOSy 4- 81. Et ainsi, décrivant la somme précédente en substituant partout y au lieu de x, on a

y^ — 42î/» j My^ — iOSy + 81

-+- Ay' — 36ï/' + iOSy ~ 108

ou bien

2/» - 82/' - 2/ 4- 8 zzz 0,

où la vraie racine qui étoit 5 est maintenant 8, à cause du nombre 3 qui lui est ajouté.

Que si on veut au contraire diminuer de trois la racine de cette même équation, il faut faire ?/ -f- 3 = x, et ly* + 61/ + 9 = x', et ainsi des autres, de façon qu'au lieu de

on met

-h 42/* 4- 362/* + IO82/ 4- 108

rj' -h 16//* 4- 7i2/' — 4?/ — 420 = 0.

(1) Doscarles indique l'absence d'un lerme par le sifine * mis à la place de ce terme; nous Pùtcrona com'iic inutile, de môme que le facteur 1 qu'il laisse quelquefois.