LIVRE TROISIÈME

Et il est à remarquer qu'en augmentant les vraies racines d'une équation on diminue les fausses de la même quantité, ou au contraire en diminuant les vraies on augmente les fausses; et que si on diminue, soit les unes, soit les autres, d'une quantité qui leur soit égale, elles deviennent nulles; et que si c'est d'une quantité qui les surpasse, de vraies elles deviennent fausses, ou de fausses vraies. Comme ici, en augmentant de 3 la vraie racine qui étoit 5, on a diminué de 3 chacune des fausses, en sorte que celle qui étoit 4 n'est plus que 1, et celle qui étoit 3 est nulle, et celle qui étoit 2 est devenue vraie et est d , à cause que — 2 -h 3 fait -+■ 1 : c'est pourquoi en cette équation

il n'y a plus que trois racines, entre lesquelles il y en a deux qui sont vraies, 1 et 8, et une fausse qui est aussi 1 ; et en cette autre

il n'y en a qu'une vraie qui est 2, à cause que -+-5 — 3 fait -}- 2, et trois fausses qui sont 5, 6 et 7.

Or par cette façon de changer la valeur des racines sans les connoîlre on peut faire deux choses qui auront ci-après quelque usage. La première est qu'on peut toujours ôter le second terme de l'équation qu'on examine, à savoir en diminuant les vraies racines de la quantité connue de ce second terme divisée par le nombre des dimensions du premier, si l'un de ces deux termes étant marqué du signe 4-, l'autre est marqué du signe — ; ou bien en l'augmentant de la même quantité, s'ils ont tous deux le signe -h ou tous deux le signe — . Comme pour ôter le second terme de la dernière équation qui est

if -f- iey* -4- 71?/' — 4i/ — 420 = 0,

ayant divisé 16 par 4, à cause des quatre dimensions du terme »/^, il vient derechef 4; c'est pourquoi je fais z — 4 == ?/, et j'écris

Qa'en augmentant les vraies racines on diminue les fausses, et au contraire.

(Comment on peut Ater le second terme d'une équation.

OÙ la vraie racine qui étoit 2 est 6, à cause qu'elle est augmentée de 4; et les faus^«$, qui étoient 5, 6 et 7, ne sont plus que 1, 2 et 3, à cause qu'elles sont diminuées chacune de 4.

Tout de même si on veut ôter le second terme de

X* — 2ax' -*- (2a* — c*) x* — 2a»x -h a* = 0,

pourceque divisant 2a jwir 4 il vient -a, il faut faire z -4- -a = x, et écrire

S* + 2aj» -*-

— ac^z — a'c'

(la»-c«)s«-(a»+ac»)--

«Â^oifiient on peat Uîre que

totticsies basses r>nih!$

TTai^ssaosque

et si on trouve après la valeur de r, en lui ajoutant -a on aura celle de x.

La seconde chose qui aura ci-après quelque usage est qu'on peut toujours, eu augmentant la \'aleur des vraies racines d'une quantité qui soit plus grande que n'est celle d'aucune des fausses, faire qu'elles deviennent toutes vraies, en sorte qu*il n\ ait point deux signes + ou deux signes — qui s*entiv-suivent, et outi'e cela que la quantité connue du troisième terme soit plus grande que le carré de la moitié de celle du second. Car encore que cela se fasse lorsijue ces fausses racines sont inconnues, il est aisé néanmoins de juger à peu près de leur grandeur et de prendre une quantité qui les surpasse d*autant ou de plus qu'il n'est requis à cet eflet. Gomme si on a

.r* -h MX» — 0»*x^ 4- ;V«V* — ^216/i\c- -+- i:î96ii»x — 7776«« = 0,