UVRE TROISIÈME

dernières équations, on connoît de là que les quatre de l'équâtîon dont elles procèdent sont imaginaires, et que le problème pour lequel on Ta trouvée est plan de sa nature, mais qu'il ne sauroit en aucune façon être construit, à cause que les quantités données ne peuvent se joindre. Tout de même ayant

- a* — c* j 2* — (a» -H ac*) ^ + Jû ^* — 7 «'c' = ^>

pourcequ'on trouve a* -+- c' pour y*, il faut écrire

z* — y a* H- c'z -H 7 a' — - a Ka* -f- c" = 0,

et

2* -h Ka* -*- c*2 H- - a* -h ;: a l^a* h- c* = 0,

ciir // est Ka* 4- c', et h- - w* -+- - P est - a*, et ;—- est zr a Ka* 4- c*,

d'où on connoît que la valeur de z est

ou bien

- |/a» H- c» — ^— - a* + - c« 4- ^ a Kâ

« 4- cV

Et pourceque nous avions fait ci-dessus z -h - a =: cr, nous apprenons que

la quantité x, pour la connoissance de laquelle nous avons fait toutes ces opérations, est •

la + y/\a*^\c^-y/y-ia^^lai^^

Mais afin qu'on puisse mieux connoître l'utilité de cette règle il faut que je l'applique à quelque problème.

Exemple de usage de ces réductions.

Si le carré AD (fig. 26) et la ligne BN étant donnés, il faut prolonger le côté A G jusques à E, en sorte que EF, tirée de E vers B, soit égale à NB : on apprend de Pappus, qu'ayant premièrement prolongé BD jusques à G,

en sorte que DG soit égale à DN, et ayant décrit un cercle dont le diamètre soit BG, si on prolonge la ligne droite AC, elle rencontiera la circonférence de ce cercle au point E qu'on demandoit. Mais pour ceux qui ne sauroient point cette construction, elle seroit assez difficile à rencontrer; et, en la cherchant par la méthode ici proposée, ils ne s'aviseroient jamais de prendre DG pour la quantité inconnue, mais plutôt CF ou FD, à cause que ce sont elles qui conduisent le plus aisément à l'équation; et lors ils en trouveroient une qui ne seroit pas facile à démêler sans la règle que je viens d'expliquer. Car posant a pour BD ou CD, et c pour EF, et a; pour DF, on a CF = a — ac, et comme CF ou a — ac est à FE ou c, ainsi FD ou x est

à BF, qui par conséquent est

ex

Puis à cause du triangle rectangle BD F

dont les côtés sont l'un x et l'autre a, leurs carrés, qui sont x' + a', sont

égaux à celui de la base, qui est -j

X* — 2ax -H à le tout par x — 2ax + a', on trouve que l'équation est

î ; de façon que, multipliant

ou bien

x^ — 2ax' -f- 2a'x* — 2a*ac 4- a^ = c'a?*, X* — 2ax* + (2a» — c*) x* — 2a*x 4. a* = 0;

et on connoit par les règles précédentes que sa racine, qui est la longueur de la ligne DF, est

^a Hy/-a'4--c'--j/.c'--a'4-^a|/a»4-