LIVRE PREMIER

coupe ni ne touche la ligne droite LQR, il n'y a aucune racine en l'équation^ de façon qu'on peut assurer que la construction du problème proposé est impossible.

Au reste, ces mêmes racines se peuvent trouver par une infinité d'autres moyens, et j'ai seulement voulu mettre ceux-ci, comme fort simples, afin de faire voir qu'on peut construire tous les problèmes de la géométrie ordinaire sans faire autre chose que le peu qui est compris dans les quatre figures que j'ai expliquées. Ce que je ne crois pas que les anciens aient remarqué; car autrement ils n'eussent pas pris la peine d'en écrire tant de gros livres où le seul ordre de leurs propositions nous fait connoître qu'ils n'ont point eu la vraie méthode pour les trouver toutes, mais qu'ils ont seulement ramassé celles qu'ils ont rencontrées.

Et on peut le voir aussi fort clairement de ce que Pappus a mis au Exemple lin^ commencement de son septième livre, où après s'être arrêté quelque temps à dénombrer tout ce qui avoit été écrit en géométrie par ceux qui l'avoient précédé, il parle enfin d'une question qu'il dit que ni Euclide, ni Apollonius, ni aucun autre, n'avoient su entièrement résoudre; et voici ses mots (*) :

Quem autem dicit (Apollonius) in tertio libro locum ad très et quatuor lineas ah Euclide perfectum non esse, neque ipse pei'fwere poteraty neque aliquis alius; sed neque paululum quid addere iis, quœ Euclides scHpsit, per ea tantum cohica, quœ usque ad Euclidis tempora prxmonstrata sunt, etc.

Et un peu après il explique ainsi quelle est cette question :

At locus ad très et quatuor lineas^ in quo (Apollonius) magnifiée se jactat, et ostentat, nulla habita gratia ei, qui prius scnpse^*at, est hujusmodi. Si positione datis tribus rectis lineis ab uno et eodem puncto, ad très lineas in datis angulis rectx lineœ ducantur, et data sit proportio rectanguli contenti duabus ductis ad quadratum reliqux : punctum contingit positione datum solidum locum, hoc est unam ex tribus conicis sectionibus. Et si ad quatuor rectas lineas positione datas in datis angulis linex ducantur; et rectanguli duabus ductis contenti

(1) Je cite plutôt la violon latine quo le ICNtc grec, afln que chacun Tcntende plus aisément.

ad coiitentuni duàbus reliquis proportio data sit : similitet* puncturn datant coni sectioiwm positione continget. Si quidem igitur ad du<i8 tantum locus planus ostensus est. Quod si ad phires quant quatuor, pwictum continget locos non adhuc cognitos, sed lineas tantum dictas; quales atitent sint, vel quant haheant proprietatent, non constat ; earum unam, neque pHntam, et qux manifestissima videtur, contposuef^nt ostendentes utilent esse. Propositiones autent ipsarum hœ sunt.

Si ah aliquo puncto ad positione datas rectos lineas quinquc ducantur rectœ lineœ in datis angulis, et data sit proportio solidi parallelepipcdi rectanguli, quod tribus ductis lineis coiitinetur ad solidum parallelepi" pedum rectanguluni, quod continetur reliquis duahus, et data quapiam linea, pujictum positione datant lineant continget. Si autent ad sex, et data sit proportio solidi tHhus lineis contenti ad solidum, quod tribus reliquis continetur; rui^sus punctunt continget positione datant lineam. Quod si ad plures quant sex, non adhuc habent dicerc, aii data sit proportio cujuspiant contenti quatuor lineis ad id quod reliquis contitietur, quoniam 7ion est aliquid contentum pluribu^s quam tHbus dimensionibus.

Où je vous prie de remarquer en passant que le scrupule que faisoienl les anciens d'user des termes de Tarithmétique en la géométrie, qui ne pouvoit procéder que de ce qu'ils ne voyoient pas assez clairement leur rapport, causoit beaucoup d'obscurité et d'embarras en la façon dont ils s'expliquoient ; car Pappus poursuit en cette sorte :

Acquiescunt autent his, qui paulo ante talia interpretati sunt; nequc unum aliquo pacto cojnprehensibile significantes quod his contijictur. Licebit autem per conju notas proportiones hsec, et dicere, et demonstrare universc in dictis proportionibus, atque his in hune modum. Si ah aliquo puncto ad positione datas rectas lineas ducantur rectx linex tn datis angulis, et data sit proportio conjuncta ex ea, qua^n habet una ductarum adtaiam) et altéra ad altérant, et alia ad aliam, et reliqua ad datam lineant, si sii^t septcm; si vero octo, et reliqua ad reliqu^m : punctunt continget positione datas lineas. Et similiter quotcumque sint im pares vel pares multitudine, cunt hœc, ut dixi, loco ad quatuor lineas respondeant, 7iuUum igitur posucrunt ita ut linea nota sit, etc.