DE LA NATURE DES LIGNES COURBES

Les anciens ont fort bien remarqué qu'entre les problèmes de géométrie, Quelles sont les uns sont plans, les autres solides et les autres linéaires, c*esl-à-dire que courbèsqu'ou les* uns peuvent être construits en ne traçant que des lignes droites et des peut recevoir cercles; au lieu que les autres ne le peuvent être, qu'on n'y emploie pour ^"*'**™^ "^' le moins quelque section conique; ni enfin les autres, qu'on n'y emploie ciuelque autre ligne plus composée. Mais je m'étonne de ce qu'ils n'ont point outre cela distingué divers degrés entre ces lignes plus composées, et je ne saurois comprendre pourquoi ils les ont nommées mécaniques plutôt que géométriques. Car de dire que c'ait été à cause qu'il est besoin de se servir de quelque machine pour les décrire, il faudroit rejeter par même raison les cercles et les lignes droites, vu qu'on ne les décrit sur le papier qu'avec un compas et une règle, qu'on peut aussi nommer des machines. Ce n'est pas non plus à cause que les instruments qui servent à les* tracer, étant plus composés que la règle et le compas, ne peuvent être si justes; car il faudroit pour cette raison les rejeter des mécaniques, où la justesse des ouvrages qui sortent de la main est désirée, plutôt que de la géométrie, où c'est seulement la justesse du raisonnement qu'on recherche, et qui peut sans doule être aussi parfaite touchant ces lignes que touchant les autres. Je ne dirai pas aussi que ce soit à cause qu'ils n'ont pas voulu augmenter le nombre de leurs demandes, et qu'ils se sont contentés qu'on leur accordât qu'ils pussent joindre deux points donnés par une ligne droite, et décrire un cercle d'un centre donné qui passât par un point donné; car ils n'ont point fait de

scrupule de supposer oulit* cela, pour traiter des sections coniques, qu'on pût couper tout cône donné par un plan donné. Et il n'est besoin de rien supposer pour tracer toutes les lignes courbes que je prétends ici d'introduire, sinon que deux ou plusieurs lignes puissent être mues l'une par l'autre, et que leurs intersections en marquent d'autres; ce qui ne me paroit en rien plus difGcile. Il est vrai qu'ils n'ont pas aussi entièrement reçu les sections coniques en leur géométiûe, et je ne veux pas entreprendre de changer les noms qui ont été approuvés par l'usage; mais il est, ce me semble, très clair que, prenant comme on fait pour géométrique ce qui est précis et exact, et pour mécanique ce qui ne l'est pas, et considéi*ant la géométrie comme une science qui enseigne généralement à connoitre les mesures de tous les corps, on n'en doit p;is plutôt exclui*e les lignes les plus composées que les plus simples, pourvu qu'on les puisse imaginer être décrites par un mouvement continu, ou par plusieurs qui s'entre-su i vent, et dont les derniers soient entièrement réglés par ceux qui les précèdent; car par ce moyen on peut toujours avoir une connoissance exacte de leur mesure. Mais peut-être que ce qui a empêché les anciens géomètres de recevoir celles qui étoient plus composées que les sections coniques, c'est que les premières qu'ils ont considérées, a^'ant par hasard été la spii*âle, la quadrutrice et semblables, qui n'appartiennent véritablement qu'aux mécaniques, et ne sont point du nombre de celles que je pense devoir ici être reçues, à cause qu'on les imagine décrites par deux mouvements séparés, et qui n'ont entre eux aucun rapport qu'on puisse mesurer exactement ; bien qu'ils aient après examiné la concboîde, la cissoîde, et quelque peu d'autres qui en sont, toutefois à cause qu'ils n\*ut peut-être pas assez remarqué leurs propriétés, ils n'en ont pas fait plus d'état «jue des premières; ou bien c'est que, voyant qu'ils ne connoissoient encore que peu de choses touchant les sections coniques, et qu'il leur en restoil même beaucoup, touchant ce qui se peut .faire avec la règle et le compas, qu'ils ignoroient, ils ont cm ne devoir point entamer de matière plus diflicile. Mais pouixreque j^espèi-e que dorénavant ceux qui auront Tadres^se de se senir du calcul géométrique ici proposé^ ne trouveront pas assez de quoi s'arrêter touchant les pi\>blèmes plans ou solides, je crois qu'il est à prop<>s que je les invite à d'auti-os recherehes, où ils ne manqueront jamais d'exercice.

I,rVHE SECOND.

Voyez les lignes AB, AD, AF el semblaliles (fig. 7), que je suppose avoir été ilécrites par l'aide de l'instniment YZ, qui est composé de plusieurs

règles tellement jointes que celle qui est mai'quée YZ étant arrêtée sur la ligne AN, on peut ouvrir et fermer l'angle XYZ, et que lorsqu'il est fout fermé, les points B, C, D, E, F, G, H sont tous assemblés au point A; mais qu'à mesure qu'on l'ouvre, la règle BC, qui est jointe àangles droits avec X Y au point B, pousse vers Z la règle CD, qui coule sur YZ en faisant loujours (tes angles droits avec elle; et CD pousse DE, qui coule tout de même sur YX en demeurant parallèle à BC; DE pousse EF, EF pousse FG, celle-ci pousse GH, et on en peut concevoir une inllnîlé d'autres qui se pousi^ent consécutivement en même façon, et dont les unes fassent toujours les mêmes angles avec YX et les autres avec YZ. Oi', pendant qu'on ouvre ainsi l'angle XYZ, le point B décrit la ligne AB, qui est un cercle, et les auti'es points D, F, H, où se font les inicrscclions des autres règles, décrivent d'autres lignes courbes AD, AF, AH, dont les dernières sont (wr ordre plus composées ([ue la pi'einière, et celle-ci plus que le cercle; mais je ne vois pas ce qui peut empêcher qu'on ne conçoive aussi nellement et aussi distinctement la description de celte première que du cercle, ou du moins que des sections coniques; ni ce qui peut empêcher qu'on ne conçoive la seconde, et la troisième, el toutes les autres qu'on peut décrire, aussi bien que la première; ni par conséquent qu'on ne les reçoive toutes en même façon pour servir aux spéculations de géométne.

Je pourrois meltre ici plusieurs autres moyens pour tracer et concevoir iji la-pu de des lignes courbes qui seroient de plus en plus composées par degrés à ''^"S'ier l'infini; mais pour comprendre ensemble toutes celles qui sont en la nature, lignes courbes

flESïiiirts. — Céon/trif. 3

18 LA CKOMKTRIE.

«n certains et les distinguer par ordre en certains genres, je ne sache rien de meilleur

«maître le ^^^ ^® ^"^ ^"® *^"^ ^^^ points de celles qu'on peut nommer géométriques,

rapport c'est-à-dire qui tombent sous quelque mesure précise et exacte, ont

leure* points à ^nécessairement quelque rapport à tous les points d'une ligne droite, qui

ceux des peut être exprimée par quelque équation, en tous par une même; et que,

gncs roi es. ^QJ»gq^g ^g^^g équation ne monte que jusqu'au rectangle de deux quantités

indéterminées, ou bien au carré d'une même, la ligne courbe est du

premier et plus simple genre, dans lequel il n'y a que le cercle, la parabole,

l'hyperbole et l'ellipse qui soient comprises; mais que lorsque l'équation

monte jusqu'à la troisième ou quatrième dimension des deux, ou de l'une

des deux quantités indéterminées (car il en faut deux pour expliquer ici le

rapport d'un point à un autre), elle est du second; et que lorsque l'équation

monte jusqu'à la cinquième ou sixième dimension, elle est du troisième;

et ainsi des autres à l'infini.

Comme si je veux savoir de quel genre est la ligne EC(fig. 8), que

Fig. 8,

j'imagine. être décrite par l'intersection de la règle G L et du plan rectiligne CNKL, dont le côté KN est indéfiniment prolongé vers G, et qui, étant mu sur le plan de dessous en ligne droite, c'est-à-dire en telle sorte que son diamètre KL se trouve toujours appliqué sur quelque endroit de la ligne BA prolongée de part et d'autre, fait mouvoir circulairement cette règle GL autour du point G, à cause qu'elle lui est tellement jointe qu'elle passe toujours par le point L. Je choisis une ligne droite comme AB, pour rapporter à ses divers points tous ceux de cette ligne courbe EG; et en cette ligne AB je choisis un point comme A, pour commencer par lui ce