LIVRE SECOND

calcul. Je dis que je choisis et Tun et l'autre, à cause qu'il est libre de les prendre tels qu'on veut; car encore qu'il y ait beaucoup de choix pour rendre l'équation plus courte et plus aisée, toutefois en quelle façon qu'on les prenne, on peut toujours faire que la ligne paroisse de même genre, ainsi qu'il est aisé à démontrer. Après cela prenant un point à discrétion dans la courbe, comme C, sur lequel je suppose que l'instrument qui sert à la décrire est appliqué, je tire de ce point G la ligne GB parallèle à G A, et pourceque GB et BA sont deux quantités indéterminées et inconnues, je les nomme l'une y et l'autre x\ mais afin de trouver le rapport de l'une à l'autre, je considère aussi les quantités connues qui déterminent la description de cette ligne courbe, comme G A, que je nomme a, KL que je nomme b, et NL, parallèle à GA, que je nomme c ; puis je dis, comme N L est à LK, ou c à b, ainsi GB ou 1/ est à B K,

qui est par conséquent - y : et BL est - t/ — 6> et AL est ac h — y — h.

ce c

De plus, comme GB est à LB, ou y à — y — 6, ainsi AG ou a est à LA

ou ac H — y — h; de façon que, multipliant la seconde par la troisième,

ah h

on produit — y — ah qui est égale k xy -i — y* — 6y, qui se produit c ' c

en multipliant la première par la dernière : et ainsi l'équation qu'il falloit

trouver est

y* = cy — — y + ay — ac,

de laquelle on connoît que la ligne EG est du premier genre, comme en effet elle n'est autre qu'une hyperbole.

Que si, en l'instrument qui sert à la décrire, on fait qu'au lieu de la ligne droite GNK, ce soit cette hyperbole, ou quelque autre ligne courbe du premier genre, qui termine le plan GNKL, l'intersection de cette ligne et de la règle GL décrira, au lieu de l'hyperbole EG, une autre ligne courbe qui sera d'un second genre. Gomme si GNK est un cercle dont L soit le centre, on décrira la première conchoïde des anciens; et si c'est une parabole dont le diamètre soit KB, on décrira la ligne courbe que j'ai tantôt dit être

la première et la plus simple pour la question de Pappus, lorsqu'il n'y a que cinq lignes droites données par position; mais si au lieu d'une de ces lignes courbes du premier genre, c'en est une du second qui termine le plan CN KL, on en décrira, par son moyen, une du troisième, ou si c'en est une du troisième, on en décrira une du quatrième, et ainsi à l'infini, comme il est fort aisé à connoître par le calcul. Et en quelque autre façon qu'on imagine la description d'une ligne courbe, pourvu qu'elle soit du nombre de celles que je nomme géométriques, on pourra toujours trouver une équation pour déterminer tous ses points en cette sorte.

Au reste, je mets les lignes courbes qui font monter cette équation jusqu'au carré, au même genre que celles qui ne la font monter que jusqu'au cube; et celles dont l'équation monte au carré de cube, au même genre que celles dont elle ne monte qu'au sursolide, et ainsi des autres : dont la raison est qu'il y a règle générale pour réduire au cube toutes les difficultés qui vont au carré de carré, et au sursolide toutes celles qui vont au carré de cube; de façon qu'on ne les doit point estimer plus composées.

Mais il est à remarquer qu'entre les lignes de chaque genre, encore que la plupart soient également composées, en sorte qu'elles peuvent servir à déterminer les mômes points et construire les mômes problèmes, il y en a toutefois aussi quelques unes qui sont plus simples, et qui n'ont pas tant d'étendue en leur puissance; comme entre celles du premier genre, outre l'ellipse, l'hyperbole et la parabole, qui sont également composées, le cercle y est aussi compris, qui manifestement est plus simple; et entre celles du second genre, il y a la conchoïde vulgaire, qui a son origine du cercle; et il y en a encore quelques autres qui, bien qu'elles n'aient pas tant d'étendue que la plupart de celles du même genre, ne peuvent toutefois être mises dans le premier.

Suite de rcx- Or, après avoir ainsi réduit toutes les lignes courbes à certains genres, il ****?esîron*de* ^*^^ ^^^ ^® poursuivre en la démonstration de la léponse que j'ai tantôt

Pappus, mise faite à la question de Pappus; car premièrement, ayant liiit voir ci-dessus que, lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes droites données, l'équation qui sert à déterminer les points cherchés ne monte que jusqu'au carré, il est évident que la ligne courbe où se trouvent ces points est nécessairement

au livre pr6cédeiU.