VI. — La courbure des enveloppes des courbes

du système.

1. On peut ramener Tétude de la courbure des enveloppes à celles des trajectoires de points.

Pour le démontrer, considérons les trois positions Ko, Kj, K2 d'un cercle quelconque. Soient Aq, Ai, A2 les positions de son centre {fig* i4).

Supposons encore que l'on ait tracé les cercles K^^ Kj'*; leurs centres sont AJ*, Aj*. Joignons le centre de rotation O^i

Fi g. 14.

à Ao, Ap" et Ai; nous obtiendrons ainsi les droites /?o, p^S> Pi- Elles coupent les cercles correspondants aux points Bq, BJ^ et B,, et, pour fixer les idées, nous admettons que BJ* est situé

Nachrichten, 1888, p. 176) s'occupe de rechercher les points du système pour lesquels plus de n positions consécutives sont sur une courbe de /i'*""' ordre, lorsque cette courbe est déterminée par n points; il traite aussi de quelques problèmes qui se rattachent à cette question.

entre Oq j et AJ*; par conséquent B© et Bi seront aussi entre O'q ^ et Ao ou Aj. Enfin les tangentes aux trois cercles en B©, BJ* et Bi sont trois droites correspondantes 60, b^, 61 de nos systèmes plans (To, (tJ*, (Tj.

Nous effectuerons les mêmes constructions sur les cercles Kl, K7*, K,. Désignons par ^j, q^ et q^ les lignes de jonction de leurs centres avec Oj,. Les points d'intersection des cercles avec ^1, ^J*, ^2, qui sont situés entre les centres et le centre de rotation, sont Ci, Cf , Cj, et les tangentes en ces points sont ^1» ^r» ^î- Concevons maintenant une courbe A: de c qui touche le cercle K. en B et C, mais qui, à part cela, peut être tout à fait arbitraire. La rotation autour de O'oi devenant infiniment petite, b^ (1, 7) tendra vers la tangente commune à la courbe k et k son enveloppe. BJ* deviendra le point de contact instantané, et /?J* la normale à Tenveloppe en ce point.

La même chose aura lieu pour c^, C'" et ^J*, lorsque la rotation autour de 0\^ deviendra infiniment petite. Et ces conclusions s'étendent à toutes les courbes k de a qui satisfont à la condition de toucher le cercle K en B et en C, quelle que soit la position relative des points Oqi et 0\^.

Faisons encore Thypothèse d'un déplacement continu decr; O'oi et O12 sont deux points infiniment voisins de la courbe polaire de <j'. Alors B et C seront aussi infiniment voisins, et, comme k doit toujours toucher le cercle en B et C, K deviendra le cercle de courbure de la courbe k, et il suit de là que, pour toute courbe du système qui a pour cercle osculateur le cercle K, le point limite d'intersection de/?J* et q^^ est le centre de courbure de l'enveloppe. Mais/?^" est le rayon normal a\, q'[' le rayon a\ : donc le point d'intersection de p*^ et q^ sera à la limite le centre de courbure de la trajectoire de A. Nous sommes donc arrivés au théorème général suivant :

Le centre de courbure de V enveloppe d'une courbe coïncide à chaque instant avec le centre de courbure de la trajectoire que décrit le centre de courbure de la courbe.

2. Si nous nommons k' l'enveloppe de la courbe ky dans le mouvement inverse, k sera l'enveloppe de k', car les courbes k et k' se touchent à chaque moment, et ceci est

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. 4?

une propriété purement géométrique, indépendante de notre situation dans a ou a'. La signification de la correspondance quadratique entre les systèmes a el <t' est donc beaucoup plus générale qu'il n'a été démontré datis le paragraphe précédent. Car, si k et k' sont deux courbes quelconques dont l'une soit l'enveloppe de l'autre, leurs centres de courbure pour le point de contact instantané seront toujours deux points correspondants A et A' de la correspondance quadratique qui caractérise l'instant considéré du mouvement.

Les courbes polaires € et €' sont aussi des courbes du genre de celles que nous considérons, et, en effet, €' est l'enveloppe de € pour le mouvement direct, et € celle de C pour le mouvement inverse. Les centres de courbure des deux courbes sont donc à chaque instant des points homologues des systèmes a et (t' se correspondant quadratiquement.

Les relations et les constructions qui ont été données au § IV , relativement à un couple de points correspondants A et A' s'appliquent donc également aux centres de courbure des courbes € et €'. Si r el r' représentent maintenant les distances du centre instantané de rotation aux centres de courbure d'une courbe et de son enveloppe, l'équation du §1V, 3 s'appliquera aussi à ces points, et l'on aura

(h 7 ) COS 7. —.-—,

où a désigne l'angle que fait la ligne de jonction de A et A' avec la normale aux courbes polaires; les signes de /• et de r' sont définis de la même façon qu'au § IV. Si p et p' désignent les rayons de courbure des courbes polaires pour le centre instantané de rotation, on a

- H -. COSa --- -\ 7 = -r- •

/• /-V p p' ho

Cette relation est appelée, du nom de celui k\uï l'a donnée pour la première fois, équation de Savary (*).

(') Cette équation fut établie par Euler : Supplementum de figura

3. Faisons maintenani l'hypothèse particulière que la courbe k est une droite. Son centre de courbure est à Tinfini; par conséquent le centre de courbure de son enveloppe est sur le cercle des inflexions w' de (t', et le fait analogue a lieu pour le mouvement inverse. Donc :

Les centres de courbure des enveloppes de toutes les droites d'un système plan sont à chaque instant sur le cercle des inflexions de Vautre système.

Inversement, si k est une courbe du système a dont le centre de courbure est sur le cercle des inflexions de o-, le centre de courbure de son enveloppe est rejeté à rinfmi, Tenveloppe possède un point d'inflexion. Il suit de là que :

Si le centre de courbure d'une courbe appartenant à un système plan est sur le cercle des inflexionSy V enveloppe de cette courbe a un point d'inflexion au point de contact instantané,

\, Pour appliquer les théorèmes précédents à quelques exemples, nous traiterons d'abord quelques cas dans lesquels les courbes polaires sont immédiatement données.

(a) Mouvement cycloïdaL — Lorsqu'un cercle k roule sur une droite gy chacun de ses points décrit une c3xloïde ordinaire. Le point de contact instantané du cercle et de la droite est à ce moment le centre de rotation. OA est donc la normale à la cycloïde. Si p est le rayon du cercle, on a, d'après

l'équation précédente, - » ==7-) c'est-à-dire que le diamètre du

cercle des inflexions est égal au rayon de la roulette. Mais ceci entraîne la connaissance du rayon de courbure de la cycloïde décrite par A, et il en est de même pour les courbes cycloïdales plus générales qui sont décrites par les points du plan du cercle mobile.

(6) Les épi- et les hypocycloïdes, — Le mouvement est déterminé par le roulement de deux cercles l'un sur l'autre.

dentium rotarum {A-ovi comment. Petr., t. XI, p. 207; 1765), Savary la donna à son cours de l'École Polytechnique ( Voir Ciiasles, Journal de Liouville, i" série, t. X, p. 2o!\).

MOUYEMENT d'UN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. 49

Le point de contact des deux cercles est encore le centre instantané de relation. Comme les centres des deux cercles sont les centres de courbure des courbes polaires, nous pourrons donc construire sur la normale aux courbes polaires le point correspondant du cercle des inflexions. Ainsi le diamètre de ce cercle est connu, et le centre de courbure de la trajectoire de tout point du plan pourra être construit.

(c) Les podaires, — Si k' est une courbe quelconque, A*' un point fixe dans son plan, et que de ce point on abaisse des perpendiculaires sur les tangentes à la courbe, les pieds des perpendiculaires constitueront la podaire. On peut encore la définir comme le lieu du sommet d'un angle droit dont un des côtés a passe constamment par un point i\\e A', pendant que l'autre b reste tangent à une courbe Vixe. Soit B le point instantané de contact de b et k'; la perpendiculaire élevée en B sur b et celle élevée en A' sur a se coupent au centre instantané de relation 0. Donc SO est la normale à la podaire. Nous connaissons déjà les points et A' du cercle des inflexions du mouvement inverse; ce cercle contient aussi le centre de courbure de la courbe donnée k',] Si donc on connaît le rayon de courbure de k\ on pourra construire le cercle des inflexions et, par suite, aussi le rayon de courbure de la podaire.

5. Un dernier exemple. Supposons qu'un système plan ose déplace de telle façon qu'une de ses droites^ jouisse de la propriété de rester tangente à la trajectoire d'un de ses points A. La perpendiculaire /, élevée en A sur g, est également une droite fixe de o". Elle est toujours normale à la trajectoire de A et, par conséquent, passe par le centre instantané de rotation. A chaque instant, un des points de / devient donc centre instantané, c'est-à-dire que dans a le lieu de ces points est /, qui est donc la courbe polaire de c.

Le point A décrit une développante de la courbe polaire du système a'. Cette développante est en même temps l'enveloppe de g. La droite ^ enveloppe, par suite, la courbe que décrit son point de contact. Donc :

Si un système a se déplace de telle façon que Vune des droites du système em^eloppe la même courbe que celle que

5o CHAPITRE 1.

décrit son point de contact y la normale l à la courbe est l courbe polaire de a et sa développée est la courbe polaire de 0"'. •

On peul> dans ce cas, déterminer immédiatement les cercles des inflexions de a et de o-'. Il suit, en elTet, de Téquation de Savary, qu'ils ont pour diamètre le rayon de courbure de la développée.

6. Dans Téquation de Savary, que Ton a établie plus haut, les rayons de courbure p et p' sont défînis de telle façon que chacun d'eux doit être considéré comme positif quand il est, par rapport à la tangente à la courbe polaire, du même côté que le cercle des inflexions de son système.

S'il arrive que p et p' soient du même côté de cette tangente

et que p soit égal à p', l'expression -4- -7 est nulle, et Aq»

c'est-à-dire le diamètre du cercle des inflexions, est inflniment grand. Dans ce cas, le cercle des inflexions se réduit à la tangente à la courbe polaire.

Celle conclusion, tirée de l'équation de Savary, est liée à une condition. Nous la trouverons de la manière suivante :

Imaginons d'abord que les rayons de courbure p et p' soient toujours tournés de côtés différents, les courbes polaires se toucheront extérieurement et rouleront extérieurement Tune sur l'autre. Mais si p et p' sont dirigés du même côté, les courbes C et €' se toucheront intérieurement et il y aura un roulement intérieur.

Pour flxer les idées, admettons que, à un instant quelconque, p soit plus petit que p', et considérons a comme système mobile et a' comme système fixe; alors la courbe C roulera momentanément dans l'intérieur de C Mais, si les deux rayons de courbure deviennent peu à peu égaux entre eux, le diamètre du cercle des inflexions croîtra toujours et finira par devenir infiniment grand.

Si, après que p et p' seront devenus égaux, p devient plus grand que p', la courbe €' sera à rintérieur de €, qui alors entourera €', et nous nous rendons compte que, dans le moment où p et p' deviennent égaux entre eux, un changement de sens a lieu dans la rotation du système a. Dans cet instant,

MOUVEMENT D*UN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. 5l

abstraction faite du centre instantané, tout point A du système et, par conséquent aussi, tout point de la tangente à la courbe polaire passera par un point de rebroussement, et aucun point ne passera à ce moment par un point d'inflexion. Cela a lieu aussi bien pour le mouvement direct que pour le mouvement indirect. Nous arrivons ainsi au résultat suivant :

Si, à un moment quelconque du déplacement, les courbes polaires se touchent intérieurement, et que la différence de leurs rayons de courbure change en même temps de signe, tous les points des deux systèmes passeront par des points de rebroussement de leurs trajectoires.

Inversement, on voit que les courbes polaires devront jouir de la propriété énoncée ci-dessus pour qu'à un instant donné tous les points du système passent par un point de rebroussement de leurs trajectoires, à l'exception du centre instantané. Si, par exemple, un cercle roule sur une section conique et que le diamètre du cercle soit compris entre les deux axes de l'ellipse, cela arrivera aux points où le cercle est osculateur à la conique (*).

( * ) Voir Mehmke , Ueber die Bewegung eines starren ebenen Systems in seiner Ebene {Schlômilch's Zeitschrift f. Math., Not. 35, p. i et 65). Mehmke y étudie l'influence exercée sur la courbure des trajectoires par l'ordre du contact des courbes polaires et les singularités que présentent ces courbes en leur point de contact.