I. — L'axe de rotation et les cônes polaires

1. Imaginons qu'un corps se déplace autour d'un point Vixe. On désignera par S' l'espace immobile dans lequel il se meut. Nous supposons que le corps S soit illimité dans toutes les directions. Chacun de ses points décrit dans le mouvement une courbe sphérique, et il est évident que toutes les courbes qui sont décrites par les différents points d'une droite passant par ont les mêmes propriétés géométriques.

Il suflît donc de considérer le corps mobile S comme une gerbe et d'étudier le mouvement d'une gerbe autour de son centre. Dans la Géométrie synthétique, chaque gerbe apparaît en général comme Tensemble de ses rayons et de ses plans. Il est important pourtant de remarquer que, étant donnée la nature de notre sujet, on devra également considérer sur chaque rayon de la gerbe l'ensemble de ses points.

De même que dans le § I du Chapitre précédent, nous désignerons les points, rayons et plans de S par des lettres sans indices lorsqu'il s'agira de définir des éléments déterminés de la gerbe S, sans qu'il soit question de leur position dans l'espace S'. Au contraire, les différentes positions qu'un point A, un rayon a ou un plan s de S occuperont successivement seront désignées par A^, Aj, A2, . . . , <^o> ^19 ^i,- - -, So» £i> £2» • • • et Sq, Si, Sj seront les positions correspondantes de S dans S'.

Tous les points de la gerbe qui sont sur une sphère décrite de comme centre se déplacent sur cette surface sphérique. Le mouvement du corps lui-même est déterminé par celui de cette sphère. C'est pourquoi on a coutume de traiter du mouvement d'un corps autour d'un point fixe en étudiant le mou-

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vemenl d'un système sphérique sur sa propre sphère. Nous préférons, au coniraire, considérer le mouvement comme étant celui d'une gerbe autour de son centre.

2. Soient donc S et Sj deux positions quelconques de la gerbe mobile, et «o» ^o» ^i> ^^i les positions correspondantes de deux rayons a et 6. Les deux rayons ao, «i sont porteurs de deux ponctuelles congruentes ; les rayons forment deux couples d'angles opposés par le sommet. Nous conviendrons d'entendre toujours par angle («o^i) celui des deux angles dont il faut faire tourner a^ pour que, a^ tombant sur a,, les deux ponctuelles congruentes coïncident point par point.

Traçons les bissectrices aJJ* et 6J* des angles ainsi définis (^o<3Ji)> (^o^i) et par a'^ menons le plan ajf perpendiculaire sur (ao«i)» par 6J' le plan (3 q' perpendiculaire sur {bç^b^). Les deux plans, que l'on désignera sous le nom de plans normaux des rayons a et b, se coupent suivant une droite a: passant par le point fixe 0, et il est facile de voir que, par une rotation autour de X, «0 et 6o arrivent en même temps à coïncider avec «1 et ôj, et cela de façon que la coïncidence se fasse point par point sur chaque rayon.

Par suite de cette rotation, chaque rayon Cq viendra donc aussi coïncider point par point avec le rayon c, (*). Donc :

Tout déplacement d'un corps dont un des points, 0, reste fixe, peut être ramené à une rotation autour d'un axe fixe passant par 0. Les plans normaux de tous les rayons du corps se coupent suivant cet axe (*).

L'axe fixe s'appelle axe de rotation, Si,dans les deux gerbes congruentes et concentriques, nous considérons encore l'en-

(') C'est ce qu'on démontrera de la même façon que pour le théorème analogue du Chap. I, § I, 2, se rapportant aux systèmes plans.

(») Ce théorème a été donné par Euler dans les : Formules générales pro translatione quacunque corporum rigidorum ( Novi Comm. Acad. , t. XX, p. 202; 1776 ).

Il ne fut trouvé que vingt-cinq ans après le théorème correspondant pour un déplacement infîniment petit. Celui-ci fut découvert déjà en 17^9 par d'Aiembert {Recherches sur la précession des équinoxes, p. 83 ; Paris, 1749)1 et bientôt après par Euler lui-même [Découverte d'un nouveau principe de Mécanique {Mémoires de l'Académie de Berlin, p. iS5; 1750)].

semble de tous les points situés sur les rayons, c'est-à-dire si nous les considérons comme deux espaces congruents qui ont en commun le point comme élément uni, l'axe de rotation sera la droite commune aux deux espaces, et telle que chaque point de cette droite se corresponde à lui-même. De plus, le plan | perpendiculaire sur x se correspond également à lui-même.

3. Si Co et Cl sont deux rayons correspondants quelconques de So et Si et si c^ est la droite d'intersection des plans \ et [CoC,],cJetcJ' sont perpendiculaires l'une à l'autre; car cj est perpendiculaire sur j7, et cj* est la projection de x sur [coCi]. Donc, pour chaque rayon c du faisceau S, Cq, cJ*, Ci, cJ forment un faisceau harmonique. Soient £o et Si deux plans correspondants de So et Sj. Désignons leur ligne d'intersection par h^ en tant que rayon de e©, et par a^ en tant que rayon de 6i. A ^o et «1 correspondront respectivement, dans S, et So, les rayons 6i et «0- Les droites correspondantes a^ et h"^ sont également deux rayons homologues de £© et gi. On les appellerai© et /ii; £j' est le plan passant par h^ et h^. Les angles que ej* fait avec £o et £i sont égaux entre eux. Si donc AJ* est la bissectrice de l'angle (^o^i)» ^ï* est la projection de x sur £j', c'està-dire que le plan [a?AJ*] est perpendiculaire sur £j*.

Les deux faisceaux égaux de rayons situés dans £© et £i engendrent un cône k^ de deuxième classe qui a pour plans tangents £o, £i, £j* et le plan double \. Deux des plans tangents à ce cône sont coupés par tous les autres suivant des faisceaux projectifs de rayons.

Mais, comme ao>«?S«i>«î sont quatre rayons harmoniques, £o,£j',£i et I coupent le plan [«o^i] suivant un faisceau harmonique, et la même chose aura lieu pour tout autre plan [coC,] du cône. Comme Co,cJ*,Ci,c^ sont aussi des rayons en situation harmonique, il s'ensuit que £j' coupe le plan [cocj suivant cj*, c'esl-à-dire que toutes les droites cj* qui correspondent aux différents rayons du faisceau situé dans £ se trouvent dans £0^*. Donc :

Si £ est un plan quelconque de la gerbe S, et que a soit un rayon quelconque dans ce plan, les bissectrices aj* des angles a^ay) sont toutes dans un seul et même plan e^.

MOUVEMENT d'uN CORPS AUTOUR d'uN POINT FIXE. 55

On appellera ce plan \e plan médian de s.

Donc, non seulement il correspond à chaque rayon aQ de Sq un rayon déterminé aj*, mais à tous les rayons «o d'un plan £o correspondent les rayons a^ d*un plan eJ*. Les rayons aj* forment donc une gerbe en collinéation avec So et Si, et il suit de là que :

Les gerbes formées par les bissectrices a^ et les gerbes Sq et Sj sont des gerbes en collinéation qui ont comme éléments, unis Vaxe de rotation x et le plan \ qui lui est perpendiculaire.

k. On peut considérer tout plan tangent au cône â:^ comme étant déterminé par les droites cj* et c^ perpendiculaires l'une sur l'autre. Mais cj* est toujours situé dans e"\ et c^ dans ^. Donc le cône k^ peut également être engendré en déplaçant l'angle droit {C^c^) de telle manière que son sommet reste invariablement en 0, pendant que l'un de ses côtés tourne autour de dans le plan |, et que la rotation deTautre se fait dans le plan ej". Alors le plan de cet angle enveloppe le cône k^.

Soit e le rayon de la gerbe S qui est perpendiculaire à e; les deux faisceaux congruents dont les axes sont e^ et e^ engendreront un cône K' du second ordre. Si yo et y^ sont les plans de ces faisceaux qui sont perpendiculaires sur c© et Cj la ligne d'interseclion (yo yx) est perpendiculaire au plan [co Cl], c'est-à-dire que K^est le cône supplémentaire de k^. Mais Co, cj*, Cl, c% sont quatre rayons harmoniques, et cj* et c% sont les bissectrices des angles que font entre elles Co et c^ Il s'ensuit immédiatement que yo> y\ et les plans y m et yx qui sont perpendiculaires sur cj*et cj se coupent tous suivant la génératrice (yo yi)) qu'ils forment un faisceau de plans en situation harmonique, et que y m et yx bissectent les angles dièdres formés par yo et y,. De plus, la droite c;J est toujours dans le plan ^ et cj' toujours dans ej*. Donc yx passe par x et y,„ par la droite m perperdiculaire à sj*. Le cône K* contient donc a? et m et peut aussi être engendré au moyen des deux plans yx et y m qui tournent autour de x et de m, en restant toujours perpendiculaires l'un sur l'autre.

C'est pourquoi ce cône sera désigné sous le nom de cône

orthogonale^). Les faisceaux qu'engendrent les plans /a- et y sont projectifs. Soit a un plan quelconque perpendiculaire à X. 11 coupe les deux faisceaux de plans suivant des faisceaux de rayons. Mais le rayon (ay,«) est Tintersection de deux plans perpendiculaires à y^; donc il est perpendiculaire sur y^:» et, par conséquent aussi, sur la droite (a^y), suivant laquelle yaest coupé par a. Deux rayons correspondants de deux faisceaux sont donc perpendiculaires l'un sur l'autre; ils engendrent un cercle, et la ligne de jonction des points {aœ) et (am) est un diamètre du cercle. La même chose a lieu pour les plans perpendiculaires à m.

Observons encore que deux cônes réciproques sont tellement situés Tun par rapporta l'autre que les lignes focales de l'un sont perpendiculaires aux plans cycliques de l'autre; nous obtiendrons finalement le résultat suivant :

Les plans qui passent par les rayons correspondants Cq et c^ de deux faisceaux de rayons z^et s, enveloppent un cône qui a pour lignes focales Vaxe de rotation x et la perpendiculaire élevée en O sur ej*. Chacune de ces droites est perpendiculaire à un plan tangent du cône, x à '^ et m à e^".

Les droites suivant lesquelles se coupent les plans correspondants de deux faisceaux Cq et e^ de Sq et Sj engendrent un cône orthogonal. Si Cq et e, sont les axes des deux faisceaux,, et que s soit le plan de la gerbe S qui est perpendiculaire à Cy 'E, et gj* sont les plans cycliques de ce cône.

Soient g et h deux génératrices du cône K^ qui sont symétriquement placées par rapport au plan diamétral [x m], K^ résultera de l'intersection des faisceaux projectifs

g [cqX Cl m], h[eçfX Cim],

Mais on a démontré plus haut que

Meogx)z= /\{a:gei)=z^A(eogei), /\ (co h x) = /\ {x h Cl) = \ /\ (cq h Cl) ,

(*) Cette dénomination est due à Schrôter : Ueber ein Hyperboloid besonderer Art {Jour, fur reine und angew. Math., t. LXXXV, p. 4i et 79). Turazza découvrit que les cônes qui se présentent ici sont orthogonaux {Memorie del Reale Inst. Veneto, t. XV, p. 474)'

MOUVEMENT d'UN CORPS AUTOUR D'UN POINT FIXE. 67

De plus

Donc aussi

/\ {cq g x) ^^ \ {e^ Il x) et A {x g e^) =: A {x h 61).

Trois plans de Tun des faisceaux font donc entre eux les mêmes angles que les plans correspondants de l'autre faisceau; donc les deux faisceaux sont congruents, et il suit de là que :

Deux rayons qui font le même angle avec V axe de rotation peuvent servir à engendrer le cône orthogonal K* au moyen de deux faisceaux de plans congruents.

11 en résulte pour le cône supplémentaire :

Deux plans de k^, qui font le même angle avec l'axe de rotation, sont coupés par l'ensemble des plans tangents suivant deux faisceaux congruents de droites.

5. Les résultats obtenus plus haut sont indépendants de la grandeur du déplacement que subit la gerbe S. Ils subsistent donc lorsque les positions So et Si se rapprochent indéfiniment.

Nous pourrons les appliquer à deux positions infiniment voisines d'un corps qui exécute un déplacement quelconque autour d'un point fixe. Alors les plans [«o ^i] deviennent les plans tangents aux surfaces coniques engendrées par les rayons du corps, et les plans aj deviendront les plans normaux.

Donc :

Lorsqu'un solide se déplace autour d'un point fixe, il exécute à chaque instant une rotation infiniment petite autour d'un axe passant par le point fixe. Cet axe s'appelle /'axe instantané de rotation. Les plans normaux aux cônes décrits par les rayons du corps passent par cet axe.

Et encore :

Les plans tangents à toutes les surfaces coniques que décrivent les rayons d'un plan e enveloppent à chaque instant un

cdne de second ordre qui est tangent à t et au plan Ç perpendiculaire à l'axe de rotation. Le cône est supplémentaire d'un cône orthogonal et a pour lignes focales Vaxe de rotation et la normale à e.

Chaque plan de la gerbe enveloppe un cône au cours- du mouvement. Chacune des génératrices est la droite d'intersection de deux positions infiniment voisines de £. Pour obtenir les propriétés de ces surfaces, nous ferons se rapprocher indéfiniment £o et t^. A la limite, ej* se confondra avec £o et h^ deviendra génératrice de contact de £ avec la surface conique. Comme pour tout déplacement de la gerbe S, £j* est perpendiculaire sur le plan [^^J"]; la projection de œ sur £ est à chaque instant la droite suivant laquelle £ touche son enveloppe. Le plan normal à la surface conique passe donc toujours par l'axe de rotation.

6. Soit K une surface conique quelconque de la gerbe mobile, le même théorème aura lieu pour Tenveloppe de K. Si, en effet, Ko, K,, KJ* sont les surfaces coniques correspondantes de So, Sj, SJ*, nous ferons passer par Taxe de rotation un plan ttJ* normal à KJ* le long de 6J*. Construisons alors le plan pj* qui touche KJ* suivant b^, et déterminons les droites et les plans correspondants dans Sq et Sj. Le plan Sq touche le cône Ko le long de ^o> de même Si touchera Kj le long de b^; b^ et 6, sont les droites d'intersection de SJ* avec So et Si. Comme b^ est la projection de l'axe de rotation sur SJ*, b^ et ^i sont ses projections sur So et Si. Donc, les plans homologues de TT^ sont TTo et TTi, plans normaux aux cônes K© et Ki suivant ^0 et ^1.

Si nous passons à la limite, SJ* deviendra le plan tangent à l'enveloppe de K, et il s'ensuit que le plan normal à l'enveloppe de K passe à chaque instant par l'axe de rotation.

Donc :

Lorsqu'un corps se meut autour d'un point fixe^ les plans normaux aux enveloppes de tous les plans et de tous les cônes de ce corps le long des génératrices de contact passent par l'axe instantané de rotation.

En particulier, il suit encore que :