MOUVEMENT D*UN CORPS AUTOUR D*UN POINT FÎXE

Si g est l'axe d' un faisceau quelconque de plans de S, l'ensemble des rayons suivant lesquels ces plans touchent leurs enveloppes forme à chaque instant un cône orthogonal dont les plans cycliques sont perpendiculaires sur g et sur l'axe instantané de rotation.

Pendant le mouvement continu de la gerbe S, l'axe instantané de rotation changera à chaque instant aussi bien dans S que dans l'espace fixe S\ L'ensemble des axes forme, dans S comme dans S', une surface conique. Pour reconnaître la manière dont ces surfaces se comportent l'une vis-à-vis de l'autre, nous n'avons qu'à reprendre, dans la géométrie de la gerbe, les recherches qui ont été faites au § II du Chapitre I pour la géométrie du plan. Nous reconnaîtrons alors que la surface conique r de la gerbe S roule sur la surface conique r' de l'espace invariable, c'est-à-dire que :

Tout mouvement d'un corps autour d'un point fixe a lieu de telle façon qu'un cône appartenant au corps mobile roule sur un cône de l'espace fixe.

Nous appellerons ces cônes cônes des axes ou cônes polaires (*).

7. Imaginons un observateur qui soit invariablement lié à la gerbe S; pour lui l'espace S' se déplacera dans la gerbe S. Ce déplacement sera encore qualifié ^'inversion du premier mouvement.

Les notations seront choisies en tout semblables à celles du Chapitre I. Nous considérerons maintenant l'espace S' comme formant également une gerbe; nous désignerons ses rayons et ses plans par a' et t' lorsque leur position vis-à-vis de S ne sera pas en question, etparaj,, «i, «j»- • •> êo> ê'i> ^'-i^- - leurs positions successives. Les droites et les plans dérivés seront a^', a^', sj*', ....

Les théorèmes concernant les rapports des deux mouvements trouvés au Chapitre précédent se présenteront encore ici sous une forme analogue. En premier lieu, on voit que le

(') Les cônes polaires ont été découverts par Poinsot {Journal de Liouville, t. XVI, p. 26).

6o CHAPITRE II.

mouvement inverse est caractérisé par le roulement du cône polaire F de S' sur le cône polaire F de S. De plus, chaque rayon b' de S' décrit une surface conique située dans S. Soient encore S© et Sj deux positions de la gerbe S par rapport à S% par suite S'o et Si les positions correspondantes de la gerbe S' par rapport à S. Nous construirons le plan normal ajf d'un rayon quelconqueao^eSiet nous considérerons un rayon quelconque 6J, de ce plan. On peut montrer que le plan normal p^/ de b'^ passe par «o- En efifet, les angles que b'^ fait avec «o et a, sont égaux; il faut donc que, dans le mouvement inverse, a© fasse avec b^ et b\ des angles égaux, car cette propriété est indépendante de l'immobilité de S ou de S'. Donc :

Si le plan normal du rayon a de S passe par le rayon b' de S', dans le mouvement inverse, le plan normal de b' passera par a.

De môme, pour un mouvement continu :

Si, à un instant quelconque, le plan normal à la sur/ace co^ nique décrite par a pa^se par le rayon b' de S', dans le mouvement inverse^ le plan normal à la surface conique que décrit b' dans S passera par a.

Avec l'aide de ces théorèmes, nous démontrerons, exactement de la même manière qu'au précédent Chapitre, Texistence d'une relation quadratique entre S et S'.

IL — La correspondance quadratique.

1. Soient Sq, Si, Sj trois positions arbitraires de la gerbe S. Désignons par a^, a^, a^ les positions correspondantes d'un rayon a de S; et de plus par aj* et aj'* les bissectrices des angles (t7o«i) et (ai«î)î psir «o et oC{ les plans normaux correspondants. Les deux plans aj et oC{ se coupent suivant une droite a' qui est l'axe d'un cône de révolution passant par «o> ^\y û5j. Considérons un plan quelconque Eq de Sq; les plans normaux de ses rayons forment un faisceau de plans dont l'axe est x'^^, et qui est en position perspective avec les rayons du plan médian. De même, les plans normaux (x\ forment un

MOUVEMENT d'uN CORPS AUTOUR D'uN POINT FIXE. 6l

faisceau perspectif aux rayons af du plan médian Ej" qui a pour axe wi/ j 2 *

Les deux faisceaux sont donc projectifs et engendrent un cône du second ordre qui passe par ^oi et^ij.Maisil contient aussi l'axe de rotation x'^^ commun aux gerbes S2 et Sq, car chaque rayon a est Tintersection des trois plans normaux qui bissectent les angles (ao^i), («2<3?o)> («i«2)> ^t sont perpendiculaires aux plans de ces angles. Commet' est à la fois dans al et ajf, il résulte de l'avant-dernier théorème du précédent numéro que a est la droite d'intersection des plans normaux aj'etaj'dans le mouvement inverse; c'est donc l'axe du cône de révolution qui contient aj,, a\y a\. La signification géométrique des rayons a et a' de S et S' qui se correspondent de cette façon est donc complètement réciproque. Il s'ensuit qu'inversement, si les rayons a' de S' sont dans un plan z\ les droites correspondantes ûj de S formeront un cône du second ordre qui passe par ^2o> ^^u ^n» Deux gerbes qui sont liées de cette façon l'une à l'autre sont dites en correspondance quadratique, et ^12, ^20» ^01 ou x\^y x\^, x'^^ sont les rayons principaux, 11 suit de là que :

Si à chaque rayon a de la gerbe S nous faisons correspondre le rayon a' de la gerbe S', suivant lequel se coupent les plans normaux a\ et oL{y a sera aussi l'intersection des plans normaux «y' et cl{ pour le mouvement inverse. Les deux gerbes qui sont ainsi liées Vune à Vautre sont en correspondance quadratique. Les rayons principaux de S' sont les trois axes de rotation du mouvement direct, et les rayons principaux de S sont les axes de rotation du mouvement inverse.

Les axes de rotation x^^^ ^j^, x^^ de la gerbe S forment un trièdre, et de même ceux de S'. On démontrera d'une manière analogue à ce qui a été fait pour la Géométrie plane (Chap.I, § 11,2) que les deux trièdres sont ^e'& figures symétriques. Supposons que les gerbes S et S' soient dans la position origine Sq et SJj, alors ^01 et x'^^ coïncideront, ainsi que x^Q ei «^'20*

2. Continuons à supposer que S et S' soient dans la position origine, Sq et S^. Soit n un plan quelconque perpendiculaire

02 CnAPITRE II.

à û^Qiy il coupera les deux systèmes qui se correspondent quadratiquement suivant deux systèmes plans reliés de la mênne façon. Les points principaux seront X12, X,o, Xoi, etX'u, Xi^, Xq 1, qui sont les points d'intersection de ri avec les lignes principales de la gerbe. Comme ri est perpendiculaire sur x^^yles deux triangles formés par les points principaux sont des figures symétriques. Donc les systèmes plans superposés sont complètement identiques avec les systèmes plans correspondants a et d' que nous avons étudiés au Chapitre précédent. Il nous est donc permis de transporter au cas présent les résultats obtenus. Les systèmes plans, intersections de ri avec S el S', seront aussi désignés par <j et o-', et nous pourrons appliquer à ces systèmes tous les résultats trouvés en Géométrie plane (*).

Nous avons ainsi résolu en principe les problèmes qui se rattachent à la correspondance quadratique de S et de S'. Il nous suffira de déduire, des propriétés connues des systèmes (T et c', les propriétés correspondantes des gerbes S et S'.

A la droite de Tinfini de l'un des systèmes plans, correspond dans l'autre le cercle circonscrit au triangle des points principaux. Mais la droite de l'infini de chacun des deux systèmes est l'intersection des plans ^01 et m, ^01 = ^01 étant le plan normal perpendiculaire à ^01 = j^^f I^ s'ensuit qu'au plan ^01 correspond, dans chaque gerbe, un cône qui passe par l'axe de rotation, et qui est coupé suivant des cercles par les plans perpendiculaires sur Xqi. Ce cône est donc orthogonal, et il est visible qu'il est complètement déterminé par les trois rayons principaux. Nous désignerons le cône de S qui correspond au plan ^^i par Wou et celui de S' qui correspond au plan loi par W'oij; on a démontré que les deux cercles des inflexions situés dans o* et o-' ont même diamètre, donc les angles d'ouverture de W012 et W^n sont égaux entre eux.

(*) Aronhold, dans les conférences de Géométrie cinématique qu'il fît au Polytechnicum de Berlin, montra le premier comment on peut ramener à des constructions planes celles qui se présentent par la gerbe. Sa méthode a été exposée par Buka. Elle contient déjà les principes de la représentation donnée dans le texte [Voir Buka, Dos sphàrische Kurbelgetriebe {Inaugural Dissertation, Gôttingen, 1876)].

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3. Si les positions So, Si, Sg se rapprochent indéfiniment, nous obtiendrons des théorèmes applicables à chaque instant au mouvement d'un corps autour d'un point fixe. Alors «'devient l'axe de courbure de chaque point de a. Nous désignerons cette droite sous le nom ^'axe de courbure du rayon a. Dans ce sens a sera aussi Taxe de courbure de a! pour le mouvement»inverse, et l'on a ce théorème :

Si un corps se meut autour d'un point fixe, et si a' est Taxe de courbure du rayon a, a sera de même axe de courbure de a' pour le mouvement inverse. Si nous faisons correspondre ces rayons l'un à l'autre, les gerbes de rayons qui se correspondent ainsi sont en correspondance quadratique. Les rayons principaux se confondent avec Vaxe instantané de rotation, et les plans principaux avec le plan tangent commun aux cônes polaires.

Les cônejs orthogonaux W012 et W'j> j j deviendront à la limite deux cônes également orthogonaux W et W qui touchent le plan tangent commun aux cônes polaires F et F, le long de l'axe instantané de rotation. Imaginons que le plan normal à r et F mené par ^ coupe le cône W en a et W Qn v'; x et V seront les deux rayons de W sur lesquels les plans de sections circulaires sont perpendiculaires, et x' et v' les rayons analogues du cône W. Chaque rayon 5 de W est caractérisé par ce fait que son axe de courbure est perpendiculaire sur^, et la même chose a lieu pour les rayons t' du cône W dans le mouvement inverse. Les rayons des deux cônes jouissent encore d'une autre propriété géométrique. Le plan {sx) est le plan normal du rayon s\ de plus, chacun des rayons s est projeté de a: et de w au moyen de deux plans perpendiculaires; donc le plan [5w] est le plan tangent le long de 5. La même chose a lieu pour les rayons du cône W, et cela aussi bien pour le mouvement direct que pour le mouvement inverse. Donc :

Les plans tangents aux cônes trajectoires des rayons du cône orthogonale passent tous par une même droite, savoir la droite u de ce cône. De même les plans tangents des rayons du cône orthogonal e' passent tous par le rayon v' de ce

cône. Cela a lieu aussi bien dans le mouvement direct que dans le mouvement inverse.

Nous venons de faire voir qu*aux rayons de tout plan £ de S correspond, dans la gerbe S', un cône du second ordre qui contient les trois axes de rotation x\^^ x\^j x'^^ du mouvement inverse. Cela a lieu pour des positions quelconques So, S,, S2 de la gerbe S, donc aussi pour des positions infiniment voisines. Dans ce cas W sera osculateur le long de œ au cône du second ordre dont il vient d'être fait mention, et la même chose a lieu pour W, par rapport au cône qui correspond aux rayons d'un plan t' de S'.

Donc :

Tous les cônes du second ordre de la gerbe S' qui correspondent aux plans s de la gerbe S sont osculateurs au cône orthogonal W le long de l'axe instantané de rotation; de même, le cône orthogonal W est osculateur à tous les cônes du second ordre de la gerbe S qui correspondent aux faisceaux plans de rayons de S'.

Les cônes W et W jouent, dans la correspondance quadratique des deux gerbes le même rôle que les cercles des inflexions dans la correspondance quadralique des plans

c et (t'.

V. Nous avons démontre, au § VI du Chapitre précédent, que la signification géométrique des deux points correspondants A et A' des systèmes plans a et o-', en relation quadratique, pouvait s'étendre aux enveloppes des courbes du système.

La môme chose a lieu, comme on va le faire voir, pour le mouvement d'une gerbe de rayons autour d'un point fixe.

Soit, en effet, R un cône de révolution quelconque de la gerbe S; Ro, R,, R2 ses positions dans So, S,, Sa et R'J, R"]f les cônes correspondants des gerbes S'J, SJ* en collinéation avec S. En général, ce ne sont pas des cônes de révolution, mais cela n'est pas essentiel, comme le montre la suite do ces recherches.

Soit a l'axe du cône R, «o» ^i> «2 ses positions dans So, S;, S,

MOUYEMENT D'UN CORPS AUTOUR D'uN POINT FIXE. 65

et aj*, «7 les droites correspondantes de SJ* et S7. Les plans

sont des plans correspondants des gerbes Sq, SJ* et Si-

Soit b^ Tune des droites suivant lesquelles ttS* coupe le cône RJ*, et, pour fixer les idées, admettons que 6J* soît situé entre ;rj,j et aj*. Alors tcq coupera le cône R© suivant boy et TTi le cône Ri suivant 6j, et bo sera également situé entre a:'^^ et eio; ^1 entre ^r'^^ et «i. Enfin, soit PJ* le plan tangent au cône RJ* le long de 6J*; les plans correspondants Po et j3i seront des plans tangents aux cônes Rq et Rj. Construisons de la même façon les plans correspondants

[«l<î]=Pl, [<^\t]=pT^ [«2^i2]=Pî

des gerbes Sj, S^ et Sj, et désignons par cj* le rayon situé entre aj* et ^'^ suivant lequel pj* coupe le cône R^*. Alors Ri sera coupé par pi suivant Ci et Rj par pj suivant Cj.

Nous désignerons par yj* le plan tangent à R^ le long de c^; yi touchera le cône R, le long de Ci et /j sera tangent à Rj le long de Cj.

Soit maintenant K un cône quelconque de la gerbe S, qui ne sera assujetti qu'à toucher le cône de révolution R, suivant les deux génératrices b et c. Concevons ensuite que la rotation autour de j^g, devienne infiniment petite; alors (3J' deviendra, comme on Ta démontré au paragraphe précédent, le plan tangent à Tenveloppe de K; 6J* deviendra la génératrice de contact et ttJ* le plan normal à Tenveloppe suivant ce rayon. De même, si la rotation autour de ^^2 devient infiniment petite, ^12 sera Taxe instantané de rotation, y^* ^^ plan tangent, cf le rayon de contact et pi" le plan normal à Tenveloppe.

Admettons encore que a;Q^ et x\2 soient deux génératrices infiniment voisines du cône polaire, il s'ensuit immédiatement que le rayon d'intersection des deux plans normaux ttJ* et pf devient l'axe de courbure de l'enveloppe de Ki et R le cône de courbure de K suivant le rayon b; c'est-à-dire que pour tout cône K qui a R comme cône de courbure, la droite qui est la position limite de l'intersection de ttJ* et pf sera l'axe de courbure de l'enveloppe correspondante.

Il nous faut encore montrer que cette droite est réellement Taxe de courbure de la surface engendrée par a, c'est-à-dire la droite a' de S'. Cela résulte de ce qui suit :

Soit aj* le plan passant par aj* et perpendiculaire sur ttJ*. Il est facile de voir que ttq est perpendiculaire au plan correspondant Uq de So, et tti perpendiculaire sur a,. Donc ao> «1, aj* sont les projections de œ'^i sur (Xq, a,, aj*, c'est-à-dire que Œq et a^ sont les droites d'intersection du plan aj* avec a© et «1. Le plan aj* est donc identique avec le plan [fl^o^i]- Par conséquent, ttJ* est identique avec le plan normal aj du rayon a qui correspond aux positions Sq et S^ De même, pj* est identique avec le plan normal (x\ qui correspond à Sj et Si, c'est-à-dire que la ligne d'intersection de ttJ* et de p7* est, en effet, en même temps ligne d'intersection de «^ et de a\, et se confond à la limite avec a'.

Désignons l'enveloppe du cône K par K', et remarquons que, dans le mouvement inverse, K est l'enveloppe de K', nous arrivons au théorème général suivant :

Si K et K' sont deux surfaces coniques quelconques des deux faisceaux dont Vun enveloppe Vautre, leurs axes instantanés de courbure pour la génératrice de contact sont deux rayons correspondants a et a' dans la relation quadratique qui caractérise l'instant considéré du mouvement.

La signification des cônes W et W peut être étendue au moyen de ce théorème. Soient encore K et K' deux surfaces coniques de l'espèce considérée. Si l'axe de courbure de l'un des cônes de K, par exemple, est situé dans le plan ^, celui du cône K' sera sur la surface conique W de la gerbe S'; et si Taxe de courbure de K est sur le cône orthogonal W de la gerbe S', celui de K' sera dans le plan Ç.