IV. — Les canes des inflexions

1. Nous avons montré que les cônes orthogonaux Wet W jouent par rapport à la correspondance quadratique des deux gerbes S et S' le même rôle que les cercles des inflexions dans le plan; mais les cercles des inflexions ont une double signification cinématique. Ils forment en effet le lieu des points qui passent par un point d'inflexion de leur trajectoire, et cette propriété ne s'étend pas aux génératrices des cônes orthogonaux. Un rayon de S qui, à ce point de vue, sera analogue à un point du cercle des inflexions doit jouir de cette propriété que ses trois positions consécutives soient dans un même plan, c'est-à-dire que a et a! seront perpendiculaires l'un sur l'autre. Mais ceci n'a pas lieu, en général, pour les génératrices des cônes orthogonaux. Si, en effet, v est une génératrice du cône W, le plan déterminé par v et v^ passe par Taxe de rotation x^ et comme ^' est dans le plan ^ normal à x^ v' ne peut être perpendiculaire qu'à x. Il se pose maintenant ce problème : Existe-t-il des rayons de l'espèce considérée, et quel est le lieu de ces rayons?

2. Pour répondre à cette question, nous partirons encore de trois positions So» Si, Sj choisies arbitrairement pour la.gerbe mobile S. Si s est un plan quelconque de Si, les faisceaux égaux de rayons situés dans Eq et Si engendrent un cône de deuxième classe qui est celui que nous avons déjà considéré plus particulièrement au § I, k. De même, les faisceaux situés dans £1 et Ej engendreront un pareil cône. Les deux cônes n'auront en général que e, comme plan tangent commun. Il existe donc encore trois plans tangents communs ef différents l'un de l'autre; dans chacun d'eux se trouvent trois rayons correspondants ^o, ai, a,. Le plan 6 contient donc trois

rayons de l'espèce considérée, et Tensemble de ces rayons forme un cône du troisième ordre KJij. Sur ce cône se trouvent aussi les trois axes de rotation ^u, œ^Q^ ^^i» csir, pour chacun d'eux, deux positions coïncident.

Les plans a perpendiculaires aux génératrices de KJ,, jouissent de cette propriété que «o, «i, a, se coupent suivant une seule et même droite. Il existe donc une infinité de plans de cette espèce, et leur ensemble constitue un cône de la troisième classe X:J,j qui est le cône supplémentaire de KJ12.

Si $ij, ?jo> ^01 sont les plans perpendiculaires sur a^i,, a:^,, ^01» ces plans seront tangents à Arjj,. Le plan ^01 est le plan uni commun aux deux gerbes So et Sj. Si la gerbe S tourne autour de ar^i, ^01 subit un déplacement dans son plan en tournant autour du point 0. Ce plan renferme donc deux rayons doubles : ceux qui joignent aux points circulaires de rinfini (Chap. I, § III, 5). Désignons-les par «oi etyoi* Avec ^01 ils forment les trois rayons unis des deux gerbes en collinéation.

Comme «oi et y 01 doivent être considérés comme immobiles lors de la rotation effectuée autour de ^oi> chacun d'eux jouit de la propriété d'être dans le même plan pour trois positions consécutives, c'est-à-dire que «oi ^^Joi sont des génératrices du cône KJjj. La même chose a lieu pour les rayons analogues des plans ^u et $20» c'est-à-dire que les six droites imaginaires «12, 7*12, iioy 7*20, «01, 7*01 sont sur le cône KJi,.

Nous avons donc le théorème suivant :

Si So, Si, S2 sont trois positions arbitraires de la gerbe S, celle-ci contient une infinité de rayons pour lesquels a©, «i, a^ sont situés dans un même plan. Ces rayons forment un cône du troisième ordre K J j j qui contient les trois axes de rotation^ et six droites imaginaires : i^, y 12, «20, 720, 4i,7oi' ^^ même il existe une infinité de plans a appartenant à la gerbe S, pour lesquels ocq, «i, «2 se coupent suivant une même droite. Ces plans enveloppent un cône de troisième classe kl^ , qui est le cône supplémentaire du cône KJjj.

Les cônes analogues existent dans la gerbe S' pour le mouvement inverse. Nous les désignerons par KJi, et kl\^.