MOUYEMENT D*UN CORPS AUTOUR D*UN POINT FIXE

La droite d'intersection des plans ao, «i, «2 est perpendiculaire au plan des droites a^y a^, a^. Elle ne diffère donc pas de la droite a' qui correspond à a dans la relation quadratique qui lie les deux gerbes.

Considérons maintenant le mouvement inverse. Comme on doit désigner par a' la droite d'intersection de «o» «i» «2 considérée comme faisant partie de la gerbe S', nous pouvons dire que, pour les trois positions Sq, Sj, S2, le plan a passe toujours par a'. Dans le mouvement inverse, le rayon a' restera dans le plan a pour ses trois positions a'o, a\y («',, c'està-dire que c'est un rayon du cône KJj,. Donc la droite correspondant à une génératrice a du cône KJi, sera toujours sur le cône KJi,, c'est-à-dire que :

Les deux cônes KJu et KJj, se correspondent dans la relation quadratique qui lie les deux gerbes S et S'.

Désignons par a! le plan des trois droites ao> «i> «j» en tant que plan de S'; le rayon a restera pour les trois positions So, Si, Ss dans le même plan a' de S'. Dans le mouvement inverse, les plans «q, <x\y «j se couperont suivant une même droite a de S. Donc a est un plan tangent au cône kl\^,

k. Rapprochons indéfiniment les trois positions So, Sj, Sj, les génératrices a du cône KJ,, jouiront de la propriété de passer par des génératrices d'inflexion de leurs cônes trajectoires, et les plans a de A:Jj, seront caractérisés par ce fait qu'ils touchent leurs cônes enveloppes suivant des génératrices de rebroussement.

D'où il suit que :

Si un corps se déplace autour d'un point fixe, il existe à chaque instant une infinité de rayons qui coïncident avec des génératrices d' inflexion de leurs cônes trajectoires. Ces droites sont sur un cône du troisième ordreli} qui touche le plan tangent commun aux cônes polaires, suivant l*axe instantané de rotation. Il existe un cône analogue K^' dans la gerbe S' pour le mouvement inverse (*). Le cône supplémentaire k^ du

( *) Schell déjà mentionne brièvement le cône K» ( Théorie der Bewegung und der Kràfte, t. I, p. 497 )•

cône K* jouit de cette propriété que ses plans tangents passent par des génératrices de rebroussement de leurs enveloppes, La même chose a lieu pour le cône supplémentaire A:*' du cône K*' dans le mouvement inverse.

On désignera les cônes K' et K" sous le nom de cônes des inflexions, et les cônes k^ et k^' seront les cônes de rebroussement. Toute droite de S, qui se meut dans un plan, est située sur K', et tout plan qui passe toujours par une même droite est tangent à k^.

Comme à tout rayon a de K* correspond, dans la relation quadratique qui caractérise l'instant considéré du mouvement, un rayon a' de S', nous pourrons encore énoncer le théorème suivant :

Le cône des inflexions K'' est le lieu des axes de courbure des génératrices de K'; de même, lors du mouvement inverse, le cône des inflexions K' sera le lieu des axes de courbure des rayons de K".

Les cônes K' et k^' ont aussi une certaine relation géométrique. Nous venons de faire voir que tout plan tangent a! de k^' contient les trois droites «o» ^i> ^2- De même toute droite a' de K*' est la droite d'intersection de trois plans a©»

£n passant à la limite :

Les plans du cône k^' sont les plans tangents d^ inflexion des génératrices de K' ; et les rayons de K^' sont les génératrices de rebroussement des cônes enveloppes des plans de k^\ des propositions analogues ont lieu pour le mouvement inverse.

Pour deux rayons correspondants a et a' des deux cônes des inflexions, on a la relation (§ III. 2)

(cot A -h coQ')cosa = cot(p.

Dans le cas présent, a et a' sont perpendiculaires Tun sur l'autre.

Donc :

( cot X -h tang X ) cos a = tang <p sin 2 X=: 2 -cos a tang 9.

MOUVEMENT D*CN CORPS AUTOUR d'uN POINT FIXE. 70

Cette équation détermine pour chaque plan passant par Taxe instantané de rotation les deux rayons qu'il a en commun avec le cône des inflexions.

5. Considérons maintenant quatre positions données à volonté So, S,, S2, S3 de la gerbe S. Le cône des inflexions qui correspond aux positions So, Si, Sa du système sera encore KJij et le cône des inflexions qui correspond aux positions S,, S2, S3 et qui, par conséquent, contient tous les rayons a de S pour lesquels a,, a^y a^ sont dans un même plan , sera désigné par KJ23. Les deux cônes se couperont, en général, suivant neuf génératrices a, et chacune d'elles est caractérisée par ce fait que ao> <^u <^2> ainsi que «i, «2» (^% sont dans un même plan. Les quatre positions a©» «i> ^2> «3 sont donc, pour chacune de ces génératrices, dans un même plan. Mais le cône KJ^ contient les axes de rotation ^12, ^2o> ^01 et le cône KJ23 les axes ;r23, x^^^ œ^^. Les deux cônes ont donc en commun Taxe œ^^. Cet axe est une droite pour laquelle la seconde et la troisième position, c'est-à-dire celles qui correspondent aux gerbes Si et S2, se confondent; elle ne jouira donc pas, en général, de la propriété d'être dans le même plan pour quatre positions consécutives. La même chose a lieu pour les deux droites imaginaires 2*12,712 qui sont sur les deux cônes des inflexions; mais la proposition dont il vient d'être question subsiste pour les six autres génératrices d'intersection. Il suit de là que :

Si l'on prend arbitrairement quatre positions So, Si, S2, S3 de la gerbe^ il existe^ en général, six rayons a pour lesquels «0» <^\y ^2> ^3 sont contenus dans un seul et même plan.

De même, il existe six plans a de la gerbe S, ayant la propriété de passer par une même droite pour les quatre positions «0» «!> «2» «s» Ce sont les plans perpendiculaires aux six droites.

Si les positions des gerbes se rapprochent indéfiniment, nous obtiendrons des propositions analogues se rapportant au mouvement continu d'un corps autour d'un point ^\xe. Nous voyons qu'il existe à chaque instant dans le corps six rayons pour lesquels quatre positions consécutives sont dans le même plan. On pourra, par analogie avec ce qui a été

fait pour les trajectoires de points, les désigner par génératrices d'ondulation des surfaces coniques sur lesquelles elles se trouvent. Un quelconque des six plans, qui sont perpendiculaires sur ces rayons, jouit de la propriété de passer par une même droite pour quatre positions consécutives.

La même chose a lieu pour le mouvement inverse. Si, de plus, at! est Tun des six plans de S', ce sera un plan tangent à la surface trajectoire de Tun des six rayons, et, de même, chacun des six rayons a' est une des droites par lesquelles passe Tun des six plans dans ses quatre positions consécutives.

6. Chaque génératrice x du cône polaire F passe par une génératrice de rebroussement de son cône trajectoire au moment où elle devient axe instantané de rotation, et, en général, il n'y aura que les génératrices de la gerbe S, appartenant au cône polaire, qui jouiront de la propriété de décrire des surfaces trajectoires ayant des génératrices de rebroussement.

De même, il est visible que le plan \ perpendiculaire à ^, dans le moment où x est axe instantané de rotation, se trouve être un plan tangent d'inflexion du cône qu'il enveloppe, et, en général, en dehors des plans tangents au cône supplémentaire de r, il n'existe pas d'autre plan enveloppant une surface conique qui possède un plan tangent d'inflexion. Ici nous pourrions répéter le raisonnement fait au Chapitre précédent (§ V, 6) pour le mouvement plan.

Il nous suffira de transporter à la géométrie de la gerbe les résultats acquis. Appelons donc 4* et 4*' les angles que les axes de courbure instantanés des cônes polaires forment avec l'axe de rotation, il s'ensuivra immédiatement que :

Siy à un instant quelconque, les axes de courbure des cônes polaires sont du même côté du plan tangent comm,un, et que la différence {^ — 4' ) change en même temps de signe, tout rayon des deux gerbes est une génératrice de rebroussement de sa surface trajectoire, et chaque plan des deux gerbes est un plan tangent d'inflexion de la surface conique qu'il enveloppe.

MOUVEMENT D*UN CORPS AUTOUR d'uN POINT FIXE. 77

Enfin, nous pourrons encore énoncer le théorème suivant :

L* enveloppe de tous les cônes d* inflexion de la gerbe S se compose de deux parties dont la signification géométrique est bien distincte. Uune de ces parties est le cône polaire F, dont les rayons jouissent de la propriété de décrire des surfaces coniques à génératrices de rebroussement. Vautre est le lieu des rayons de la gerbe dont les surfaces trajectoires ont des génératrices d* ondulation.

Les théorèmes correspondants s'appliquent à l'enveloppe de tous les cônes de rebroussement.