I. — Le centre de rotation

1. Soit un plan quelconque u', et o- une portion limitée d'un plan qui se déplace d'une façon quelconque dans o-'. Supposons que les limites de o- s'éloignent indéfiniment, nous arriverons à la conception d'un plan illimité o- se déplaçant dans un plan fixe et indéformable o-'. Conformément à l'usage établi en Géométrie synthétique, nous appellerons le plan rj un système plan. Chacun de ses points A décrit une courbe située dans le plan a' et que nous appellerons la trajectoire de A.

Nous désignerons les points et les droites du système o- par des lettres sans indices, aussi longtemps qu'il ne s'agira que de caractériser un point A ou une droite g déterminés du système sans faire intervenir leur position dans o-'. Par contre, les différentes positions que cr, A et ^ prendront dans a', au cours du mouvement, seront désignées par

O"0î Ao, g^y

O"!, Al, 0*2 , A 2 ;

gu

2. Soient maintenant A et B deux points de cr qui, pour deux positions successives et arbitraires de ce système, o-q et <ji, occupent dans or' des positions A©, B© et Ai, Bj. Si Cq est la première position d'un troisième point quelconque C de cr, sa position Ci sera déterminée par la condition que les triangles AqBoCo, AiBiC, soient égaux. Et il doit être possible de transformer par un simple déplacement le triangle AoBqCo dans le triangle AiBiCi. Un seul point Ci satisfait à cette condition. Et comme ce qui vient d'être dit s'applique à tout point de o", il s'ensuit que :

La position d'un système plan invariable qui se déplace dans son plan est complètement déterminée par la position de deux de ses points.

Comme, dans le cours de cet Ouvrage, nous ne considérerons que des systèmes invariables, c'est-à-dire tels que la distance de deux points reste la même pendant tout le déplacement, nous omettrons à l'avenir de faire ressortir spécialement l'invariabilité du système.

Élevons en A'", milieu de AoA,, la perpendiculaire a"* sur cette droite, et en B'", milieu de BqB,, la perpendiculaire ô\

Fig. I

JV /

et désignons

par le

or »,

point de rencontre des droites

et

ifig' 0-

On a

AoO:

BoO.

AoBo^

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. S

Les triangles AqOBo, AjOBi sont donc égaux, et

A(AoOAi)==:A(BoOBO.

On voit donc que, par une rotation autour de 0, le point A© arrivera en Ai, en même temps que le point Bq viendra en Bi. Et comme la position de a est complètement déterminée par la position de ces deux points, on peut dire :

Le déplacement dun système plan dans son plan peut être obtenu par une rotation du système autour d'un point fixe (*).

On appellera ce point centre ou pôle de rotation. C'est le point réel commun aux systèmes congruents Uo et o-i.

Ao Al sera la corde de A, et la perpendiculaire a"* élevée en son milieu sera le rayon normal du point A.

Puisque, pour passer de la position a© à la position o^i, le système a tourne autour de 0, chacun de ses points C décrit un arc de cercle dont le centre est en 0. ç^ passe donc par 0, et il s'ensuit que :

Les rayons normaux de tous les points du système passent par le centre de rotation.

Il peut arriver comme cas particulier que les rayons normaux a^ et b"* soient parallèles.

Alors leur point de rencontre est à ^'8* ^•

rinfîni {fig^ 2).

Les cordes AqAi, BqBi sont donc également parallèles, et comme AoBo = AiBi, elles sont égales entre elles.

Si CoGi est la corde d'un autre point quelconque C de o", l'égalité des triangles AoBqCo, AiBiCi montre que CoCi est aussi égale et parallèle à AoAi, et BqBi,

(*) Ce théorème a d'abord été énoncé par Chasles {Bulletin des Sciences mathématiques de Férussac, t. XXIV, p. 821; i83o). Le Mémoire complet ne fut publié qu'en 1878 sous le titre : Mémoire de Géométrie sur la construction des normales à plusieurs courbes mécaniques {Bulletin de la Société mathématique de France, t. VI, p. 208).

c*esl-à-dîre que toutes les cordes des points de o* sont égales et parallèles entre elles. Il suffit donc d'une simple translation qui est donnée en grandeur et en direction par AqAi ou BqBi pour faire passer le système u de <Jo en o"i. A moins d'une mention spéciale, ce cas sera toujours exclu par la suite.

3. Considérons maintenant deux positions go et gi d'une droite g de a. L'intersection de go et g^ est la position de deux points distincts A et B de g, suivant qu'elle est considérée comme faisant partie de ^o ou de gi : appelons-la Bo en tant que point de go; et Ai en tant que point de gi. Soient

Fig. 3.

Ao la position de A sur go, Bj celle de B sur gi. Comme AoBo=: A,Bi, les points milieux A,„ et B;„ sont les positions d'un même point de g que nous désignerons par Go et G, ; la ligne qui les joint sera g'" ; elle fait des angles égaux avec gç^ et ^1.

Les cordes de tous les points de g enveloppent une parabole qui a go^gug"^ pour tangentes. Les tangentes à une parabole déterminent sur deux tangentes fixes des ponctuelles semblables; si donc C est un point choisi à volonté sur ^, sa

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. 5

corde CoCi sera divisée en deux parties égales par ^'", c'està-dire que C'" est sur ^"^ Mais on a démontré que la perpendiculaire abaissée de sur CoGi passe par C". Donc, toute corde peut être considérée comme Tun des côtés d'un angle droit dont Tautre côté passe par et dont le sommet est toujours sur g"^. On a donc le théorème :

Les milieux des cordes de tous les points d'une droite g sont sur une droite g'"' qui fait des angles égaux avec g^ et g^. Les cordes elles-mêmes enveloppent une parabole dont le foyer est au centre de rotation, et dont la droite g"^ est la tangente au sommet.

On appellera cette droite g^ la médiane de g.

Projetons la corde CoCi sur ^"*. La projection de CqCi est égale à celle du contour CoBo Ci. Comme g^ et gi font des angles égaux avec ^'", les projections de CqBo et de C,Bi sont égales et de sens contraires. Donc la projection de toute corde est égale à celle de BqB,, ou égale àGoGi, c'est-à-dire que :

Les projections des cordes de tous les points d'une droite sur la médiane sont constantes, et égales à la corde qui coïncide avec la médiane,

4. Les théorèmes précédents font voir qu'à chaque point Ao correspond un point A'", et à chaque droite g^ une droite g"K Mais Tangle de ^0 et de ^"^ est égal à| A(GoOGi), c'est-à-dire qu'il est égal à la moitié de l'angle dont il faut faire tourner opour passer de la position o-q à la position œj. L'angle d'une droite avec sa médiane est donc constant. D'où il suit que deux droites gç^ et Aq se coupent toujours sous le même angle que leurs médianes g'"- et h^.

Le système (Tq, et celui g"^ formé par les milieux des cordes, sont des systèmes semblables qui ont en commun le centre de rotation^ lequel se correspond à lui-même.

5. Les résultats précédents sont indépendants des positions respectives de œq et a^. Si ces positions deviennent infiniment voisines, les théorèmes énoncés plus haut donnent naissance à des propositions applicables à chaque instant au mouvement

d'un système plan dans son plan. La corde Ao Ai devient la tangente à la trajectoire, et ay devient la normale. Donc :

Lorsque un système plan se déplace d* une manière quelconque dans son plan, les normales aux trajectoires de tous les points passent à chaque instant par le même point.

Le système exécute à Tinstant considéré une rotation infiniment petite autour de ce point. On rappelle centre ou pôle instantané de rotation (*).

Nous pouvons dire encore que :

Les tangentes aux trajectoires de tous les points d'une droite g de G enveloppent à chaque instant une parabole qui a le centre instantané pour foyer, et la droite g pour tangente au sommet.

6. Nous allons rattacher aux études précédentes, dans lesquelles on ne s'est occupé que des trajectoires des points, la recherche des enveloppes des droites et des courbes du système.

Nous commencerons encore par supposer données des positions (To, 0",, 0-2 du système. Conjointement, nous considérerons les systèmes semblables o-J*, o-J*, définis plus haut, o-"* sera le système formé par les milieux AJ* des cordes AqAi, (j^ celui des milieux de AiAj. Désignons par Oqi le centre de rotalion de (To et c7i. Par la considération de ces systèmes, nous pourrons démontrer en toute rigueur les théorèmes qui se rapportent au mouvement continu.

La raison en est que les propriétés de aj*, a^ sont indépendantes des positions relatives de (To, o"i, o-j, et subsistent pour un déplacement infiniment petit de c. Comme à la limite aj*

(*) C'est Bernoulli qui découvrit l'existence du centre instantané de rotation pour le mouvement le plus général d'un système plan dans son plan : De centra spontaneo rotationis {Opéra, t. IV, p. 265; 1742).

Descartes avait déjà énoncé plus de cent ans auparavant ce théorème que : lorsqu'une courbe roule sur une autre, les normales aux trajectoires de tous les points passent par le point de contact instantané {Œuvres de Descartes, édition Cousin, t. VII, p. 88; i638).

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. 7

se confond avec Uo, on pourra déduire des propriétés invariables des systèmes o-^ et u^ des théorèmes applicables à c lui-même à chaque instant du mouvement.

7. Soit encore ^o une droite de o-q et ^J* et gx les droites correspondantes de o-J* et o"i. Les points où g^ et ^j sont coupées par gf (I, 3) sont des points correspondants G©, Gi (voir fig. 3), et la perpendiculaire abaissée de Ooi sur ^J* passe par GJ*. La similitude des systèmes o-q, o"?*, o"i, nous montre que les perpendiculaires abaissées de Ooi sur^o et g^ coupent ces droites en Go et Gi, et que les trois perpendiculaires sont des droites homologues des trois systèmes. Ceci a lieu quelle que soit la position relative de gç^ et gx. Si le déplacement de o* devient infiniment petit, le point GJ* se confondra avec le point de contact instantané de la droite ^o et de Tenveloppe, et la perpendiculaire abaissée du centre de rotation sur ^J* devient la normale à Tenveloppe. Mais cette perpendiculaire passe toujours par GJ*, c'est-à-dire que la perpendiculaire abaissée du centre instantané de rotation sur une droite du système coupe celle-ci au point où elle touche son enveloppe à rinstant considéré.

Le même théorème a lieu pour Tenveloppe d'une courbe quelconque K de o-. Soient [fig- 4) Ko et Ki ses positions dans

Fig. 4.

(To et 0-1, et soit KJ* la courbe correspondante de af. Par le centre de rotation, menons une normale p^ à KJ*, et soit g^

Ja tangente à KJ* au point dinterseclion GJ*. Construisons les points et les droites correspondantes de (7© et a^. Alors ^o touchera la courbe Kq en Go, et^^, la courbe Kj en Gi. D'ailleurs Go et G i sont les points d'intersection de g'^ avec go eigi.

Les droites po eipi sont des normales à Ko et Ki en Go et G, et sontdonc perpendiculaires sur^o et ^i« Ceci a lieu quelle que soit la position relative des systèmes o"o et o"i et, par conséquent, pour un déplacement infiniment petit. Si nous passons à la limite, g"^ deviendra la tangente à l'enveloppe de K, et GJ* sera le point de contact. Donc la normale à l'enveloppe de K passe par le centre instantané de rotation.

Par suite, on a le théorème :

Lorsqu'un système plan se déplace d^ une manière quelconque dans son plan, les normales menées aux enveloppes des droites et des courbes du système aux points de contact avec V enveloppée passent par le centre instantané de rotation.

8. Considérons maintenant toutes les droites passant par un point quelconque A de o*. Le point où chacune de ces droites touche son enveloppe est à l'intersection de cette droite et de la perpendiculaire abaissée sur elle du centre instantané. Le lieu de ces points est un cercle, car il, est engendré par deux faisceaux de rayons et A tels que deux rayons correspondants soient perpendiculaires l'un sur l'autre.

Donc :

Les points ou les droites d'un faisceau touchent leur enveloppe sont à chaque instant sur un cercle qui a pour diamètre la droite qui joint le centre instantané au centre du faisceau,

IL — Les courbes polaires et rinversion du mouvement.

1. Supposons que le système a effectue successivement des rotations 2 0)0, 2 0)1, 2 0)2, ••• autour de points 0',Q',R' donnés arbitrairement dans le plan fixe. De la position initiale <Jo> il passe successivement aux positions c7i, (Ta, 0-3, . . ..Déterminons

Fig. 5.

MOUVEMENT d'UN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. 9

dans la position initiale {fig. 5) le point Q de telle manière que QO'=Q'0' et que A (QO'Q') = ^wo, puis menons par Q la droite QT telle que A (TQO') = A (R'Q'O'). Dans le système mobile plaçons encore le point R de telle manière que RQ = R'Q' et que A (RQT) soit égal à 2 0)1, etc. Désignons encore le point 0' par en tant que point de o*. Nous aurons ainsi obtenu dans o- un polygone bien déterminé, OQRS, dont les côtés sont respectivement égaux à ceux de O'Q'R'S'. Si maintenant u tourne autour de 0' de l'angle 20)0, Q viendra coïncider avec Q'; la rotation suivante 2 w," effectuée autour de Q' amène R et R' en coïncidence, etc.

Le mouvement a donc lieu de telle façon que le polygone OQRS roule pour ainsi dire sur 0'0'R'S'.

2. Les théorèmes précédents sont indépendantsdu nombre des systèmes considérés, et de leurs positions relatives. Ils ont donc lieu encore lorsque les systèmes o"o, (Ti, 0-2» •• • se

rapprochent autant qu'on voudra de façon que a se déplace d'une manière continue dans son plan. Les deux polygones se transforment alors en courbes. Le polygone O'Q'R'S'devient la courbe €' du plan fixe dont les points seront, dans le courant du mouvement, les centres instantanés de rotation ; le polygone OQRS deviendra le lieu des points du système mobile, qui, pendant le déplacement, coïncideront avec les centres instantanés de rotation. Le mouvement lui-même a lieu de telle façon que la dernière courbe, que nous désignerons par €, roule sur la courbe €' du plan fixe.

11 faut toutefois supposer que les centres de rotation ne tombent pas à l'infini, c'est-à-dire que le mouvement ne consiste pas en une simple translation, auquel cas tous les points du système décrivent à chaque instant des éléments parallèles de trajectoires. On peut dire alors que :

lO CHAPITRE I.

Tout mouvement d'un système plan dans son plan, qui ne consiste pas en une simple translation, peut être engendré par le roulement d'une courbe du plan mobile sur une courbe du plan fixe (*).

Chacune de ces courbes a été définie comme le lieu géométrique des centres instantanés de rotation; on les appellera les courbes polaires. Le théorème qui vient d'être démontré fait voir que la nature du mouvement dépend uniquement du choix des courbes polaires. On peut se donner celles-ci arbitrairement. Inversement, il est évident que le mouvement de (T est déterminé à chaque instant quand on connaît les deux courbes polaires. Les deux polygones considérés plus haut représentent aussi deux courbes qui définissent un certain genre de mouvement pour or. Nous conviendrons toutefois de ne considérer à l'avenir que des mouvements tels que le centre instantané se déplace à chaque moment. En dehors des mouvements de translation nous exclurons donc encore ceux pour lesquels le centre de rotation reste le même pendant un temps fini.

Nous le faisons parce que dans ces deux cas les problèmes que nous avons à traiter perdent leur intérêt, et que certains d'entre eux cessent même d'exister.

3. Nous avons admis jusqu'ici que le système or se déplace dans le plan fixe o-'. Imaginons maintenant un observateur invariablement lié au système o-; pour lui le plan œ' se déplacera dans le plan o*. Le mouvement de œ' dans cr sera appelé le mouvement inverse ou indirect. Au contraire, le mouvement de GT dans o*' sera le mo\i\QmQïiX primaire ow direct. Ces mouvements ont des relations intimes; nous aurons donc souvent à les étudier simultanément (*).

(*) Ce théorème est dû à Cauchy (1827), Exercices de Mathématiques, t. II, p. 76. ( Voir aussi les Œuvres complètes de Cauchy, W série, t. VII.) Deux ans plus tard, Chasles le retrouva à son tour. Voir le Mémoire cité plus haut, p. q36.

(') L'idée de considérer en même temps que le mouvement primitif le mouvement inverse est due à Chasles.

Il est vrai qu'il ne s'agissait pour lui que de faire remarquer un certain dualisme dans le tracé {Aperçu historique, p. 4o9)« L'utilité théorique de ces considérations fut aperçue d'abord par Aronhold {Principes de la Géo-