MOUTBIHENT D*UN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. II

Quant aux notations qui se rapportent au mouvement indirect, nous ferons les conventions suivantes :

De même qu'on a désigné par c7o, o-i, o-j les positions de a dans u', les positions correspondantes de a' dans a seront o"o> o*!» o'i- C'est-à-dire que, soit, à un instant quelconque, o-;» la position de o- dans o-', la position de a' par rapport à <j sera désignée par GT^. De plus, nous sommes convenus de désigner par A, B, C des points déterminés du plan o- sans tenir compte de leur position dans or', et nous avons désigné par Ao, Ai, Aj les positions que A occupera successivement dans or'. D'une manière analogue, les points du plan o-' seront désignés par C^ D', . . . quand il ne s'agira de les définir que comme points déterminés de o-'. Et Ci, Ci, C',, ... seront encore les positions successives de C dans o-, C'"* sera le point milieu de Cq C'i, et c'^'sera le rayon normal correspondant.

Par suite de ces conventions, nous verrons dans Ao, Ai, A'", ^^> ^0, ^"* des points et des droites déterminés du plan o-', et dans C'o, C;, C'"', c^'A;, /i"» des points et des droites déter« minés de o-.

Si le mouvement est continu, tout point A de a décrira une courbe a' située sur a'. Dans le mouvement indirect de c' sur

(7 la courbe a' passera toujours par le point fixe A. De même, si une courbe b de o- jouit de la propriété de passer toujours par un point fixe B' pendant la durée du mouvement, le point B' décrira sur cr la courbe b lors du déplacement indirect. Ceci peut être utilisé pour obtenir un double tracé mécanique des courbes. Imaginons en efîet un style fixé en A. Il tracera la courbe «', même lorsque, A restant fixe, nous déplaçons (j' par rapport à a,

k. On vient de démontrer que le mouvement de c dans cr^ est obtenu par le roulement sans glissement d'une courbe C appartenant à <7 sur une courbe €' appartenant à u'. Mais, comme le caractère géométrique du mouvement est indépendant de notre position soit dans cj', soit dans œ, il est évident que le mouvement de o-' dans a consiste en un roulement de

métrie cinématique , in Verhandlungen zur Befôrderung des Gewerbefleisses, LI Jahrgang, p. 129).

la courbe €' sur €. Nous voyons donc que les deux courbes ont absolument la même signification géométrique et qu'il est légitime de leur donner la même appellation comme on Ta fait plus haut. On peut présenter des considérations analogues lorsque Ton envisage spécialement quelques-unes des positions du système o- dans o"', gq, Œi ou a^. Les positions correspondantes de a' dans cr devront, d'après ce qui a été dit plus haut, être désignées par o-q, di, Cj. Pour amener le système 0*0 à coïncider successivement avec o-i, (Tî, nous avons fait (II, 1) rouler le polygone OQRS sur O'Q'R'S', de telle façon que (7 tourne successivement de 2Wo, 2&)i, 20)2, autour de 0',Q',R',S', pendant que, par suite de ces rotations, Q, R, S viennent en coïncidence avec Q', R', S'. Nous allons encore utiliser ce principe, qu'il est indifférent pour la nature du mouvement que nous nous trouvions dans a ou dans a'. Le mouvement que o-' effectue dans a doit donc consister dans un roulement du polygone O'Q'R'S' sur OQRS, c'est-à-dire que 0"' effectue successivement des rotations dont la grandeur est également 20)0, acoi, 2002, et ces rotations se font autour de 0, Q, R, . . ., pendant que Q', R', S', . . . viennent successivement en coïncidence avec Q, R, S.

5. Pendant le mouvement relatif des deux systèmes, chaque point A de a décrit une trajectoire située dans c', de même chaque point B de o-' parcourt une trajectoire située dans a. Les normales à ces trajectoires ont à chaque instant certaines relations entre elles; ce sont ces relations que nous allons étudier.

Pour les établir rigoureusement, nous partirons encore de positions arbitrairement données du système. Soient Cq, o"i ces positions, Ao, A, les positions du point A de o- et soit ay le rayon normal correspondant. Soit de plus BJ, un point quelconque de (Jq situé sur a^; il sera équidislant de Aq et Ai. Mais cela doit être, soit que nous nous trouvions dans le plan o"', soit dans le plan a; par conséquent B^ et B^ sont équidistants de Aq, c'est-à-dire que le rayon normal appartenant à B'o et B^ passe par Aq.

Nous avons donc le théorème :

Si le rayon normal cù* d'un point A de rs passe par un point

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. l3

B' de 0"', dans le mouçement indirect^ le rayon normal b"*' de W passera par k (^).

El dans le cas d'un mouvement continu :

Siy à un moment déterminé, la normale à la trajectoire d'un point A de tj passe par le point B' de (s\ la normale à la trajectoire de B' dans le mouvement indirect passera par A.

Les paragraphes suivants vont nous faire connaître de nouvelles relations importantes qui ont lieu entre les deux mouvements (').