XI. — Relations métriques
1. Dans ce qui suit, nous considérerons encore deux positions du système choisies arbitrairement et le mouvement hélicoïdal qui leur correspond.
La position particulière qu'occupe l'axe de ce mouvement par rapport aux systèmes 2© et I^ donne naissance à une série de formules et de relations métriques qui relient entre eux les éléments correspondants des deux espaces. On va en développer quelques-unes ; elles se déduisent, pour la plupart, des propriétés géométriques du mouvement hélicoïdal.
Deux points correspondants Ao, Ai sont à égale distance de l'axe du déplacement ; les perpendiculaires abaissées de Ao et Al sur cette droite la rencontrent en des points correspondants Xo et Xi, et les plans qui passent par Aq et a; d'une part, par Ai et œ de l'autre, sont des plans correspondants «0 et «j. L'angle que <Xq et «i font entre eux nous donne la quantité dont a tourné le système, tandis que la longueur XqXi est égale à la composante de translation du mouvement. On peut mettre ce dernier résultat de la manière suivante sous forme d'un théorème :
Les projections 'de toutes les cordes sur l'axe du déplacement sont égales entre elles, et égales à la composante de glissement.
Fig. 17.
Soit A;„ le milieu de la corde AoAj, le plan ay mené par A'"
rencontre Taxe a? au point X'", et A'"X'" est perpendiculaire sur ûc.
Nous désignerons par r la distance de A"» à 57, c'est-à-dire la longueur A'^X"'.
L'angle de rotation sera 2Î2, et le glissement correspondant 2U.
Projetons maintenant {/ig. 17) Ao et Al sur le plan passant par A^^X^ et perpendiculaire à d7, et soient Xo et J^i les projections de ces points, on aura
et
A (cJl,oX"»c.l>i)i=2£^
Agoiv)© ^^^^ eA»! Aj ^^ U»
Donc, le triangle A'^eiloi Ai nous fournira les deux relations
(iAoA,/rrz rotang» ^^-U^ tang( AoA,, x) -- rtang£2 : U,
2. Deux droites correspondantes ^0 et gi sont à égale distance de Taxe du déplacement et font des angles égaux avec lui. Les deux points de x qui sont les plus rapprochés de ^0 et gi sont deux points correspondants Xq et Xi ; de même, les points de go et gi pour lesquels la distance à a: est minimum sont des points correspondants Go et Gi de ces droites. La longueur XqXi donne encore la composante de glissement, pendant que Tangle des droites XqGo et XiGi détermine Tangle de rotation.
Soit g'^ la médiane pour gQ et g^. Par un point de œ, nous mènerons trois droites go> gi> g"* parallèles à go, g^j g"". Comme ^0, ^,, g"* sont trois génératrices d'un paraboloide, iïo) gi» g'" sont dans un même plan, et comme ^"* fait des angles égaux avec go et g^ (I, k), g"» bissecte l'angle (90^1)-
De plus, l'angle des deux plans [^^o]> [«^^iJ ^st l'angle de rotation 2^; nous avons donc
sin(|-9ogi)== sin£2 sin(go^'), tang(g'«^) = cosfîtang(go'3?), et, par suite,
(3) sin[^(^o^i)]= sin£2 sin(^o'a?)»
(4) tang(^'"^) = cosi2tang(^o^)-
Ces équations montrent que les angles (^0^1) et {g'^x) ne dépendent que de ^ et de l'angle (^o^)- Ils ont donc la même valeur pour toutes les droites de 2 qui sont parallèles entre elles.
3. La perpendiculaire commune k à g'"- et g^ jouit de la propriété de couper l'axe x et d'être perpendiculaire sur cette droite (V, k). Elle rencontre ^"* au point G"* qui correspond à Go et Gj, et x au point X"*.
Soit G^ son point d'intersection avec g"*, et désigno«|s de plus la longueur G"*X'" par r, et G^X'" par p.
Les points G"* et G^ peuvent être situés tout aussi bien du même côté, par rapport à X'", que de côtés différents. Aussi longtemps qu'il ne s'agira, comme ici, que d'un couple de droites conjuguées, il sera permis de regarder toujours r comme étant positif. Mais nous conviendrons que les directions positives de r et de p sont opposées ; c'est-à-dire que p devra être considéré comme positif lorsque G'^ et G^ sont de côtés différents par rapport à X"*, et comme négatif quand ils seront du même côté. Dans ces conditions, la valeur de G'"G^ sera toujours égale ^ r -\-p.
11 reste aussi à fixer le signe des angles que g"*^ et g"* font avec X. Il nous est encore permis de considérer toujours l'angle de g"^ avec x comme étant positif. Si maintenant, par un point quelconque de x, nous menons des parallèles 3"* et 9^ à g"^ et g"* y l'angle de g"* avec x sera considéré comme positif, si X est entre 9"* et 9^ et négatif si cela n'a pas lieu. Dans celte hypothèse, hig'^g"*) sera toujours égal à la somme des angles que g"^ et g^ font avec^.
l68 CHAPITRE III.
4. Comme k est un rayon du complexe linéaire, qui appartient au système focal formé par 2'" et 2', k est perpendiculaire sur la corde Go G"* du point G'". Si, par X"*, nous menons des parallèles à ^^ et à la corde Go G,, ces droites seront dans un même plan avec Xy et il s'ensuit que les angles que la corde et g'^ font avec x sont complémentaires. Si nous appliquons maintenant l'équation (2) au point G'", il s'ensuivra, comme
tang(GoG„ x) = ctg(^^^) :
(5) rtang(^^j?) — U : tan g 12.
Mais g"* et g"* sont des droites conjuguées du système focal; c'est-à-dire que g'^ est l'intersection des plans normaux de tous les points de g^y si nous considérons g'^ comme étant une droite A'" de 2"*.
Par conséquent, on a aussi
p tang(^'»^) — U : tang^; il s'ensuit
(6) /• : p = tang(^'«^) : tang(^^:t).
Les dernières équations peuvent être appliquées aux droites g^ et g^ elles-mêmes. Désignons, en effet, par r^ la distance de g^ à Xy c'est-à-dire la longueur GoXq, on a
r = r\ cos i2.
Des équations (4) et (5), on déduit alors
(7) /•otang(,^^j7)=ptang(^o'2?) = U : sin^^ c'est-à-dire
(8) ro:p = tang(^o^):tang(^^:r).
De sorte que, finalement, les formules (6) et (8) nous donnent le résultat suivant
(9) r^:r\p — tang(^o^) : tang(^'"^) : tang(^^J7).
MOUVEMENT d'UN SYSTÈME INVARIABLE. 169
Il s'ensuit donc que :
Les distances à l'axe du déplacement d'une droite quelconque du systèmCy de sa médiane et de la droite conjuguée, sont entre elles comme les tangentes trigonométriques des angles que ces droites font avec l'axe.
11 a été démontré plus haut (1, 4^) que les projections de toutes les cordes des points de la droite ^ sur ^'" ont une longueur constante. Pour en obtenir la valeur, il nous suffira donc de considérer la corde d'un quelconque des points de g ; nous choisirons la corde GqG, du point G"'.
Imaginons que nous ayons dessiné, pour la corde GqGi, la même figure que celle qui a été tracée pour la droite AqAi, et appelons maintenant (^^ et Çj les points analogues à eA^o, Xj. La projection de la demi-corde G'^Gi est égale à la projection du contour G'" ÇiGi. Mais, comme^'^ estdansle planC^ÇiG,, la projection de G"*Çi sur ^"^ a pour valeur
G;„giSin(^'«ar),
et celle de Q^Gt^ est égale à
g»GiCos(^'«^).
Par conséquent, nous obtenons, pour la valeur de la projection de la demi-corde sur g^y l'expression
(lo) rtang£2sin(^"*a?) -h Ucos(^'"a;).
Ceci représente donc la valeur de la projection d'une corde quelconque de g sur g"\
5. Deux plans correspondants êq et Si font des angles égaux avec Taxe du mouvement hélicoïdal, et les points où ils rencontrent cet axe sont deux points correspondants X© et Xi.
Les projections de x sur e© et e, sont deux droites correspondantes /?o et/?i des deux plans. La longueur XqXi donne encore la composante de glissement, pendant que les plans \x Pq^ et \ocpi'] déterminent l'angle de rotation.
Imaginons une droite quelconque g^, perpendiculaire sur Co, par exemple, celle qui passe par Xo, la droite correspon-
dante g^ de ^1 sera aussi perpendiculaire sur £1, et passera par le point Xi. Mais Téquation (3) est applicable à g^ et^i, et
sin(^o^) =cos(£o^); il s'ensuit
(11) sin(-J-6o£i) = siniicos(Êo;r).
L'angle de deux plans correspondants de 2o 6t 2i estdoDc maximum lorsque les plans passent par Taxe du déplacement hélicoïdal.
6. Le point où le plan médian t^ rencontre oc est le point X'". De plus, on voit facilement que la projection de œ surj* est la médiane/?'" de p^ et pi.
En effet, considérons d'abord les droites 4 et l^ deeo^l^i qui passent par Xq et Xj et sont perpendiculaires à l'axe du déplacement, la droite /"» qui passe par X'" est également perpendiculaire à a:. Mais les plans [^/o], [^^i], [^/'''] sont des plans correspondants de Ito, 2,, 2'" ; de plus, le faisceau de plans de 2'" qui a x pour axe est congruent aux faisceaux de plans correspondants de 2© et de 2i, par conséquent les plans perpendiculaires à [a:/o]> [-a^^i]» l^^'"], de ces trois faisceaux, sont aussi des plans correspondants. Mais, de là, il suit que /?o,/?i, />'" sont des droites correspondantes, car ce sont les droites d'intersection de cestrois plans avec les plans correspondants Eq, £1, £'".
L'équation (4) a lieu aussi pour po et/?"*; mais les angles que ces droites font avec l'axe mesurent en même temps l'inclinaison de Taxe sur £© et £'", et nous avons alors
(12) tang(£'"^) = cosl2tang(£o.^).
L'angle que £"* fait avec a: est donc toujours plus petit que l'angle que fait £0 avec cette droite. Il faut en excepter le cas où £ passe par as ou lui est normal, car alors la même chose a lieu pour £'".
7. Nous faisons suivre ces considérations de la solution du problème qui consiste à construire l'axe du mouvement hé-
MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. I7I
licoïdal lorsque deux positions arbitraires Iq et li du système sont données.
Soient alors Ao, B©, Cq, Ai, Bj, Ci les positions correspondantes de trois points de 2, il doit être possible, au moyen de ces données, de construire l'axe du déplacement.
La construction au moyen de laquelle on y arrive, indiquée par Ghasies, est la suivante :
Par un point quelconque de l'espace, menons les droites OA', OB^ OC égales et parallèles aux longueurs AqAi, BqBi, CoC,. Alors le plan A'B'C est perpendiculaire à l'axe du mouvement, car les projections de OA', OB', OC sur toute droite normale au plan A'B'C sont égales entre elles. Mais les plans ABC, AjBjCi font des angles égaux avec l'axe et le coupent en deux points correspondants X©, Xi ; si nous projetons alors les triangles ABC, AiBjCi sur le plan A'B'C, ils détermineront deux systèmes plans congruents, et le point double X' de ces systèmes coïncide avec la projection de Xo et de Xi, c'est-à-dire que ce point appartient à Taxe du déplacement.
Si le cas se présentait où les cordes AqAj, BqBi, CqCi sont parallèles au même plan, OA', OB', OC seraient dans un plan, et la construction indiquée ne serait plus applicable. Mais alors les plans normaux menés en A'", B'", C'" se coupent en un point à l'infini, par conséquent le plan e'" = [A'^B'^C"] est le plan normal d'un point à l'infini, et, par suite, parallèle à l'axe du déplacement. Donc les plans AqBoCo, AiBiCi sont aussi parallèles à cet axe, et leur intersection donne la direction de a?.
Nous arrivons à une seconde construction en nous servant des propriétés du système focal formé par 1"" et 2^.
Posons en effet
(BC)=:a, (CA) — ^ (AB)=c.
Les plans normaux menés par B"* et C" sur BoBj, CoCi se couperont sur la droite ay conjuguée à a^; et la droite ka perpendiculaire commune à a"* et ay rencontre l'axe du déplacement et lui est perpendiculaire. La même chose a lieu pour les droites è'", 6^ et leur perpendiculaire commune â:^, ainsi que pour c"*, c^ et kc.
L'axe X est donc perpendiculaire sur Ar^, A:^, kc et peul être construit en déterminant une droite perpendiculaire sur deux de ces perpendiculaires communes. Cette construction a été également donnée par Chasles (*).
8. Transportons maintenant les résultats précédents an mouvement instantané d'un corps qui se déplace d'une manière quelconque dans l'espace ; les composantes de translation et de rotation deviendront infiniment petites, mais nous avons vu plus haut que le quotient U : ^ prend à chaque instant une valeur limite bien déterminée, qui est le paramètre du mouvement hélicoïdal instantané. Celui-ci sera, eu général, fini et différent de zéro. Nous le désignerons par/>.
Les grandeurs r et p se rapportent de nouveau au système focal formé par 2 et 2^ et représentent les distances de deux droites conjuguées ^ et ^^ à Taxe du déplacement.
Le plan £'» vient à la limite coïncider avec s, et la corde Ao Al devient la tangente à la trajectoire du point A.
Si nous la désignons par t^ l'équation (2) nous donnera immédiatement
(i3) tang(^^) = r\p.
Elle détermine la tangente à la trajectoire de chaque point si Ton connaît l'axe et le paramètre du mouvement instantané.
L'équation montre que l'angle {tx) augmente avec la distance du point à l'axe.
De plus, les équations (5) et (6) donnent
(i4) rtang(^''^) = ptang(^:r)— /?
et
(i5) r:p = tang(^a:):tang(^^x),
c'est-à-dire que :
Les distances de deux droites conjuguées à Vaxe du mou-
(') Comptes rendus y t. LU, p. 487
vement hélicoïdal instantané sont entre elles comme les tangentes trigonométrigues des angles que ces droites font avec l'axe,
9. Si, en particulier, les duoiles conjuguées sont perpendiculaires Tune sur Tautre, si donc chacune d'elles est tangente à la trajectoire d'un point ou caractéristique d'un plan, on arrive encore à des relations plus simples. Nous désignerons, comme (VI) plus haut, deux droites conjuguées de cette espèce par d et e, et par ô et £ les plans dont elles sont les caractéristiques. D et E seront les points à la trajectoire desquels ces droites seront tangentes. Enfin le point où DE rencontre Taxe du déplacement sera X. Maintenant on a
Vài\^{dx) tang(e^) = i ;
Fig. 18.
par conséquent l'équation (i4) se transforme et devient
DXcotg(û?a7) = EXcotg(ea;) =/?,
c'est-à-dire que :
Pour chaque droite de 2 qui est tangente à la trajectoire d'un point, le produit de sa distance à l'axe instantané par la cotangente de l'angle qu'elle fait avec l'axe a une valeur constante. Celle-ci est égale au paramètre du mouvement hélicoïdal instantané.
174 CHAPITRK III.
Le point D est le foyer de £ et Ë est le foyer de d ; de plus, d est perpendiculaire sur e et ^ sur d : par conséquent
cotg(<ia:) tzztang(e^) et cotg(ej;) :^ tang{3a7), et il vient
(17) DXtang(e^)=r£Xtang(ôa7) — />, c'est-à-dire que :
Si e est un plan quelconque de 2, le produit de la distance à l*axe de son foyer par la tangente trigonométrique que le plan fait avec l'axe est une quantité constante ^ égale au paramètre du mouvement hélicoïdal instantané.
Enfin, nous mentionnerons encore l'équation
(18) BX,EX^-p\
qui résulte immédiatement des autres.
Dans cette formule, DX et EX ont une double signification pour les plans â et e; on peut les considérer comme étant les distances de leurs foyers à Taxe instantané ou comme les distances de leurs caractéristiques à cet axe. Observons que les positions du foyer et de la caractéristique d'un plan ne dépendent que de l'angle que le plan fait avec x; nous arrivons ainsi au théorème suivant :
Lorsque deux plans de 2 font avec Vaxe instantané des angles complémentaires, le produit des distances de leurs foyers à l'axe est égal au produit des distances des caractéristiques. Ce produit est constant pour un pareil couple de planSj et égal au carré du paramètre du mouvement hélicoïdal instantané,
10. A l'aide du précédent théorème, nous sommes en état de nous créer une image nette de la position du foyer d'un plan et de sa caractéristique, ainsi que de la distribution des droites conjuguées dans l'espace. Toutefois, avant d'aller plus loin, il nous faut déterminer dans quels cas la distance d'une droite à l'axe, ainsi que l'angle qu'elle fait avec l'axe, devront être considérés comme posliifs ou négatifs.
MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INYARIABLE. 176
On peut faire les conventions suivantes : Si A est un point quelconque de 2, et que / soit la perpendiculaire abaissée de A sur ^, faisons passer par A un plan normal à /, et considérons dans ce plan le faisceau de rayons dont le centre est en A. La distance du point à x est en même temps la distance de toutes les droites g du faisceau à Taxe. Cette distance peut être toujours considérée comme positive. Mais, parmi ces droites, il en existe une qui est parallèle à ^ et une qui est tangente à la trajectoire t de A. Nous conviendrons de regarder toujours l'angle de ces deux droites comme étant aigu et positif. De cette manière, Tangle qu'une droite quelconque du faisceau fait avec x est complètement déterminé. D'après les conventions faites plus haut, les distances p et les angles {g'^x) sont également déterminés pour les droites g"* conjuguées des droites du faisceau.
Les droites g passent toutes par le point A et sont en même temps dans un plan parallèle à x. Les droites g"* passent donc par le foyer de ce plan, situé à l'infini, et sont dans le plan normal cC* de A. Elles forment donc un faisceau de rayons parallèles qui sont tous perpendiculaires sur / et qui font le même angle avec x\ cet angle est le complément de celui sous lequel la langente à la trajectoire de A rencontre x. Maintenant on peut immédiatement indiquer de quel côté le rayon / est rencontré par les différentes droites g\
En effet, le diamètre u parallèle à x qui appartient au faisceau a une droite conjuguée à l'infini, et la conjuguée d'une droite perpendiculaire à x rencontre cet axe. Si donc g est une droite qui fait avec u un angle obtus dans le sens défini plus haut, elle est du même côté de x que sa conjuguée, et si g fait avec u un angle aigu, g et g"* seront de part et d'autre de l'axe instantané. Si donc nous voulons déterminer la position de g^ conjuguée d'une droite quelconque g^ nous commencerons par déterminer le pied A de la perpendiculaire commune à ^ et à ^. Alors la direction de g^ sera perpendiculaire à celle de la tangente à la trajectoire de ce point. Suivant que g fera avec x un angle aigu ou obtus, g et g"* seront de côtés différents de l'axe, ou du même côté.
