Pour faire une application des formules données dans
ce paragraphe, nous nous en servirons pour déterminer la position de la droite des inflexions à laquelle (VIII, 5) se réduit la courbe des inflexions lorsque les axes du déplacement sont parallèles. On peut procéder de la façon suivante. Considérons d'abord tous les points A de 2 pour lesquels Ao,
Al, A, sont dans un plan paral- ^*^' '9' lèle à j7oi- Ces points satisfont
tous à cette condition que les projections des cordes AqAi et AjAj sont en ligne droite si la projection est faite sur un plan perpendiculaire à ^oi-
Soient {fig* 19) <J^o^ ^u ^"^j les projections de ces points, e^lsj*!, eilof, celles des points milieux, A-, A- et 0;„ 0;, les points d'intersection du plan avec ^01 et^ij. Nous désignerons par rj\ la distance de Xl\ à Oii, et rf, sera celle de è^\^ àO,j. Nous appellerons a la distance des axes x'^^ et x\^\ 1% et 2^2, les rotations correspondant aux deux déplacements, et erifîn a sera Tangle que font rj*, et r^^ avec un plan perpendiculaire au plan [^ii^'u]. On a
(i) '^rj^»"© ^12^-^0*1 tangî2oi = «cosa,
(2) rj'j — rj*i = asina.
Tous les points A de 2 qui satisfont à ces deux équations jouissent de celte propriété que le plan AqAiAj est parallèle à Taxe du déplacement; mais les points de la droite cherchée sont encore distingués par cela que les cordes AqA,, AjAî ont la même inclinaison sur x'^^ ou x\^. Désignons alors par 2 Uoi et 2 Un les deux composantes de glissement des deux mouvements, on a
rj»! tangiîoi r'!^^ tang^^j
Introduisons encore les paramètres des deux déplacements, et posons
tangi^o, -P''' tangi2,, -^»^-
MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. I77
Divisons les deux membres de la première équation par Toi Iangi2i2 et tenons compte de (3).. il vient
Uoi Cl tan g ^01
La deuxième équation donne, en divisant par rj\ et tenant compte de (3),
pi2—Poi asina
Poi ''oi
Posons encore, pour abréger,
a Uo,
tang^oi Uoi-i-U,.
et
^ Poi »
a =1 ttj,
Pli— Poi
il vient finalement
rj\ =:d cosa,
rj*! zir û^isina,
et cette équation nous montre que g"\ est l'intersection de deux cylindres dont Tun a d comme diamètre et touche le plan [^ii^i2] des deux axes, et dont Tautre a pour diamètre di et a ce même plan des axes comme plan diamétral. Par là, la position de la droite g est elle-même déterminée. Il s'ensuit encore que les deux cylindres se coupent à angle droit.
Si les positions 2o, ^i et ^2 se rapprochent indéfinimenl, le premier des deux cylindres touchera le plan tangent aux surfaces polaires et coupera orthogonalement le second cylindre suivant la droite g et suivant l'axe instantané du mouvement.
Le premier cylindre a, par rapport au plan tangent, absolument la même position que, dans le plan, le cercle des inflexions par rapport à la tangente aux courbes polaires.
