DÉCRIVENT DES SPHÈRES

On a étudié, Chap. III (XIII, 7), un mode de déplacement d'une droite où tous les points décrivent des ellipsoïdes. Le déplacement était déterminé parla condition que trois points de la droite se déplacent dans des plans.

Considérons maintenant le cas où trois points d'une droite seraient assujettis à décrire des sphères dont les centres seraient en ligne droite.

Soient donc E, F, G trois points d'une droite / invariablement liés à trois points E', F', G' en ligne droite sur /'.

Les normales aux trajectoires de E, F, G passent respectivement par E', F', G'.

La conjuguée de / est une génératrice de rhyperboloïde que déterminent ces trois droites. La normale à la trajectoire d'un point L de / rencontre donc cette génératrice y et est située dans le plan déterminé par y et L. Or ce plan rencontre la droite /' en un point L' qui est fixe.

Car LL', étant située sur rhyperboloïde, le rapport anharmonique (E'F'G'L') = (EFGL). Il s'ensuit donc que LL' est de longueur constante, et que L décrit une sphère.

Il peut arriver que, pour un pointM, M' soit à l'infini. Alors

MM' est parallèle à /'; le point M décrit un plan. Ce déplacement a été étudié par M. Darboux.