AVANT-PROPOS

C'est, comme on le sait, dans l'étude de la statique et de la cinématique des solides invariables que MôbiusetChasles ont, pour la première fois, découvert et signalé les propriétés importantes des complexe et congruence linéaires et du complexe tétraédral (*). Il y avait intérêt à édifier ces théories sur une base plus large, en leur restituant leur caractère géométrique abstrait. C'est là le but que se sont proposé et ont réalisé Plûcker et les nombreux géomètres qui l'ont suivi dans cette voie. C'est au même point de vue que nous essayons ici de présenter, en quelques pages, les premiers éléments d'une théorie qui occupe peu de place dans les traités didac-

(•) Le complexe tétraédral n'apparait dans ces recherches que sous une forme particulière. C'est M. Reye qui, plus tard, l'a étudié le premier sous sa forme la plus générale.

tiques publiés dans notre pays. Nous nous sommes efforcé (l'unir la simplicité à la rigueur, en faisant usage des principes et des procédés les plus généraux de la Géométrie moderne (*), qui, on le reconnaît aujourd'hui, sont à l'abri de toute critique, lorsqu'on leur donne l'Algèbre pour base. Il nous a paru intéressant d'exposer, dans le même esprit, les notions fondamentales relatives aux lignes ou surfaces focales des congruences et aux surfaces des singularités des complexes. Enfin nous avons cru devoir donner le mode de génération le plus simple des congruences du premier ordre et de classe quelconque.

Le présent opuscule n'était pas encore entièrement rédigé, lorsqu'à paru en Allemagne un Ouvrage conçu dans le même esprit, mais d'une importance considérable ('). Nous nous sommes imposé néanmoins de ne lui faire aucun emprunt, pour maintenir cette étude, avec son originalité propre, dans le cadre que nous nous étions tracé.

1. Imaginons l'ensemble des droites de l'espace qui obéissent à une même loi bien déterminée, de telle sorte que celles de ces droites qui passent par un même point, d'ailleurs arbitraire, forment un cône. Nous considérerons une pareille loi comme une condition simple et nous donnerons le nom de complexe à Tensemble des droites qui y satisfont-

Tout cône, formé par celles de ces droites qui passent par

(*) On les trouvera exposés notamment dans le Traité de Géométrie àt MM. Rouché et de Comberousse.

( » ) Die Gebilde ersten und zweiten Grades der Liniengeometrie in synthetischer Behandlungj von D' Rudolf Sturm.

LNTRODUCTION. 221

un même point quelconque, sera appelé cône du complexe. Lorsque les cônes d'un complexe seront algébriques, le complexe sera lui-même algébrique et d'un ordre marqué par le degré de ces cônes.

2. Les droites d'un complexe situées dans un même plan enveloppent une certaine courbe, dite courbe du complexe. Il est facile de voir que ces courbes seront algébriques, lorsque le complexe sera lui-même algébrique et qu'en pareil cas leur classe sera égale à l'ordre du complexe. En effet, les tangentes à une telle courbe, issues d'un point quelconque de son plan, sont à l'intersection du plan avec le cône du complexe qui a ce point pour sommet. Le nombre de ces tangentes, c'est-à-dire la classe de la courbe, est donc égal au degré du cône et, par conséquent, à l'ordre du complexe.

3. Les droites de l'espace, qui obéissent à une même loi équivalant à deux conditions simples bien déterminées, forment une congruence. Ces droites sont communes aux deux complexes définis respectivement par les deux conditions. Lorsque les deux complexes sont algébriques, la congruence Test également.

Le nombre des droites d'une congruence algébrique qui passent par un point quelconque est Vordre de cette congruence. Ces droites sont données par l'intersection des cônes des deux complexes qui ont ce point pour sommet commun. Désignons par m et m' les ordres respectifs des deux complexes. D'après le théorème de Bézout, le nombre des génératrices communes aux deux cônes, dont les degrés sont m et m'y est mm'. Tel sera généralement l'ordre de la congruence. Mais il arrivera souvent aussi qu'une ou plusieurs des génératrices communes aux deux cônes devront être écartées, comme n'obéissant pas fidèlement à la loi imposée aux droites de la congruence (*). L'ordre de cette congruence sera alors inférieur à mm' d'une ou de plusieurs unités.

(*) Un fait analogue se présente, comme on le sait, pour une courbe gauche qui n'est pas l'intersection complète de deux surfaces.

INTRODUCTIOIf.

4. Le nombre des droites d'une congruence contenues dans un plan arbitraire est la classe de cette congruence. Ces droites sont les tangentes communes aux courbes des deai complexes situées dans le plan. Le nombre de ces tangentes communes, en vertu du théorème de Bézoul, est au plus égal à mm\ Telle sera, dans bien des cas, la classe de la congruence. Mais souvent aussi ce nombre subira une réduction, soit parce que les tangentes communes aux deux courbes, à distance finie, seront en nombre inférieur à mm' y soit parce que certaines de ces tangentes communes ne satisferont pas exactement à la loi qui définit la congruence.

Fig. I.

5. L'ensemble des droites de l'espace, régies par une même loi équivalant à trois conditions simples, forme une sém continue de droites^ c'est-à-dire, en général, une surface réglée. C'est ce qu'il est facile de voir. Désignons, à cet effet, par C, €'y €" les trois conditions simples et appelons G, la congruence définie par les conditions € et C, Gj la congruence définie par les conditions € et C". Considérons, dans un plan m pris arbitrairement, une série continue de droites parallèles et soit A Tune de ces droites (Ji^. i).

Par chaque point a de A passent un certain nombre de droites telles que aa^y appartenant à la congruence Gi et un certain nombre de droites telles que aa^, appartenant à la congruence Gj. Les traces respectives «i et a^ de ces droites sur un même plan arbitraire 9 décrivent des courbes distinctes Aj et Aj. Ces courbes se coupent en un certain nombre de points tels que v, qui sont les traces sur le plan 9 de droites telles que uç, rencontrant A et communes aux congruences G,, Gj, c'est-à-dire satisfaisant aux trois conditions C, €', €\ Lorsque la droite A se meut dans le plan xn parallèlement à elle-même, les points tels que u décrivent une ligne U et les droites telles que m(^, qui se dé-

placent d'une manière continue en s'appuyant sur U, engendrent une surface réglée.

Dans certains cas exceptionnels, il pourra arriver que les points tels que v décrivent une ou plusieurs droites dans le plan 9, de telle manière que les droites uv se meuvent respectivement dans un ou plusieurs plans. La série réglée se composera alors des tangentes à une ou plusieurs courbes planes.

6. Les surfaces réglées algébriques se distinguent parleur degrés c'est-à-dire par le nombre de leurs points de rencontre avec une droite quelconque. On voit immédiatement, dans le cas d'une surface gauche, que ce nombre est égal à celui des plans tangents menés par une droite quelconque à une pareille surface, c'est-à-dire égal à la classe de cette surface. En effet, chacun des plans tangents menés par une droite quelconque D à une surface gauche c contient la génératrice de la surface qui passe par son point de contact avec le plan. La droite D rencontre, par suite, cette génératrice en un point qui appartient à o-. Inversement, partout point d'intersection de D avec o- passe une génératrice de cette surface et le plan qui passe par celte génératrice et par D est tangent à o". Donc les plans tangents menés par D à la surface o- sont bien en même nombre que les points d'intersection de D avec cette surface.

7. Les droites de l'espace, régies par une même loi équivalant à quatre conditions simples, forment un groupe de droites isolées, dont le nombre peut d'ailleurs être limité ou illimité. En effet, les droites qui satisfont à trois des conditions forment une surface ou une série réglée et il est bien clair que, parmi ces droites se succédant d'une manière continue, il y en aura une ou plusieurs qui satisferont à la quatrième condition.

Ainsi, en résumé, une droite engendre un complexe^ une congruence ou une série réglée suivant que la loi de son déplacement équivaut à une, deux ou trois conditions simples. Une droite assujettie à une loi qui vaut quatre conditions simples occupe dans l'espace une ou plusieurs po-

2a4 INTRODUCTION.

sitions déterminées et donne naissance à un groupe de droites.

8. Donnons quelques exemples de conditions simples. C'est pour une droite une condition simple de renconlrer[une droite ou une courbe, d'être parallèle à un plan ou à une des génératrices rectilignes d'un cône, de faire un angle déterminé avec un plan ou avec une droite. Les droites, passant par un point quelconque et satisfaisant à une loi de ce genre, forment en effet un cône (n<» 1).

On soumet une droite à une condition double^ c'esl-à-dire équivalente à deux conditions simples, en rassujettissanl à passer par un point, à rencontrer une courbe en deux points, à être doublement tangente à une surface, à être normale à une droite, à une courbe ou à une surface; car les droites, passant par un point quelconque et obéissant à une loi de celle nature, sont en nombre limité (*) (n« 3).

On impose à une droite une condition triple en Tassujeltissant à rencontrer une courbe en trois points, à être tangente, normale principale ou binormale d'une certaine courbe, à être triplement tangente à une certaine surface; car il existe une série continue de droites satisfaisant à une pareille définition (n® 5).

Il est clair, enfin, qu'il ne saurait y avoir qu'une droite ou un nombre fini de droites rencontrant une même courbe en quatre points, quadruplement tangentes à une même surface (n° 7). Une pareille condition est une condition quadruple.

(*) Être conteoue dans un certain plan constitue également, poar une droite, une condition double. Cela résulte de ce que cette droite est complètement déterminée, quand on l'assujettit à deux autres conditions simples, par exemple à rencontrer deux droites données.

I. — Pôles et plans polaires. Plans diamétraux. Diamètres et axe. Propriétés linéaires.

9. Le complexe le plus simple est le complexe du premier ordre ou complexe linéaire. Parmi les droites qui le composent, celles qui passent par un même point sont situées dans un même plan et, réciproquement, celles qui sont dans un même plan passent par un même point. Cette double définition du complexe linéaire n'est qu'un cas particulier de la double définition des complexes d'un ordre quelconque (n*» 1 ).

Un complexe linéaire, comme on vient de le voir, établit, entre les divers points et les divers plans de l'espace, une corrélation de telle nature qu'à tout point correspond un plan passant par ce point et à tout plan un point contenu dans ce plan. L'ensemble de ces couples, composés chacun d'un point et d'un plan, a reçu le nom de système focal (*). Le point corrélatif d'un plan s'appelle foyer ou pôle de ce plan. Le plan corrélatif d'un point estle/?/a/i/oca/ ou plan polaire de ce point. Nous adopterons ici de préférence les dénominations de pôle et de plan polaire.

Le pôle du plan de l'infini se trouve dans une direction bien déterminée que nous appellerons la direction axiale du complexe ou du système focal correspondant. Nous désignerons sous le nom àe plan diamétral un plan dont le pôle est à l'infini.

Le complexe linéaire et le système focal qui lui correspond présentent des propriétés très intéressantes. Nous allons

(<) Les géomètres allemands donnent à un pareil assemblage le nom de Nullsystem,

les passer en revue et en déduire le mode de génératioa le plus simple de ce complexe

10. Le plan polaire y^, d'un point g, situé dans un plan w, passe par le pôle p du plan xs.

En effet, le point g y appartenant par hypothèse à m et par définition à x» ^^^ sur la droite d'intersection de ces deux plans. Cette droite fait donc partie du complexe linéaire et, comme elle est dans le plan i*t, elle passe par le pôle p de ce plan. Le plan /, contenant la droite, contient par suite le point p.

Supposons que le plan gt soit à l'infîni. Le plan x ^^t alors un plan diamétral et Ton conclut immédiatement du théorème précédent que tout plan diamétral est parallèle à la direction axiale.

11. Le pôle q d'un plan x, contenant un certain point p^ est situé dans le plan polaire vs du point p.

En effet, le plan %, renfermant par définition le point ^ei par hypothèse le point /?, contient la droite pg. Cette droite appartient par suite au complexe linéaire et, puisqu'elle passe par p, elle est dans le plan polaire rn de ce point. Le plansi, contenant cette droite, contient par conséquent le point g*

On conclut immédiatement de ce théorème que tout plan parallèle à la direction axiale du complexe a son pôle à l'infini et, par conséquent, est un plan diamétral de ce complexe^'

12. Les plans passant par une même droite D ont leurs pôles respectifs sur une même droite W.

Le pôle d'un plan variable passant par D engendre un certain lieu géométrique D'. Soient a le point d'intersection de D avec un plan arbitraire nr et a' l'un des points d'intersection de D' avec le même plan. La droite aa' est une droite du complexe, puisque, considérée comme située dans le plan a'D, elle passe par le pôle a' de ce plan. Mais cette droite doit aussi passer par le pôle p du plan rn. Elle est, en conséquence, unique et bien déterminée. Le lieu D n'est, par suite, renr

contré qu'en un seul point a' par un plan arbitraire rn. Donc c'est une droite.

13. Supposons, en particulier, que la droite D soit à Tinfini. Du théorènie qui vient d'être démontré on conclut alors que le lieu des pôles d/ une série de plans parallèles est une droite. Une pareille droite porte le nom de diamètre du complexe et du système focal correspondant.

Toute série de plans parallèles comprend le plan de l'infini. Donc tous les diamètres du complexe passent par le pôle du plan de l'infini, c'est-à-dire sont parallèles à la direction axiale de ce complexe.

Considérons une série de plans parallèles qui soient perpendiculaires à cette direction axiale. Le diamètre de ces plans leur est perpendiculaire. On l'appelle Yaxe du complexe et du système focal correspondant.

14. Les plans polaires des divers points d'une même droite D passent par une même droite D'.

Soient a et (3 les plans polaires respectifs de deux points quelconques a et 6 de D et soit D' la droite d'intersection de ces plans. Les pôles des divers plans passant par D' sont sur une même droite (n<» 12). D'ailleurs cette droite devant contenir les points a et b, pôles respectifs de a et de (3, coïncide nécessairement avec D. Les plans passant par D' sont donc bien les plans polaires des divers points de D.

Il y a réciprocité entre les droites D et D', en vertu de la double propriété qui vient d'être établie et qui consiste en ce que les plans polaires des divers points de chacune d'elles passent par l'autre et les pôles des plans passant par chacune d'elles sont sur l'autre. Pour ce motif, les droites D etD' sont appelées droites conjuguées,

15. Toute droite du complexe coïncide avec sa conjuguée; car un plan quelconque passant par une telle droite a son pôle sur cette droite.

Réciproquement, toute droite qui coïncide avec sa conjuguée fait partie du complexe. En effet, soit L une pareille

droite. Tout planer passant par La, par hypothèse, son pàlep sur cette droite et les droites qui passent peivp dans le plan m étant des droites du complexe, il en est ainsi en particulier de L.

16. Deux droites conjuguées ne se rencontrent pas* Eu effet, si deux pareilles droites D et D' se coupaient en un point /, le plan polaire gj d'un point quelconque p de D, passant par D' (n" 14^), contiendrait i et, contenant «et p, contiendrait D, c'est-à-dire coïnciderait avec le plan des droites D el ])'. Un plan quelconque passant par D' n'aurait donc pas son pôle sur D, ce qui est contraire à Tune des deux propriétés caractéristiques des droites conjuguées (n° 12).

17. Toute droite du complexe qui rencontre une droite D rencontre en même temps sa conjuguée D'.

Soit L une droite du complexe rencontrant la droite D. Le plan xs de ces deux droites a son pôle p sur D' (n*> 12). Par suite, la droite L du plan gj, devant passer par le pôle/? de ce plan, rencontrera D'.

Supposons que la droite D coïncide avec Taxe du complexe. Il résulte immédiatement du théorème qui vient d'être démontré que toute droite du complexe qui rencontre l'acce de ce complexe lui est perpendiculaire,

18. Toute droite qui rencontre deux droites conjuguées D et D' fait partie du complexe.

En effet, le plan ni, qui passe par une telle droite L et par la droite D, a pour pôle/> le point d'intersection de cj, c'està-dire de L avec D'(n° 12). Par suite, la droite L, étant située dans le plan m et passant par le pôle p de ce plan, fait partie du complexe.

Une droite rencontrant à angle droit l'axe du complexe rencontre la droite conjuguée de cet axe, qui est à l'infini dans un plan perpendiculaire à la direction axiale. Donc, en vertu du théorème précédent, toute droite qui rencontre orthogonalement Vaxe du complexe appartient au compleœe^

19. Tout plan parallèle à deux droites conjuguées est un plan diamétral.

La droite qui unit les points à l'infini des deux droites conjuguées D et D' appartient au complexe (n° 18); elle passe, en conséquence, par le pôle du plan de l'infini. Par suite, si nous menons, par un point quelconque, des parallèles à D et àD', le plan de ces deux droites est parallèle à la direction axiale, c'est-à-dire est un plan diamétral (n° 1).

20. Tout plan perpendiculaire à Vaxe rencontre cet axe et deux droites conjuguées quelconques en trois points d'une même droite.

En effet, la droite qui joint les traces des deux droites conjuguées sur le plan considéré appartient au complexe (n° 18). D'autre part, cette droite, rencontrant la droite à l'infini dans le plan, rencontre en même temps sa conjuguée (n° 17). Or cette conjuguée est précisément l'axe du complexe.

21. La perpendiculaire commune à deux droites conju^ guées rencontre Vaxe à angle droit.

La perpendiculaire commune à deux droites conjuguées fait partie du complexe (n° 18). Elle est perpendiculaire aux plans parallèles à la fois à ces deux droites, qui sont des plans diamétraux (n° 19); elle a, par suite, une direction perpendiculaire à la direction axiale ; autrement dit, elle rencontre la droite suivant laquelle se coupent à l'infini les plans perpendiculaires à la direction axiale. Elle rencontre donc aussi la conjuguée de cette droite (n** 17), c'est-à-dire l'axe du complexe.

22. Les divers points d'une droite et leurs plans polaires respectifs se correspondent anharmoniquement.

En effet, à tout point d'une droite quelconque D correspond comme plan polaire un plan et un seul, passant par cette droite ou par sa conjuguée D', suivant que la droite considérée appartient ou n'appartient pas au complexe (n*^* 14 et 15). Réciproquement, à tout plan passant par D' ou par D, si cette dernière droite fait partie du complexe, correspond, comme pôle, un point et un seul de D (n°* 12 et 15). Or tel est bien

23o CHAPITRE I.

le double caractère d'une correspondance anharmonique entre points et plans.

23. Les conjuguées D' des droites D d*un même planvs concourent en un même point p, qui est le pôle de ce plan.

En effet, le plan w contenant chacune des droites D, son pôle/? est nécessairement sur chacune des droites D', respectivement conjuguées des droites D (n° 12).

Supposons le plan m à l'infini. Il en est de même du point/?. On déduit du théorème précédent, dans ce cas spécial, que les conjuguées des droites à V infini sont parallèles à une même directiony la direction axiale, et, par conséquent^ sont des diamètres du complexe.

24.. Les conjuguées D' des droites D d'une même gerbe de sommet p sont dans un même plan is qui est le plan polaire de p.

En effet, chacune des droites D passant par/?, sa conjuguée D' est dans le plan polaire m de p (n° 14.).

Supposons que le sommet de la gerbe coïncide avec le pôle du plan de Tinfîni. D'après le théorème précédent, toute droite passant par ce pôle, c'est-à-dire toute parallèle à la direction axiale, autrement dit, tout diamètre, a sa conjuguée dans le plan de l'infini,

25. Les conjuguées D' des droites D d'un même faisceau forment elles-mêmes un faisceau qui est homographique au pf^emier.

Les droites D étant dans un même plan w, leurs conjuguées D' passent par un même point /?, pôle du plan gt (n<»23). D'autre part, les droites D passant par un même point ^ de©, leurs conjuguées D' sont situées dans un même plan^, plan polaire de ^ (n° 24). On voit ainsi que les droites D' forment elles-mêmes un faisceau. D'ailleurs, à chacune des droites D du premier faisceau correspond une droite D' et une seule du second faisceau, et inversement. Donc les deux faisceaux sont homographiques.

26. Les droites d'un complexe linéaire, qui rencontrent deux mêmes droites non conjuguées par rapport à ce complexe, y déterminent deux séries homo graphiques de points.

Soient les deux droites A et B. Deux hypothèses sont à considérer, suivant que ces deux droites sont ou ne sont pas dans un même plan.

Supposons d'abord que les droites A et B ne soient pas dans un même plan. Par tout point a de A passe une droite du complexe et une seule rencontrant B. Le point de rencontre b est à rinlersection de B et du plan polaire de a. De même, par tout point 6 de B passe une droite du complexe et une seule rencontrant A. Le point de rencontre a est à Tintersection de A et du plan polaire de 6. Il y a donc correspondance anharmonique entre les points a et b. Autrement dit, les points tels que a et les points tels que b forment deux séries homographiques.

On peut remarquer que cette démonstration s'applique, sans changement, au cas où Tune des droites A etB appartiendrait au complexe et au cas où elles en feraient partie toutes les deux.

Supposons maintenant que les droites A et B soient dans un même plan. Les droites du complexe, qui les rencontrent toutes deux en des points différents, sont dans ce plan et, par conséquent, fonnent un faisceau ayant pour sommet le pôle du plan. Or on sait que les intersections de A et de B avec les droites d'un pareil faisceau déterminent deux séries homographiques de points.

Le dernier raisonnement ne serait en défaut que si Tune au moins des droites A et B appartenait au complexe, le sommet du faisceau se trouvant alors sur Tune des droites du faisceau ou à leur intersection. Le théorème, dans ce cas, n'a plus de raison d'être.

IL — Propriétés quadratiques.

27. Les droites d'un complexe linéaire qui s'appuient sur deux mêmes droites, non conjuguées par rapport à ce com-

plexe et non situées dans un même plan, forment une surface du second degré.

En effet, les droites du complexe qui s'appuient sur les deux droites considérées s'appuient également sur leurs conjuguées respectives (n* 17). Elles engendrent donc une surface gauche du second degré (*).

Comme cas particulier du théorème qui vient d'être démontré, on a celui-ci : les droites d'un complexe linéaire, qui s*appuient sur une même droite et sont parallèles à un même plan non parallèle à cette droite^ forment un paraboloïde hyperbolique.

28. Deux couples quelconques de droites conjuguées, par rapport à un même complexe linéaire, appartiennent à une même surface du second degré.

Soient A et A' un premier couple, B et B' un second couple de droites conjuguées par rapport à un complexe linéaire. Par les droites A, A' et B passe une surface du second degré? et une seule, que Ton peut considérer comme engendrée par une droite mobile L s*appuyant sur A, A' et B. Cette droite L, rencontrant A et A', fait partie du complexe (n<» 18) et, rencontrant B, elle rencontre également sa conjuguée B'(n"i7). Les droites A, A', B, B' se trouvent donc toutes quatre surla surface <7.

Dans le raisonnement qui précède, nous avons supposé que les droites B et B' ne rencontraient ni A, ni A'. Si A et B,par exemple, se rencontraient et, par suite, étaient dans un même plan, il en serait de même de leurs conjuguées A' et B' (n*23). La surface a, qui contient les quatre droites, se réduirait alors à un couple de plans.