III. — Relations métriques. Génération du complexe

linéaire.

36. Dans un système focal, il existe une relation de position remarquable entre un point quelconque, son plan polaire et Taxe du système. Cette relation est la suivante :

La distance d'un point quelconque à Vaxe est inversement

proportionnelle à la tangente de V angle que fait avec cet axt le plan polaire du point.

En d'autres termes, en désignant par r la distance d'an point quelconque p à Taxe U et par B Tangle que fait avec U le plan polaire correspondant xsj on a

r tango = c,

c désignant une constante.

Pour établir cette relation, menons de p une perpendiculaire L à U. Soit o le pied de cette perpendiculaire. La droite L fait partie du complexe (n° 18) et les plans polaires de ses divers points forment, en pivotant autour de L, un faisceau homographique à cette série de points (n<* 22). On a, en conséquence, entre la distance /d'un quelconque de ces points à U et l'angle Q du plan polaire correspondant avec le plan passant par L etU, c'est-à-dire avec U, une relation de la forme

rtang0 -h ar-h ^tang0r= c.

Mais le plan polaire du point à l'inOni sur L passe par U. Par suite, pour r=zQo, la relation précédente doit donner lang0:= o. On en conclut a =r o.

D'autre part, le plan polaire de o est perpendiculaire à U; ce qui exige que l'on ait tang^ =: oo, pour r=zo. On en conclut 6 == o. La relation se réduit donc bien à

r tango =:c.

37. Dans un système focal, les positions relatives de l'axe et de deux droites conjuguées quelconques sont fixées d'une manière très simple par le théorème suivant :

Dans un système focal, les distances de deux droites conjuguées à l'axe sont proportionnelles aux tangentes des angles aigus que font respectivement les deux droites avec cet axe»

Soient, en effet, D et D' deux droites conjuguées, r et/^ leurs distances respectives à l'axe U, 9 et 9' les angles que D et D' font respectivement avec cet axe. La perpendiculaire