La relation (i) montre qu'un complexe linéaire est

(*) Cette relation est en quelque sorte Téquation, réduite à sa forme la plus simple, d'un complexe linéaire. Nous en déduisons plus loin, dans une Note spéciale, l'équation générale d'un pareil complexe.

complètement déterminé par son axe et son paramètre c. Il y a, toutefois, deux complexes satisfaisant à ces conditions: ils diffèrent par le sens dans lequel est compté l'angle 6, Ces deux complexes sont néanmoins superposables. D'une manière générale, deux complexes linéaires sont égaux, c'està-dire superposables, lorsqu'ils ont le même paramètre c. Cette condition est nécessaire et suffisante.

Un complexe linéaire est défini complètement et sans ambiguïté, lorsque Ton connaît son axe et Tune quelconque des droites qui le composent. En effet, Tq étant la plus courte distance de ces deux droites et Sq l'angle aigu formé par leurs directions respectives, la valeur du paramètre c est déterminée par la relation c=: r^^ langue.

40. Sur les cylindres de révolution ayant pour axe Taxe d'un complexe linéaire, considérons l'ensemble des hélices décrites dans le même sens et ayant pour pas commun

(2) A=:27rC,

c étant le paramètre de ce complexe. L'angle aigu 9 de la tangente à une pareille hélice tracée sur un cylindre de rayon r avec l'axe de ce cylindre est, comme on le sait, donné parla relation

tang0=:

On en déduit, eu égard à la condition (2),

rtang0 = c.

C'est la relation (1). Donc :

Les droites d'un complexe linéaire ne sont autres que les tangentes à des hélices d'égal pas, tracées^ dans un même senSy sur les divers cylindres de rés^olution ayant pour ax^ commun l'axe du complexe.

Nous appellerons ceshéiices les Ae7fce5<iwcom/?/ea:e/t/iefliVe.

4.1. On sait que le plan osculateur à une pareille hélice, en l'un quelconque de ses points, contient la tangente à cette courbe en ce point et la perpendiculaire menée de ce point à Taxe du complexe. Cette dernière droite appartenant au

complexe (n*» 18) ainsi que la tangente (n° 40), le plan osculateurest le plan polaire du point correspondant. Ainsi :

Par rapport à un complexe linéaire^ le plan polaire d'un point quelconque de l'espace est le plan osculateur de l* hélice du complexe qui passe par ce point (*).

Les deux propositions auxquelles nous venons de parvenir ( n°* 40 et 41 ) fournissent Timage la plus nette que Ton puisse concevoir d'un complexe linéaire.

42. Le cas où le paramètre c est nul mérite de fixer Tattention. De la relation (i) on conclut alors soit r = o, soit tango = o, c'est-à-dire 6 nul ou égal à i8o". Par suite, le complexe est formé des droites qui rencontrent Taxe U ou lui sont parallèles. Un pareil complexe linéaire est appelé complexe linéaire spécial. Tous les points de Taxe U sont des points singuliers du complexe; car toutes les droites passant par un tel point appartiennent au complexe. De même, tous les plans passant par U sont des plans singuliers du complexe; car toutes les droites contenues dans un tel plan font partie du complexe.

Nous allons démontrer qu'un complexe linéaire ne peut admettre de point singulier ou de plan singulier, à moins d'être un complexe linéaire spécial.

43. Soit s un point singulier d'un complexe linéaire. Considérons une droite arbitraire D, qui ne passe par aucun point singulier et ne soit contenue dans aucun plan singulier du complexe. Les droites issues de s et situées dans le plan sD font, par hypothèse, partie du complexe. Par suite, la conjuguée D' de D passe par le point s, pôle du plan ^D

(!) De cette proposition et de deux théorèmes démontrés plus haut (n<** 10 et 11) on conclut immédiatement que : i° Les plans osculateurs d'une hélice, aux divers points de rencontre de cette courbe avec un plan quelconque, se coupent en un même point de ce plan,

2" Les points de contact dune hélice avec les plans osculateurs qu'on peut lui mener par un point quelconque sont dans un même plan passant par ce point.

24o CHAPITRE I.

(n^ 12). Cela posé, imaginons que la droite D se déplace dans un plan ïïj, ne renfermant pas le point s. La conjuguée D' de D ne cesse alors de passer par le pôle p du plan ci (n<» 12) et, comme elle passe d'ailleurs par s, elle reste fixe. Nous allons maintenant démontrer qu'une droite quelconque L du complexe rencontre D'. Nous pouvons supposer que la trace / de L sur le plan m ne coïncide pas avec p; car, pour ce cas particulier, il n'y a pas de démonstration à faire. Par / faisons passer une droite D dans le plan xs. La conjuguée de D étant la droite fixe D'y le pôle du plan des droites D et L est sur D' et la droite L, devant passer par ce pôle, rencontre D'. Toutes les droites du complexe rencontrent donc D' et le complexe est un complexe spécial. Ainsi:

Un complexe linéaire ne peut admettre aucun point singulier, à moins d'être un complexe spécial.

kk. Imaginons que, dans un complexe linéaire, il y ail trois droites concourantes oa, 06, oc. Il est facile d'en conclure que toute droite ol passant par o appartient au complexe» que, par suite, le point o est un point singulier et le complexe un complexe spécial (n® 43). En effet, la trace oh du plan ao/ sur le plan hoc fait partie du complexe, puisque cette droite du plan hoc contient le pôle o de ce plan. De même 0/, passant par le point d'intersection des droites oa et oh du complexe et étant située dans le plan de ces deux droites, appartient au complexe. Donc, trois droites particulières dan complexe linéaire ne peuvent passer par un même point, sans être dans un même plan, à moins que le complexe ne soit un complexe linéaire spécial»

ko. Considérons un complexe linéaire admettant un plan singulier cj. Prenons une droite D, qui ne passe par aucun point singulier et qui ne soit contenue dans aucun plan singulier du complexe. Les droites du plan c, qui passent par la trace ddeJ) sur ce plan, sont supposées faire partie du complexe. Par suite, d est pôle de a et la conjuguée D' de D est dans ce plan (n** 14).

Imaginons que la droite D pivote autour d'un point /> extérieur à c7. La conjuguée D' de D reste constamment dans le

plan polaire rs de p, et, comme elle est d'autre part dans le plan 0-, elle est à l'intersection de ces deux plans.

Démontrons maintenant qu'une droite quelconque L du complexe rencontre D'. Nous pouvons supposer que cette droite n'est pas dans le plan bj, car, s'il en était ainsi, elle rencontrerait nécessairement D' qui est dans ce plan. Par le point p et dans le plan/?L, menons une droite quelconque D. Cette droite ayant pour conjuguée D', le plan polaire du point d'intersection des droites D et L passe par D' (n° ik) et L, étant contenue dans ce plan, rencontre nécessairement D'. Toute droite L du complexe rencontrant D', le complexe est un complexe spécial. Ainsi :

Un complexe linéaire ne peut admettre un plan singulier à moins d'être un complexe spécial,

46. On conclut immédiatement de ce théorème que trois droites particulières d'un complexe linéaire ne peuvent être dans un même plan, sans passer par un même points à moins que le complexe ne soit un complexe linéaire spécial.

Imaginons un complexe linéaire possédant trois droites A, B, C, situées dans un même plan xs et non concourantes. Soit L une droite quelconque de ce plan. La droite H qui joint le point de rencontre de B et de G au point de rencontre de A et L fait partie du complexe, puisqu'elle passe par l'intersection de B et de C et qu'elle est dans le plan de ces deux droites. De même, la droite L, passant par l'intersection des droites A et H du complexe et située dans le plan de ces deux droites, fait nécessairement partie du complexe. Le plan xs est donc un plan singulier et le complexe un complexe linéaire spécial.

V. — Construction d'un complexe linéaire contenant une droite donnée et admettant pour droites conjuguées deux autres droites données.

kl. Proposons-nous de construire les diverses droites d'un complexe linéaire, connaissant une de ces droites et un couple de droites conjuguées par rapport à ce complexe.

24a CHAPITRE I.

Nous résoudrons cette question de deux manières rentes, en cherchant successivement les droites du complexe qui passent par un point pris arbitrairement et les droites du complexe situées dans un plan également arbitraire.

Supposons données la droite L d'un complexe linéaire et les droites D et D' conjuguées par rapport à ce complexe (').

Soit p un point quelconque, n'appartenant à aucune des droites D, D' et L. La droite A, menée parp et rencontrant à la fois D et D', est évidemment une des droites cherchées (n° 18). Par p et la droite L faisons passer un plan. La droite B, joignant les traces de D et de D' sur ce plan, appartient au complexe (n* 18) et son point d'intersection q avec L est le pôle du plan ph. La droite pq est, par suite, une seconde droite du complexe. Les autres droites du complexe qui passent par p sont situées dans le plan déterminé par les droites pq et A.

Nous avons supposé que le point /? n'appartenait ni à la droite D, ni à la droite D'. Si le point p était sur une de ces droites, sur D par exemple, les droites du complexe, passant par ce point, seraient contenues dans le plan /?D'.

Si le point p était pris sur la droite L, les droites du complexe qui passent par ce point seraient contenues dans le plan déterminé par L et par la droite issue de /?, qui s'appuie à la fois sur D et sur D'.

W. Résolvons le même problème, en cherchant les droites du complexe linéaire contenues dans un plan rs qui ne passe par aucune des droites D, D' et L. On obtient immédiatement une de ces droites A, en joignant les traces de D et de D' sur le plan w (n° 18). Soit q le point de rencontre de t et de xs. Menons par q une droite B s'appuyant à la fois surD et sur D'. La droite B appartient au complexe (n<* 18) et détermine avec L le plan polaire du point q. La droite d'intersection de ce plan avec nr fait également partie du complexe

( * ) La droite L n'est supposée rencontrer ni D, ni D'. Le problème serait impossible, si L ne rencontrait qu'une de ces droites. Il serait indétermlD*» si L les rencontrait Pune et l'autre.

et coupe A en un point /?, qui est le pôle du plan w. Les diverses droites passant par/> et contenues dans xn appartiennent au complexe.

Nous avons supposé que le plan cj ne passait ni par la droite D, ni parla droite D'. Si, au contraire, le plan tu passait par D, les droites du complexe situées dans ce plan seraient celles qui passeraient par le point d'intersection de nr et de D'.

Si le plan xs contenait la droite L, les droites du complexe situées dans ce plan passeraient par le point de rencontre de L et de la droite joignant les traces de D et de D' sur le plan gt.

W. On peut se proposer encore de construire Vaxe d'un complexe linéaire^ contenant une droite donnée L et admettant un couple de droites conjuguées également données D etl^'.

L'axe U du complexe est, comme on le sait (n<> 10), parallèle à rintersection de deux de ses plans diamétraux. On a un premier plan diamétral a, en prenant un plan quelconque parallèle à la fois à D et à D' (n° 19). On obtient aisément le plan diamétral p, qui contient la droite L : il doit passer par la droite K, parallèle à L, qui s'appuie à la fois sur D et sur D' (n<* 18), et cette condition achève de le déterminer. L'axe cherché U doit donc être parallèle à Tintersection des plans a et ^, D'ailleurs, il doit rencontrer les diverses droites du complexe dont la direction est perpendiculaire à la sienne et qui s'appuient sur D et D' (n® 17). On construit deux de ces droites G et H et l'on obtient l'axe U, en traçant une droite qui soit parallèle à l'intersection des plans a et (3 et qui s'appuie sur les droites G et H.

Connaissant l'axe U et l'une des droites L du complexe, on en conclut le paramètre de ce complexe, comme on l'a vu précédemment (n° 39).