II. — Intersection des complexes et congruences

linéaires.

56. Il est facile de voir que les droites communes à deux complexes linéaires forment une congruence linéaire.

En effet, les droites de chacun des deux complexes linéaires, qui passent par un point quelconque, sont dans un plan contenant ce point. La droite d'intersection des deux plans est la seule droite commune aux deux complexes qui passe par le point. Donc la congruence formée des droites communes aux deux complexes est du premier ordre.

Pareillement, les droites de chacun des deux complexes, situées dans un plan quelconque, passent par un point de ce plan. La droite qui joint les deux points ainsi obtenus est la seule droite commune aux deux complexes qui soit contenue dans le plan. Donc la congruence considérée est de la première classe.

57. La proposition que nous venons d'établir peut s'énoncer sous cette forme : L'intersection de deux complexes linéaires est une congruence linéaire»

Ce n'est d'ailleurs qu'un cas particulier d'une proposition plus générale, qui se démontre de la même manière et qui

peut s'énoncer ainsi: L intersection complète dedeuxzmplexesy dont les ordres respectifs sont m et n, est une mgruence d*ordre mn et de classe mn,

68. Revenons aux deux complexes linéaires. Soient A elA les directrices de la congruence linéaire formant leur intersection. Les droites qui joignent un point quelconque de Tune des directrices A aux divers points de l'autre A' appartiennent à la congruence linéaire et, par suite, à chacun des deux complexes. Les directrices A et A' forment donc ud couple de droites conjuguées par rapport à chacun de ceux-ci. On peut donc dire que deux complexes iinmm quelconques ont en commun un couple de droites conjugum, d'ailleurs réelles ou imaginaires conjuguées,

59. Relativement à l'intersection de trois complexes linéaires ou d'une congruence et d'un complexe linéaires, on a le théorème suivant :

Les droites communes à trois complexes linéaires^ ou à m complexe et à une congruence linéaires, forment une surface gauche du second degré.

Le premier cas du théorème se ramène immédiatement ao second, puisque les droites communes à deux des trois complexes linéaires appartiennent à une congruence linéaire (n»56). Or, les droites communes à un complexe et à une congruence linéaire sont les droites de ce complexe qui reDcontrent les deux directrices de la congruence et ces droites forment une surface du second degré (n*» 27).

La démonstration précédente semble en défaut lorsque les directrices de la congruence sont imaginaires; mais le principe de continuité permet d'étendre immédiatement le théorème à ce cas spécial.

60. Nous allons compléter ce qui concerne ces questions d'intersections, en démontrant deux autres propositions el d'abord celle-ci :

Quatre complexes linéaires ou deux complexes et une coii'