CONGRUENCES LINÉAIRES

gruence linéaire, ou encore deux congruences linéaires, ont en commun deux droites, réelles ou imaginaires conjuguées.

Les deux premiers cas se ramènent immédialemenl au troisième, en observant que les droites communes à deux complexes linéaires forment une congruence linéaire (n®56).

Deux congruences linéaires ont d'ailleurs deux droites communes, parce qu'il existe, comme on le sait, deux droites réelles ou imaginaires conjuguées, qui rencontrent les quatre droites, formant par couples les directrices des deux congruences (*).

61. Un complexe linéaire et un des systèmes de génératrices rectilignes d'une surface réglée du second degré ont en commun deux droites réelles ou imaginaires conjuguées.

En effet, soient A, B, C trois droites de la surface du second degré, ne faisant pas partie du système de génératrices rectilignes dont il est question dans Fénoncé précédent. L'ensemble des droites du complexe considéré, qui rencontrent la droite C, en rencontrent une autre D, conjuguée de C (n° 17). Les droites qu'il s'agit de déterminer, appartenant au système de génératrices rectilignes de la surface du second degré dont A, B et G ne font pas partie, doivent rencontrer A, B et C, et, appartenant au complexe, elles doivent s'appuyer sur D, puisqu'elles s'appuient sur C Or il existe, comme on le sait, deux droites, réelles ou imaginaires conjuguées, qui remplissent ces conditions.

IIL — Faisceaux de complexes linéaires.

Conoîde de Plûcker.

62. Considérons quatre droites projectivement indépendantes H, K, L, M, c'est-à-dire telles qu'elles n'appartiennent pas à une même surface du second degré et que deux quel-

(*) Nous appliquons encore ici le principe de continuité, dans l'hypothèse où les directrices de l'une au moins des congruences seraient imaginaires.

mune à £2 et à A, apparlient au conoide. C'est d'ailleurs uik droite simple de cette surface, puisque par a il ne passe qu'une droite perpendiculaire à A et rencontrant A'.

La même démonstration , appliquée à A', montre que celle droite est également une droite simple du conoide.

68. Proposons-nous de déterminer le degré du conoide de Plûcker. Pour cela, cherchons le nombre des points d'inler section de cette surface avec une droite G s'appuyantsuri et sur A'. Le point où la perpendiculaire commune à ûetàG rencontre G est le seul point où cette droite coupe Jeconoïde, en dehors de ceux qui sont sur A et A'. D'ailleurs, puisquei et A' sont des droites simples de la surface (n» 67), \q?>^\^^ où G s'appuie sur A et A' sont des points simples de l'intersection. Le conoide de Pliicker^ étant coupé en trois points parli droite G, est du troisième degré.

69. On voit aisément que la droite £2 est une ligne douhk du conoide. En effet, ainsi que nous l'avons déjà fait remarquer (n° 66), on construit complètement le conoide de Plùcker, en menant des perpendiculaires communes à i2^ aux droites qui unissent un point fixe quelconque a de Aaui différents points de A'. Les pieds des perpendiculaires à ces droites, menées par un point i quelconque de ^, engendrcDi une circonférence dans le plan aA', et ces perpendiculaires engendrent elles-mêmes un cône du second degré ayant' pour sommet. Les génératrices d'intersection de cecôneavec un plan perpendiculaire en i à il sont les génératrices (la conoide qui passent en i, et elles sont bien au nombre fl« deux, comme il s'agissait de le démontrer pour établir p la droite ^ est une ligne double (*).

(•) On trouvera, dans le Cours de Géométrie descriptive de M. Maante» (î* édition, p. 435-439), avec une étude plus complète du conoïde de Plûc « • l'indication bibliographique des principaux travaux auxquels cette s" face a donné lieu.

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