III. — La correspondance quadratique et les cercles

des inflexions.

1. Soient maintenant o-q, «Ti, «Tj des positions arbitrairement choisies du système plan <t. Nous désignerons le centre de rotation de 0*0 et <Ti par Ooi, en tant que point de <ti et par Oii, en tant que point de <j\. De même le centre de c7i et o-g sera désigné par O12 ou O12.

AJ* sera le point milieu de AqAi, et A^ celui de A, Aj. Enfin «J et a\ sont les rayons normaux correspondants. Ces deux rayons normaux se coupent en un point A' de <j' qui est le centre du cercle passant par Ao, A,, Aj.

Si gQ est une droite quelconque de Cq, les rayons normaux a\ de ses points Aq forment un faisceau de rayons perspectif à la médiane g"\ son centre étant Oqi. De même, les rayons normaux a\ forment un faisceau de rayons dont le centre est O'iî» et qui est perspectif à la médiane g^. Les ponctuelles g^ et g1^ sont semblables, étant semblables toutes deux à la ponctuelle g^. Donc les deux faisceaux de rayons normaux sont projectifs; ils engendrent une section conique située dans o-'.

(*) Comme, d'après la définition B' et a^ sont des éléments bien déterminés de <j', et que A et 6^' sont des éléments déterminés de a, la propriété que possède ay de passer par B', et celle de b^' de passer par A, sont indépendantes de la position réciproque des systèmes; elles subsistent pour toutes les positions. C'est pourquoi on a supprimé les indices dans l'énoncé du théorème.

(*) Les propriétésdu mouvement indirect ont été étudiées par M. Schœnflies {Comptes rendus, t. CI, p. i5o).

l4 CHAPITRE I.

et qui passe par les points fixes O'oi et Oj j. Le même raisonnement peut s'appliquer aux faisceaux de rayons normaux ayant Ooi et Oio pour centres, et la conique qu'ils engendrent passe par OJ,i et O'^q. Mais ces deux coniques ainsi engendrées n'en font qu'une, puisque, dans les deux cas, ce n'est autre chose que le Jieu des points de rencontre A' des perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés du triangle A0A1A2. Donc, la conique, lieu des points A', passe par les trois points fixes Ooj, O12 et Oio* On remarquera, en outre, que, pour obtenir A', on peut se servir aussi, à la place du rayon normal a\ de la perpendiculaire élevée sur le milieu de A2A0 et qui passe par O^q.

De même qu'on peut faire correspondre de cette manière à chaque point A de o- un point déterminé A' de a', l'inverse aura lieu aussi. On le démontre de la manière la plus commode en se servant de l'inversion du mouvement. De l'avantdernier |:héorème du paragraphe précédent, il résulte en effet, que Ao est le point d'intersection des rayons normaux aj et a\' appartenant à A' dans le mouvement indirect. On le reconnaît d'ailleurs directement en considérant que si A^ est également distant de Ao, Ai, Aj, inversement AJ,, Aj, Aj sont à égale distance de Aq. La signification géométrique des points A et A' est donc tout à fait réciproque.

On en déduit immédiatement qu'aux points d'une droite /l'de (j' correspondent aussi dans o- les points d'une section conique qui est engendrée par l'intersection des faisceaux de rayons normaux appartenant à h' dans le mouvement indirect. Cette courbe passe toujours par les points Ooi, O12, O02, qui sont les centres de rotation du mouvement indirect.

Deux systèmes que l'on adjoint de cette façon l'un à l'autre sont dits être en correspondance quadratique, et les points O125 02o> Ooi, ou 0'i2, O'joj O'oi sont les points principaux.

Nous sommes donc arrivé au résultat suivant :

Siy à chaque point A de cr, nous faisons correspondre le point A' de (j\ ou se coupent les rayons normaux a^ et a\, le point A est en même temps le point de rencontre des deux rayons normaux a^' et a\ pour le mouvement inverse. Les deux systèmes ainsi obtenus sont en correspondance quadratique. Les

MOUVEMENT D'uN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. l5

points principaux de a' sont les trois centres de rotation directe; les points principaux de tj sont les trois centres de rotation indirecte,

2. La position de ces centres de rotation est déterminée par une loi simple à laquelle on parvient de la façon suivante :

Nous admettons, ce qui est toujours permis, que les points 0\^ et î^»g- 6.

O'ij, ainsi que les angles de rota- ^^« tion correspondants 2 0)01, 2 0), 2, sont ^^^/ donnés arbitrairement, et que les q,^<^ L

systèmes plans occupent d'abord ^,\s«^ /Wj

les positions relatives o-q et o-'o. Dans " \>^\: \ cette hypothèse (y?^. 6), OoietO'oi \ / /S>^

coïncident, et les points Ou et O'^ "^ ^«

sont situésde telle façon que Ton ait

OoiOi,=:o;,o;, et ^{0,,o',,o\^)~--^ts^,,.

Le point O20 est le centre de rotation commun à a^ et o"o ; on le détermine donc de telle façon que Ton ait en grandeur et en direction

A(Oi20oi02o) = Woi et A(02oOi20oi) = OCi2.

Dans ces conditions le point O20 reviendra, en effet, à sa position primitive quand a aura tourné d'abord autour de Oq,, puis autour de 0\^, C'est donc le point commun à c7o et 0-2, qui se correspond à lui-même, c'est-à-dire le centre de rotation pour ces deux positions du système.

On déterminera de la même façon le centre de rotation Oj^, du mouvement indirect. Mais les angles de rotation conservent la même grandeur 20)01 et 20)12 (II, ^); O^o se trouvera encore sur la bissectrice de l'angle A(Oi20oiOi2), et l'angle ACOjoOjgOoi) = 0)12, c'est-à-dire que Ojo coïncide avec Oso-

Donc : Le triangle formé par les centres de rotation directe et celui formé par les centres du mouçement indirect sont des figures symétriques.

3. Comme, à chaque droite de l'un des systèmes qui ne passe pas par un des points principaux correspond dans l'autre système une section conique qui passe toujours par les points

l6 CHAPITRE I.

principaux, cela aura lieu aussi pour la droite de rinflni de chacun des deux systèmes. Mais chaque point A' de c' est le point de rencontre des rayons normaux aj et a\ du point A; les points A de a qui correspondent à la droite de Tinfini de a' sont donc tels que pour eux a^ et a\ sent parallèles, et, par suite, Ao, Al et Aj sont en ligne droite. Il y a donc une kifinité de points A du système o- pour lesquels Aq, A,, Aj sont en ligne droite, et leur ensemble constitue une conique qui passe par les points principaux.

Les choses se passent d*une manière analogue pour tj'.

A la droite de Tinfîni de <t correspond une conique passant par les points principaux de a' et chacun des points B' de cette conique est tel que, pour lui, ôl' et b\ sont parallèles, autrement, que Bo, Bj, B', sont en ligne droite.

k. La corde AoAjAj, qui contient les trois positions consécutives du point A, est une droite du système o-'. Désignons-la par a'; dans le mouvement indirect a' jouira de cette propriété que «0, «1, a'j se coupent toutes les trois en A. Gela est vrai pour les cordes de tous les points A que nous avons considérés. Inversement, si a' est une droite du système o-', qui, pour les trois positions du système, passe par un même point de o", ce sera une de ces cordes. De même, les cordes des points analogues B' de c' sont les droites du système <j qui jouissent de la même propriété.

On peut facilement déterminer ces droites dans chacun des deux systèmes. Faisons-le pour a'. Soit donc Sq le centre d*un faisceau quelconque de rayons de o-q, et S[ le centre du faisceau homologue de Cj ; les points d'intersection des rayons correspondants sont sur un cercle qui passe par SJ, et Sj. Sur ce cercle se trouve aussi le centre de rotation O'oj, car, si /J, est le rayon du faisceau SJ,, qui passe par Oqi, l\ passera aussi par O'oi. De même, les deux faisceaux correspondants de aj et (7j dont les centres sont Si et S2 engendrent un cercle qui passe par Si, Sj et 0\^,

Les deux cercles passent par SJ. Ils ont donc, en général, encore un point commun différent de Si, et ce point est le point d'intersection de trois rayons correspondants a'^, a[, a\ des faisceaux de rayons, c'est-à-dire que, par chaque point S'decr',

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. I7

il passe, en général, une droite a' telle que les trois positions «'o> ^i> ^i se coupent en un même point A de cr. Ces droites forment donc un faisceau du premier ordre. La même chose a lieu pour o-, et il suit de là que :

Toutes les droites de chaque système j qui pour trois positions arbitrairement choisies du système passent par un même point, forment un faisceau du premier ordre,

5. Soit R' le centre du faisceau de o-'. Par définition, chacune des droites qui composent le faisceau est une corde AqAi A2 d'un point A. Elle contient donc aussi AJ* et Af . Si de O'oi nous abaissons une perpendiculaire sur AqA,, elle passera par AJ*. L'ensemble des points AJ* forme donc un cercle qui résulte de l'intersection de rayons perpendiculaires entre eux. Les centres des deux faisceaux sont O'oi etR'; donc O'oiR' est le diamètre du cercle que nous désignerons par wp'J^j. Mais (T et o-J* étant des systèmes semblables, les points A de cr sont également sur un cercle qui passe par les points principaux. On l'appellera le cercle des inflexions du mouvement direct, (^012-

Les résultats correspondants s'appliquent aux points B' de a'. Ils forment le cercle des inflexions du mouvement indirect, qui sera désigné par «'iis' ^^^ deux triangles formés par les points principaux sont des figures symétriques; donc les deux cercles ont même diamètre, et l'on a le théorème :

Etant donnés trois couples de positions relatives quelconques des deux systèmes plans, il existe dans chaque système une infinité de points qui jouissent de cette propriété que^pour chacun deux, les trois positions consécutives appartiennent à une même droite. Ces points forment, dans chacun des systèmes, le cercle circonscrit aux points principaux. Les deux cercles ont même rayon.

6. Si les trois systèmes plans Ci, cg, as n'étaient pas égaux entre eux, comme ici, mais simplement en coUinéation, tous les points de chaque système, pour lesquels les trois positions correspondantes Aq, Aj, A2 appartiennent à la même droite seraient sur une même courbe du troisième ordre. Cette courbe se décompose pour les systèmes égaux dont nous nous occu-

l8 CHAPITRE 1.

pons et nous donne le cercle des inflexions et la droite de Tinfini. Car, tout point de cette droite restant à l'infini pendant le déplacement, il est évident que cette droite fait partie de la courbe.

De même, il existe pour trois systèmes collinéaires o-q, (Ti, o-j, une courbe de troisième classe, formée par les droites a pour lesquelles les trois positions a^y a,, a, se coupent en un point. Pour des systèmes égaux, cette courbe se décompose en trois faisceaux de rayons, mais desquels l'un seulement est réel.

Nous déterminerons les deux autres faisceaux par les considérations suivantes: On sait que deux systèmes collinéaires superposés ont en général trois points unis et trois droites unies. Pour des systèmes égaux un point et une droite seuls sont réels, le pôle de rotation et la droite de l'infini. Imaginons le faisceau de rayons appartenant à o-q, dont le centre est en 0; le faisceau correspondant de o-i aura son centre également en 0. Les deux faisceaux étant égaux, ils ont deux rayons unis, et ce sont les droites isotropes. Chacun des points cycliques est donc un point des deux systèmes qui se correspond à lui-même.

Ce qui vient d'être dit est vrai pour des positions arbitraires du système, par conséquent pour un déplacement continu. Ainsi, pendant que le centre réel de rotation varie continuellement, les points unis imaginaires restent invariablement les mêmes pour toutes les positions du système. Donc :

Dans le mouvement d'un système plan dans son plan, deux points, à savoir les points cycliques, restent immobiles.

D'ailleurs ce théorème résulte de ce fait que tous les cercles du plan passent parles points cycliques; ceci a donc lieu aussi pour les différentes positions Ko, Kj, K2, ... du même cercle K de <t.

Maintenant il s'ensuit aussi que tout rayon passant par un de ces points appartient à la catégorie de ceux qui passent par le même point pour trois positions consécutives du système. Par conséquent, la courbe de la troisième classe, dont il a été fait mention plus haut, se décompose en trois faisceaux.