On peut déduire de là que

Les normales aux surfaces trajectoires des points d' une droite sont les génératrices d'un même système d' une surf ace gauche du second degré qui, exceptionnellement, peut se réduire à un plan.

Remarquons d'abord que, d'après le théorème précédent (n<> 72), deux quelconques des normales aux surfaces trajectoires des divers points d'une droite L ne peuvent se couper ou être parallèles, à moins que les normales correspondant à

a56 CHAPITRE III.

tous les points de L ne concourent au point d'intersection des deux premières ou ne soient parallèles à leur direction commune. Dans ce cas particulier, les normales considérées sont toutes dans un même plan.

Écartons ce cas exceptionnel. Il existe alors deux droites A et A', réelles ou imaginaires conjuguées, qui rencontrent chacune toutes les normales aux surfaces trajectoires des divers points de L (n® 72). Ces normales forment donc bien un système de génératrices rectilignes d'une surface gauche du second degré.

75. Ce théorème va nous conduire à la notion et aux propriétés fondamentales des lignes ou surfaces focales d'une congruence de droites. Pour cela, nous allons démontrer la proposition suivante, que Ton trouve, sous une forme un peu différente, dans le Cours de Géométrie descriptive de M. Mannheim (*) :

Les droites d* une congruence quelconque, considérées comme, étant les diverses positions successives d'une même droite mobile, sont chacune tangentes aux surfaces trajectoires de deui de leurs points.

En effet, soit L une droite quelconque d'une congruence. On peut considérer les droites de cette congruence, infiniment voisines de L, comme autant de positions particulières de la droite L que l'on aurait déplacée, ses divers points restant sur certaines surfaces trajectoires, dont l'une d'ailleurs peut être prise arbitrairement.

Les normales aux surfaces trajectoires des points de L, menées aux divers points de cette droite, forment un système de génératrices d'une même surface gauche du second degré (n** 74.). Or il y a deux de ces génératrices, F et F', réelles ou imaginaires conjuguées, qui sont perpendiculaires à L : elles sont respectivement parallèles aux droites suivant lesquelles le cône asymptotique de la surface est coupé par un plan mené par son sommet perpendiculairement àL. Il résulte de laque les surfaces trajectoires des points /et/' de rencontre

(') Deuxième édition, p. 279.

des droites F et F' avec la droite L sont tangentes à cette droite.

76. Suivant des dénominations consacrées par Tusage, les points/ et/' sont les foyers de la droite L, les plans cp et cp' menés par L respectivement perpendiculaires à F et F' sont les plans focaux correspondants de cette même droite et le lieu des foyers/ et/' des diverses droites de la congruence est la surface focale de cette congruence.

Cette surface focale se composera généralement de deux nappes, lieux respectifs des points / et /'. Il pourra néanmoins arriver que ces nappes soient deux surfaces géométriquement distinctes. Dans certains cas aussi Tune d'elles se réduira à une ligne. Dans des cas encore plus particuliers, les deux nappes se réduiront à deux lignes distinctes ou à deux branches différentes d'une même courbe. Une ligne ou l'ensemble de deux ligues satisfaisant à ces conditions, c'est-à-dire rencontrant en deux points chaque droite d'une congruence, s'appelle /oca/e de cette congruence. On a vu précédemment que la focale d'une congruence linéaire est composée de deux droites (n* 54).

77. Appelons surfaces d'une congruence les surfaces réglées dont les génératrices rectilignes sont des droites de cette congruence. Ces surfaces donnent lieu au théorème suivant :

Les surfaces d'une congruence, qui contiennent une même droite de cette congruence, sont toutes tangentes en deux points de cette droite. Ces points de contact et les plans tangents correspondants sont respectivement les foyers et les plans focaux de la droite.

En effet, déplaçons la droite L de la congruence sur l'une quelconque des surfaces de cette congruence qui la contiennent. Les tangentes aux trajectoires des foyers/ et/' de L sont situées respectivement dans les plans focaux <p et <p' (n<» 75). Puisque les plans cp et tp' passent tous deux par L et renferment respectivement les tangentes en /et/' à deux courbes tracées sur la surface, ce sont les plans tangents à cette surface en/ et en/'.

^58 CHAPITRE m.

78. La surface focale d'une congruence jouit d'une propriété importante, qui peut s'énoncer ainsi :

Les droites d'une congruence sont doublement tangentes à la surface focale de cette congruence.

Imaginons, en effet, que nous déplacions une droite quelconque L de la congruence sur une des surfaces de celte congruence. Les foyers /et/' y décrivent respectiveaient des branches de courbes, qui appartiennent en même temps à la surface focale delà congruence. Par suite, les tangentes en / et en/' à ces branches de courbes sont respectivement dans les plans focaux correspondants ^ et 9' (n^TT) et dans les pians tangentsen/et en/' à la surface focale. Toula droite menée par / dans le plan 9 est donc située dans le plan tangent, au même point, à la surface focale et, par suite, ces deux plans coïncident.

On voit de même que le plan 9' est tangent en/' à la surface focale.

79. Dans le cas ou le lieu d' un foyer f est une courbe {focale), le plan focal correspondant cp est le plan déterminé par la droite L de la congruence, qui a pour foyer f, et par la tangente en ce point à la courbe.

On s'en rend compte en considérant ce cas comme une limite du précédent. On s'en assure plus directement, en imaginant que la droite L se déplace, sans cesser d'appartenir à la congruence, et remarquant que le plan ^ coïncide avec le plan tangent en/ à la surface engendrée, lequel contient la droite L et la tangente en/ à la focale.

80. Imaginons l'ensemble des surfaces d'une congruence qui passent par une même droite L de cette congruence et considérons les plans tangents à ces surfaces, en deux points quelconques a et 6 de L. Il est facile de voir que, dans ces deux faisceaux de plans, les plans tangents en a et 6 à une même surface se correspondent anharmoniquement. En effet, les surfaces gauches de la congruence, qui touchent en a un plan a quelconque passant par L, ont en outre, aux points/ et/', foyers de cette droite, les mêmes plans tangents ç et 9';

par conséquent, elles se raccordent tout le Jong de L et ont en b le même plan tangent (3. On voit ainsi qu'à un plan a, appartenant au faisceau des plans tangents en a, correspond un plan unique p, appartenant au faisceau des plans tangents en b. En vertu du même raisonnement, le fait inverse a évidemment lieu. Il y a donc correspondance anharmonique entre les plans a et p ; en d'autres termes :

Les plans tangents correspondants, en deux points quelconques d'une droite d'une congruence, aux surf aces de cette congruence qui passent par la droite, forment deux fais^ ceaux homo graphiques.

81. Considérons encore les deux faisceaux formés des plans tangents en a et 6 aux surfaces de la congruence. Puisque ces faisceaux sont homographiques (n*80), il existe deux plans, réels ou imaginaires conjugués, passant par L, qui résultent chacun de la coïncidence de deux plans homologues des deux faisceaux. Il y a, par suite, au moins deux surfaces (T et d' de la congruence qui ont chacune le même plan tangent en a et en b. Or on sait qu'en pareil cas le plan tangent est invariable en tous les points de la droite, sauf en l'un d'eux, où il est indéterminé. En conséquence, le plan tangent le long de L à la surface o- coïncidera, par exemple, avec le plan 9 (n<* 77), sauf au point/', où, devant en même temps coïncider avec 9' (n° 77), il sera indéterminé. De même, le plan tangent le long de L à la surface a' sera le plan 9', sauf en/, où il sera indéterminé, devant en même temps coïncider avec <p. On conclut de là que dans les surfaces o- et a' il existe respectivement deux génératrices rectilignes infiniment voisines de L, qui rencontrent cette droite, l'une en/, l'autre en /'. Ces génératrices étant des droites de la congruence, nous arrivons ainsi à un théorème remarquable, dû à Monge (*), que l'on peut énoncer de la manière suivante :

Dans une congruence, une droite quelconque est rencontrée par deux des droites infiniment voisines.

(*) Mémoires de l'Académie des Sciences, année 1781, p. 685.

a6o CHAPITRB 111.

Nous avons établi en oulreque les deux points de rencontre sont les foyers de la première droite et que les plans passant respectivement par cette droite et les deux autres sont k plans focaux correspondants,

11 résulte encore de ce qui précède que, parmi les surfaces de la congruence qui passent par une droite de cette congruence, il y a deux surfaces développahles.

82. Nous signalerons, pour terminer ces considéralions générales sur les congruences, une conséquence immédiate de Tun des théorèmes précédents (n°80) qui donne lieu à qd énoncé assez élégant. Prenons quatre quelconques des surfaces de la congruence qui passent par la droite L. Puisque les plans tangents en a et les plans tangents en 6 à ces quatre surfaces font respectivement partie de deux faisceaux hoinographiques, leurs rapports anharmoniques sont égaux. Donc:

Pour quatre surfaces quelconques d*une congruence, contenant une même droite de cette congruence^ le rapport anharmonique des plans tangents à ces surfaces, en un point quelconque de la droite commune, reste constant, quand /f point se déplace sur cette droite,

83. Ce théorème et celui dont nous l'avons déduit se transforment aisément, à Taide du principe de dualité. Il nous paraît inutile d'en donner les énoncés.

Nous ferons enfin remarquer que la plupart des propositions sur les congruences de droites, qui viennent d'ôtre exposées, peuvent s'étendre aux congruences de lignes courbes. On en trouvera l'énoncé et la démonstration dans les Leço^ sur la théorie générale des surfaces de M. Darboux (*).

n. — Surface des singularités d'un complexe.

84. Soit L une droite quelconque d'un complexe ^. ^^^ droites de ce complexe, qui passent par un point quelconque// de L, forment un cône qui contient cette droite. Le plan'!'»

(») IP Partie, p. i à 8.

tangent au cône le long de L, peut être considéré comme correspondant à/?; il est tel que la courbe du complexe, qui y est située, est tangente en /> à L. Inversement, à un plan w passant par L correspond un point/? de L, en lequel la courbe du complexe, située dans le plan m, est tangente à cette droite. Il est clair, d'ailleurs, que le cône du complexe, ayant son sommet en/?, est alors tangent au plan w le long de L. Ainsi se trouve établie, par l'intermédiaire du complexe €, une correspondance anharmonique entre les points de la droite L et les plans qui passent par cette droite.

Soient :r la distance du point p à une certaine origine sur L et l'angle du plan w avec un certain plan fixe passant par cette droite. La correspondance anharmonique entre les points p et les plans m s'exprime par une relation de la forme

(1) a: tango — Xtang6 — iix -h vr= o.

85. Parmi les droites du complexe €, considérons celles pour lesquelles la relation précédente est telle que Xfx = v. Ces droites K forment une certaine congruence. Voyons de quelles propriétés particulières elles jouissent par rapport au complexe. La relation (i) peut alors s'écrire

{x — X)(tangO — |jl) =0.

On en conclut que, quelle que soit la valeur donnée à x, tang 9 conserve la valeur constante [x, c'est-à-dire qu'à tous les points d'une droite K correspond un seul et même plan co. Pareillement, quelle que soit la valeur donnée hd,x reste constamment égal à X, ce qui signifie qu'à tous les plans passant par K correspond sur cette droite un seul et même point o. Alors o est le point de contact de K avec toutes les courbes du complexe situées dans les plans passant par celte droite et 0) est le plan tangent le long de K à tous les cônes du complexe qui y ont leur sommet.

Les droites présentant la particularité que nous venons de signaler ont reçu le nom de droites singulières du complexe. Les points tels que o et les plans tels que a> sont appelés respectivement points singuliers et plans singuliers de ce complexe.

a6a CHAPITRE III.

86. Le cône du complexe, qui a pour sommet un point singulier o, admet comme génératrice la droite singulière K qui passe en o, et il résulte de ce qui précède (n« 85) que le plan tangent au cône, le long de la génératrice K, est indéterminé. Par suite, K est une génératrice double du cône. On voit ainsi que :

Les points singuliers d'un complexe sont les sommets des cônes de ce complexe qui possèdent une génératrice double.

De même, les plans singuliers d'un complexe sont Us plans des courbes de ce complexe qui possèdent une tangente double.

Cette proposition s'établit aussi aisément que la précédente. Elle en résulte d'ailleurs immédiatement, en vertu du principe de dualité.

87. Les points singuliers d'un complexe forment évidemment une surface. Les plans singuliers de ce complexe enveloppent de même une surface. Nous allons démontrer que ces deux surfaces n'en font qu'une et nous lui donnerons le nom, qu'elle mérile ainsi à un double titre, à^ surface des singularités du complexe.

Considérons, à cet effet, une congruence C commune à deux complexes € et C Soit L une droite quelconque de cette congruence. Les deux complexes € et €' permettent respectivement, comme nous l'avons indiqué plus haut (n° 84), d'établir deux correspondances anharmoniques entre les points/? de L et les plans ts qui passent par cette droite. Les deux points /?, qui, en vertu de ces correspondances, correspondent à un même plan variable cr, forment deux séries homographiques de points sur la droite L. Désignons par / et/' les deux points communs à ces deux séries, par 9 et 9 les plans qui leur correspondent respectivement, à la fois dans les deux correspondances. Les cônes des deux complexes, qui ont pour sommet commun le point /, ont pour génératrice commune la droite L et pour plan tangent commun, le long de cette génératrice, le plan 9. Il en résulte que la droite L', passant par/ dans le plan <p et infiniment voisine de L, appartient en même temps aux deux complexes C et €'

et, par suite, à la congruence C Le point /, étant à Tintersection de deux droites infiniment voisines de cette congruence, est un foyer de celle-ci et le plan 9 qui les contient est le plan focal correspondant (n°81). Le point/' et le point 9' sont respectivement, pour les mêmes raisons, le second foyer et le second plan focal relatifs à la droite L.

88. Il convient d'ailleurs de remarquer que le plan 9 n'est pas le plan tangent en /à la surface focale de la congruence. En effet, le plan des deux droites L et V, c'est-à-dire le plan 9, est tangent à celle des deux développables de la congruence passant par L, qui est circonscrite à la nappe focale contenant /'. Le plan 9 est donc tangent à la surface focale en/' et, de même, le plan 9' est tangent à cette surface en/.

89. Supposons maintenant que O soit la congruence formée des droites singulières du complexe €. On peut considérer cette congruence comme comprenant la totalité ou une partie des droites communes au complexe € et à un second complexe €'. Soit K une droite singulière de €, o le point singulier situé sur K et co le plan singulier passant par cette même droite. En vertu de la correspondance anharmonique que le complexe €' nous permet d'établir entre les points de K et les plans passant par K (n° 84.), au point o correspond un certain plan coi et au plan w un certain point Oj. D'ailleurs, puisque K est une droite singulière du complexe €, en vertu de la correspondance anharmonique dérivant de ce complexe, au point o correspond un plan quelconque passant sur K et, en particulier, le plan w,. De même au plan w correspond un point quelconque de K et, en particulier, le point o, (n^ 85). Il résulte de là que les points o, o^ sont les foyers et que les plans w, wi sont les plans focaux afférents à la droite K de la congruence C (n° 87). D'ailleurs, suivant la remarque faite plus haut (n° 88), c'est le plan focal w qui est tangent en o à la nappe de la surface focale de la congruence O qui contient ce point. Cette surface focale se décompose donc ici en deux surfaces distinctes 'et l'une de celles-ci est en même temps le lieu des points singuliers et l'enveloppe des plans singuliers du complexe C.

90. Le théorème très important que nous venons de démontrer peut s'énoncer de ]a manière suivante :

Dans un complexe de droites, la surface lieu des points singuliers a pour plan tangent, en chaque point, le plan singulier correspondant. Cette surface est, par suite, identique à la surface enveloppe des plans singuliers. Elle forme l'une des nappes de la surface focale des droites singulières.

La démonstration si simple qui nous a servi à établir celle proposition fondamentale ne diffère que dans les détails de celle qui est due à M. Pasch (*). Elle fournit un heureux exemple de Tintervenlion de la Géométrie projective la plus élémentaire dans la solution d'une question dont l'Analyse ne vient à bout qu'avec un certain déploiement de calculs et sans y apporter plus de rigueur.

LE COMPLEXE TÉTRAÊDRAL.