L -— Définition et génération du complexe tétraédral

91. Le complexe connu sous le nom de complexe tétraédral, dont nous allons étudier dans ce Chapitre les principales propriétés, est le plus simple des complexes du second ordre.

En général, la surface des singularités d'un complexe quadratique est du quatrième degré et de la quatrième classe. Mais cette surface peut dégénérer en un système formé de quatre plans et des quatre points d'intersection de ces plans trois à trois, autrement dit se réduire à un tétraèdre. Le com-

( ' ) Journal fur die reine und angewandte Mathematik von Borchardt, LXXVI Band (année 1873).

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plexe correspondant se réduit alors lui-même à sa variété la plus simple, que Ton appelle le complexe tétraédraL

92. Sans vouloir aborder ici Tétude du complexe général du second ordre, nous allons démontrer la proposition, que nous venons d'énoncer (n°91), concernant la surface des singularités d'un pareil complexe (*), puisqu'elle nous sert de base pour définir le complexe tétraédral.

Cherchons la classe de cette surface des singularités, c'està-dire le nombre des plans singuliers du complexe qui passent par une droite quelconque D. Les cônes du complexe qui ont pour sommets respectifs trois points quelconques de cette droite se coupent en huit points. Le plan qui passe par l'un de ces points et par la droite D est un plan singulier du complexe; car, parmi les droites du complexe qu'il contient, il y en a au moins trois qui passent par le point, ce qui exige que la conique du complexe située dans le plan soit infiniment aplatie. Les huit plans, obtenus de la sorte, coïncident d'ailleurs deux à deux; parce que tout plan singulier renferme nécessairement deux points, les deux extrémités de la conique aplatie, en chacun desquels se croisent une infinité de droites du complexe. Il y a donc bien quatre plans singuliers du complexe qui passent par la droite D, et la surface des singularités est de la quatrième classe.

On démontrerait d'une manière toute semblable, et l'on conclut d'ailleurs immédiatement de l'application du principe de dualité, que la surface des singularités est du quatrième degré (*).

93. Il semble naturel d'admettre que cette surface puisse dégénérer en un ensemble de quatre plans et des quatre points résultant des intersections de ces plans, de manière à se réduire à un tétraèdre efgh. Les quatre points singu-

(») Cette démonstration très simple est empruntée à M. Reye {Leçons sur la Géométrie de position, 2« édition^ traduction française de M. Chemin, t. II, p. 3oo).

(") Cette surface, connue sous le nom de surface de Kummerj du nom de réminent géomètre qui l'a découverte et étudiée le premier, possède des propriétés très intéressantes qui ont fait l'objet de nombreuses recherches.

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liers situés sur une droite quelconque seraient à l'intersection de celte droite et des quatre faces du tétraèdre ; les quatre plans singuliers passant par une droite quelconque seraient les plans déterminés respectivement par cette droite et par les quatre sommets e,/, g^ h. Nous allons voir, en effet, qu'il existe un complexe quadratique admettant une pareille surface des singularités.

Les droites singulières du complexe (n°85), devant être tangentes à la surface des singularités, ne peuvent être que des droites passant par un des sommets ou contenues dans une des faces du tétraèdre efgh.

Cela posé, le cône du complexe qui a pour sommet un point quelconque m du plan d'une de ces faces, de la face efg par exemple, doit se décomposer en deux plans, dont Tintersection m/, qui est une droite singulière du complexe, doit être tangente en m à la surface des singularités, c'est-à-dire être contenue dans le plan efg. D'autre part, les deux plans devant être tangents à la surface des singularités (n°90), il faut de toute nécessité que l'un soit le plan efg et l'autre le plan mlh; de sorte que le cône du complexe, ayant son sommet en m, se décompose en deux faisceaux de droites respectivement situés dans ces deux plans. On voit ainsi que toutes les droites passant par m dans le plan efg et, par conséquent, toutes les droites de ce plan appartiennent au complexe.

On verrait de même, et l'on peut d'ailleurs conclure de ce qui vient d'être dit, en vertu du principe de dualilé, que toutes les droites qui passent par l'un quelconque des sommets du tétraèdre appartiennent également au complexe.

94^. 11 résulte immédiatement de ce qui précède que tous les cônes d'un complexe tétraédral, si un tel complexe existe, passent par les quatre sommets du tétraèdre qui lui correspond. En effet, parmi les droites du complexe qui passent par un point quelconque/? se trouvent les droites qui joignent ce point aux quatre sommets du tétraèdre. Le cône du complexe, qui a son sommet en /?, contient donc ces quatre droites et, par suite, les quatre sommets du tétraèdre.

On voit pareillement que toutes les coniques d'un complexe tétraédral, à supposer qu'un pareil complexe existe, sont

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tangentes aux quatre faces du tétraèdre correspondant. En effet, les droites du complexe situées dans un plan rs quelconque comprennent les droites d'intersection de ce plan avec les quatre faces du tétraèdre. La conique du complexe, contenue dans le plan tu, est donc tangente à ces quatre droites et, par conséquent, aux quatre faces du tétraèdre.

95. Nous allons maintenant démontrer que dans le complexe tétraédral, s'il existe, le rapport anharmonique des quatre plans déterminés respectivement par une droite quelconque de ce complexe et les quatre sommets du tétraèdre correspondant est constant.

Nous démontrerons, pour cela, que ce rapport anharmonique est le même pour deux droites quelconques du complexe, et nous supposerons successivement que les deux droites soient et ne soient pas dans un même plan.

Les deux droites L et L' étant supposées dans un même plan, soit p leur point d'intersection. Le cône du complexe qui a son sommet en p contient les quatre droites pe, /?/, pg Qiph (n<» 94.). Donc, d'après un théorème bien connu, le rapport anharmonique des quatre plans hpe, L/?/, hpg, Lph est égal au rapport anharmonique des quatre plans L'pe, LW, L'pg, Uph.

Supposons maintenant que L et V soient deux droites quelconques du complexe. Il existe une infinité de droites de ce complexe qui rencontrent à la fois L et L'. En effet, le cône du complexe, ayant son sommet en un point arbitraire de L, coupe L' en deux points. Enjoignant l'un de ces points au point pris sur L, on obtient une droite A qui unit les deux droites L et L'. Mais, d'après la première partie de la démonstration, les rapports anharmoniques (Le, L/, hg, Lh) et (L'e, Vf, L'gy Uh) sont tous deux égaux au rapport anharmonique (Ae, A/, A^, AA). Donc ils sont égaux entre eux, comme il s'agissait de le démontrer.

96. L'existence et la génération du complexe tétraédral se trouvent maintenant établies. On voit, en effet, par ce qui précède, (\u*étant donné un tétraèdre, l'ensemble des droites, telles que les plans passant respectivement par l'une quel-

conque d'entre elles et par les quatre sommets du tétraèdn aient un rapport anharmonique constant, forme un complexe du second ordre, dont la surface des singularités it réduit aux quatre sommets et aux plans des quatre faces à\i tétraèdre.

Nous appellerons tétraèdre principal et rapport anharmonique d'un complexe lélraédral le tétraèdre et le rapport anharmonique qui servent à le définir et à Tengendrer. Les sommets et les plans des faces de ce tétraèdre seront appelés respectivement points principaux et plans principaux du complexe.

D*un remarquable théorème dû à Staudt, il résulte immédiatement que le rapport anharmonique d'un complexe tétraédral est en même temps égal au rapport anharmonique des points d'intersection d'une droite quelconque de ce complexe avec les quatre faces du tétraèdre principal.

97. Nous allons démontrer le théorème de Staudt, en démontrant d'abord la proposition suivante, sur laquelle nous aurons à nous appuyer :

Étant donnés un triangle abc et une droite quelconquelidans

son plan, le rapport anhar- Fig. 3. monique du faisceau formé

de la droite D et des droites joignant un point quelconque m dèD aux points a, b,cest égal au rapport anharmonique du point m et des points 71, p, q, ou la droite D m^^ respectivement les droites oc^ ca, ab.

En effet, en désignant par / le point de rencontre de mael de bc {fig. 3), on a, d'après les propriétés les plus connues du rapport anharmonique :

(/7Z, n,/?, q) = (/, /^, c, b)=. (m/, /w/2, mc,mb) = {ma, mn^ me, mb) = {mn, ma, mb, me).

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