Cela posé, le théorème de Staudl peut s'énoncer ainsi

Le rapport anharmo nique des points d'intersection d'une droite quelconque D avec les faces fgh, ghe, hef, efg d'un tétraèdre efgh est égal au rapport anharmonique des plans passant respectivement par D et par les sommets e,f, g, h de ce tétraèdre.

Pour démontrer cette proposition, projetons coniquement du point e sur le plan/^/i les points d'intersection m, n, p, q de la droite D avec les faces /^A, ghe^ hef, efg du tétraèdre {Jig. 4)- Le point m coïncide avec sa projection. En désignant par r, s, t les projections respectives de n, /?, q, on a,

d'après une propriété fondamentale du rapport anharmonique,

(i) (m,n,p,q)z=i{m,r,Syt),

et, d'après le théorème préliminaire (n<» 97),

(2) {m^ ryS,t)=: {mr,mf,mg, mh).

D'autre part, en remarquant que les plans De, D/, l)g,Dh sont respectivement coupés par le plan fgh suivant les droites m/', mf, mg, mh, on a

(3) (mr, mf, mg, mh) z=z (De, D/, D^, Dh).

De la comparaison des relations (i), (a) et (3) on conclut (m, /i, p, q) = (D^, D/, D^, D/^).

C'est ce qu'il s'agissait de démontrer.

99. La corrélation qui existe entre les deux modes de génération, que nous venons de donner, du complexe tétraédral se lie à une autre propriété intéressante de ce complexe, qui est la suivante :

Un complexe tétraédral est polaire réciproque de lui-même relativement à toute surface du second degré, ayant pour tétraèdre autopolaire le tétraèdre principal de ce complexe.

Soient e/gh le tétraèdre principal du complexe et x une (|uadrique admettant ce tétraèdre comme tétraèdre autopolaire. Il s'agit de démontrer que toute droite L du complexe a pour conjuguée, par rapport à la quadrique %, une autre droite L' de ce même complexe.

En effet, désignons par m, n, /?, q les points où la droite L rencontre respectivement les faces fghy ghe, hef, efg du tétraèdre principal. Les plans polaires des points m, n^pyfjj relativement à %, passent respectivement par la droite L' et par les points e, /, g, h, et l'on a, d'après un théorème bien

connu,

(L'e, L'/, Vg, Uh) = (m, n, p, q).

Le rapport anharmonique des quatre plans L'e, L/, Vgf^f^ est donc égal au rapport anharmonique du complexe et, par conséquent, la droite L' fait partie de ce complexe (n°95).

Le théorème que nous venons de démontrer établit une corrélation entre les propriétés du complexe tétraédral, àe telle sorte que, après avoir démontré une de ces propriétés, on peut en conclure immédiatement la propriété corrélative.

100. On peut encore donner du complexe tétraédral deux modes de génération remarquables, qui vont faire l'objet de

LE COMPLEXE TÉTRAÉDRAL. 27!

deux théorèmes que nous allons établir. L'un de ces théorèmes peut s'énoncer ainsi :

Les droites qui joignent les points homologues de deux figures homo graphiques à trois dimensions forment un complexe tétraédral.

Démontrons d'abord que Tensemble de ces droites forme un complexe du second ordre. Il suffit, pour cela, de prouver que par tout point p d'un plan quelconque m il passe deux de ces droites. En effet, aux divers points de Tune des figures i qui sont contenus dans le plan gj correspondent dans la figure homographique ^' des points contenus dans le plan gj' homologue de w. Tout point m' du plan cj' qui, joint à son homologue m dans le plan tj, donne une droite passant par/?, est nécessairement sur la droite D' d'intersection de ces deux plans et le point m est, par suite, sur la droite 1) de ^, homologue de la droite D' de $\ Les points m et m' déterminent d'ailleurs respectivement sur D et D' deux séries homographiques. Il en résulte que les droites mm' enveloppent une conique dans le plan xs et, par conséquent, qu'il passe par le point /?, dans le plan xsy deux de ces droites, à savoir les deux tangentes menées de ce point à la conique. 11 est ainsi établi que le complexe considéré est du second ordre. Nous allons maintenant faire voir que c'est un complexe tétraédral.

On sait que, étant données deux figures homographiques à trois dimensions, il existe quatre points e, /, gy A, en chacun desquels deux points homologues des deux figures coïncident. Toute droite, passant par l'un quelconque de ces points, devant être considérée comme joignant deux points homologues des deux figures, fait partie du complexe.

Cela posé, prenons arbitrairement un couple de droites/?/ et pV du complexe, passant en un même point quelconque p. Le cône du complexe, dont p est le sommet, contient les six droites pe^ pfy pg^ ph, pl^ pl\ et, comme il est du second degré, le rapport anharmonique des quatre plans/?e/, /?//, pgl^ phlQ^i égal au rapport anharmonique des quatre plans /?e/',

Pf^'y Pgl'> Phl'.

Considérons maintenant deux droites quelconques L, U du

complexe, non situées dans un même plan, et soit A Tune

2^2 CIIAPITIIE IV.

des droites de ce complexe qui rencontrent à la fois L et L'. Les rapports anharmoniques des quatre plans Le, L/, Lg, Lh et des quatre plans L'e, L'/, L'g, L7i sont, d'après ce qui vient d'être démontré, égaux tous deux au rapport anharmonique Ae, A/, A^, \h. Donc ils sont égaux entre eux. Le complexe étudié est donc bien un complexe tétraédral (n»95). Il résulte de la démonstration précédente que le tétraèdre principal de ce complexe a pour sommets les points coïncidents des deux figures 1 et £',

101. On démontrerait d'une manière toute semblable le théorème corrélatif du précédent, qui s'en conclut d'ailleurs immédiatement par voie de dualité et s'énonce ainsi :

Les droites d'intersection des plans homologues de deux figures homo graphiques forment un complexe tétraédral.

Il convient de remarquer que deux figures homographiques donnent naissance au même complexe tétraédral, que Ton considère celui-ci comme lieu des droites joignant les points homologues des deux figures, ou comme lieu des droites d'intersection des plans homologues de ces deux figures. C'est là une conséquence immédiate de la double définition du complexe tétraédral (n^Oô) et de ce fait connu que les quatre plans, qui résultent chacun de la coïncidence de deux plans homologues de deux figures homographiques, sont les plans des faces du tétraèdre qui a pour sommets les points en chacun desquels coïncident deux points homologues des deux figures.