GÉNÉRATION DES CONGRUKNCES DU PREMIER ORDRE

lequel nous avons déjà démontré la propriété fondamentale, que possèdent les droites d'une congruence linéaire, de rencontrer deux mêmes droites fixes (n° 54).

116. Commençons par établir deux propositions préliminaires, concernant les congruences du premier ordre et de la Ai»^'^^ classe, que nous appellerons, pour abréger le langage, congruences (j, n).

Les droites d'une congruence (i, n), qui rencontrent une même droite fixe arbitraire^ forment une surface gauche du {n-\- i)iè°^« degré (*).

Par la droite ^\\e D faisons passer un plan quelconque w. Il est bien clair que ce plan ne peut couper la surface gauche 0-, qui vient d'être définie, que suivant une ou plusieurs droites; car une droite de la congruence, qui rencontre D, ne peut couper le plan m en un second point, sans y être contenue tout entière. Or, par définition même, n droites de la congruence sont dans le plan xs. D'ailleurs, la droite D est une ligne simple de o-, puisque par chaque point de D passe une droite, et une seule, de la congruence. La surface gauche a est ainsi coupée par tout plan contenant D suivant il -t- I droites. Elle est donc du {n -+- i)'««^e degré.

117. Les diverses surfaces gauches engendrées par les droites d'une congruence (i, n), qui s'appuient sur des droites d'un même plan, concourant en un même point, forment un faisceau ponctuel et ont, en plus de n -i-i droites communes, une intersection commune de degré n{n -t-i) (").

Soit un faisceau de droites D, situées dans un même plan gj et concourant en un même point p. Chaque droite D donne lieu à une surface gauche o-, engendrée par les droites de la congruence qui la rencontrent. Par tout point a, pris arbitrairement, passe une des surfaces o- et une seule. Par ce point, en effet, passe une droite L, et une seule, de la congruence. Cette droite L est rencontrée par une des droites D,

(*) Ce théorème est une généralisation de celui qui a été énoncé et démontré au n® 52.

(') Ce théorème généralise celui qui fait l'objet du n" 53.

28o CHAPITRE Y.

celle qui joint /> à la trace de L sur le plan gj, et à celle droite D correspond une des surfaces o-, la seule qui passe par le point a. Ces surfaces étant assemblées de telle manière que par un point quelconque il en passe une, et une seule, forment un faisceau ponctuel. Elles ont d'ailleurs en commun les n droites de la congruence situées dans le plan GT et la droite de cette congruence qui passe par le point p ; le reste de leur intersection est donc d*un degré

(/i + i)' — n — iznz n{n 4-i).

Il est facile de voir que ce lieu de degré n{n 4- 1) est rencontré en deux points par chacune des droites de la congruence. En effet, une droite quelconque L de la congruence doit couper en /iH-i poinis Tune quelconque des surfaces gauches d'ordre n h-i considérées plus haut (n* 116), soit la surface o-. Mais la droite L, faisant partie d'une de ces surfaces gauches, ne peut couper cr que sur Je lieu C, de degré /i(/i-Hj), intersection commune de ces surfaces. D'ailleurs L ne peut rencontrer le lieu C en un point unique; car ce lieu serait une ligne multiple d'ordre nn-i sur la surface <7, ce qui est impossible. D'autre part, la droite L ne peut s'appuyer sur C en plus de deux points; car alors l'ensemble dont elle fait partie ne serait pas doublement infmi. Donc L rencontre C en deux points.

118. Nous pouvons maintenant démontrer la proposition suivante :

Excepté la congruence du premier ordre et de la troisième classe, composée des cordes d'une cubique gauche, toute congruence du premier ordre et de la /i«ème classe est formée des droites qui s'appuient à la fois sur une même droite et sur une même courbe gauche du n^^^^ degréy rencontrant cette droite en n — i points.

Reprenons le faisceau des droites D concourant en un même point arbitraire /?, dans un même plan arbitraire cj, et considérons le faisceau des surfaces gauches o-, engendrées par l'ensemble des droites L de la congruence, en s'appuyant sur les diverses droites D. Le lieu C de degré /i ( /i -h i ),