GÉNÉRATION DES C0N6RUENGES DU PREMIER ORDRE

ialerseclion commune des surfaces o-, qui est rencontré en deux points par chacune des droites L, pourra être indécomposable ou se dédoubler. Examinons successivement ces deux hypothèses.

119. Première hypothèse, — Soit h le degré de C. Par un point quelconque a de C et la droite D, qui détermine la surface (7, faisons passer un plan. Ce plan coupe C en A — i autres points b. Par chaque point a de C passent donc h — i génératrices de 0-. Donc C est d'ordre de multiplicité h — i sur o-. Les n -\- 1 points de rencontre de la génératrice ab de cette surface avec l'une quelconque des autres surfaces o- du même faisceau se composent donc de A — i fois les points a et b. D'où

Coupons C par un plan quelconque. Les h points d'intersection, joints deux à deux, donnent les — ^^ droites de la

congruence situées dans ce plan. Donc

Des deux relations précédentes on conclut immédiatement les deux solutions

A m 2, /i z= I et A = 3, /ii=i3.

La première de ces solutions représente une congruence linéaire spéciale, dans laquelle les deux droites directrices coïncident: elle est sans intérêt. La seconde donne lieu à une congruence du premier ordre et de la troisième classe, formée des cordes d'une cubique gauche. On aurait pu prévoir ce dernier résultat en observant que la cubique est la seule courbe gauche qui n'ait qu'un point double apparent, condition essentielle pour qu'une courbe soit la directrice unique d'une congruence du premier ordre.

120. Deuxième hypothèse. — Soient h et k les degrés des deux lignes Ch, et Ca:, en lesquelles C se décompose. Par un point quelconque a de C^ et la droite D, qui détermine o-, faisons passer un plan. Ce plan coupe C^ en k points b. Par chaque point a de Ch passent ainsi k génératrices de gt. Donc,