CHAPITRE Y. — GÉNÉRATION DES CONGRU ENCES, ETC

sur la surface o-, C/, est d'ordre de multiplicité k et, de même, Cjt est d'ordre de multiplicilé h. Les n h- i points de rencontre de la génératrice ab de a avec Tune quelconque des autres surfaces o- du même faisceau se composent donc de k fois le point a et de h fois le point b. D'où

D'autre part, on obtiendra les n droites de la congruence, situées dans un plan quelconque, en joignant de toutes les manières possibles les h points où ce plan coupe Cy^auxA points où il coupe C^t- Donc

hk^z n.

Des deux relations précédentes, on conclut

/i=:i, kz=n ou bien h=:n, A- = i.

Ces deux solutions n'en font qu'une : elles donnent lieu à une congruence du premier ordre et de la /i'*"® classe, composée de droites s'appuyant à la fois sur une droite A et sur une courbe gauche C„ du w'«"*' degré.

Il est d'ailleurs facile de voir que A rencontre €„ en /i — i points. En effet, par un point quelconque de l'espace ne doit passer qu'une droite de la congruence. Or cette droite doit se trouver à l'intersection du cône ayant ce point pour sommet et Cn pour directrice avec le plan passant par ce même point et la droite A. Pour qu'une seule des n droites ainsi obtenues convienne à la congruence, c'est-à-dire s'appuie, en des points différents, sur C^ et sur A, il faut et il suffit que A rencontre C« en n — I points.

Ainsi se trouve établi le mode de génération le plus général d'une congruence du premier ordre et de la n^^"'"' classe. On en conclut, comme cas particulier, que les droites d'une congruence du premier ordre et de la première classe s'appuient sur deux mêmes droites (n° 53).

Le principe de dualité permettrait de conclure aisément de ce qui précède un mode de génération simple des congruences de la première classe et d'un ordre quelconque.