V. — Les points à courbure stationnaire
1. Jusqu'ici nous ne nous sommes guère occupé que des propriétés des trajectoires que l'on peut déduire de la considération de deux éléments infiniment voisins. Dans ce para-
MOUVEMENT d'uN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. 89
graphe nous ferons un pas en avant et nos recherches s'étendront à trois éléments consécutifs.
Nous supposerons d'abord données quatre positions o-q, Œj, C7j, 0-3 du système plan o-. Désignons para^,a{, a^ les trois rayons normaux consécutifs d'un point A. En général, ils forment un triangle, mais nous pouvons nous demander s'il existe des points A de o- dont les rayons normaux a^, a\, a\ se coupent en un seul et même point, et tels par conséquent que les quatre positions Ao, A,, A2, A3 soient sur un cercle.
11 existe en effet de pareils points. Car, si g est une droite quelconque, les points d'intersection des rayons normaux al eia\ qui lui correspondent forment une conique qui passe par les centres de rotation 0\^^ Ojo? O'oi (III, 1).
De même, les points d'intersection des rayons a\ et a\ forment une section conique qui passe par Oj3, O31, O'^. Ces coniques contiennent toutes les deux le point Oj^. Donc elles se couperont encore en général en trois autres points, et chacun d'eux est caractérisé par le fait d'être le point de rencontre de trois rayons normaux consécutifs.
Il existe donc sur g trois points de l'espèce considérée, et l'ensemble de ces points constitue une courbe du troisième ordre. On la désignera par A^oiss ^^ ^os*
On peut encore définir de la manière suivante les points de cette courbe. Les trois positions (Jq^ (Ji,(Ji déterminent une relation quadratique entre les points de <j et ceux de o-'; de même les trois positions (Ti,<72, 0-3 en déterminent une autre. A chaque point A correspondent, en général, deux points différents. Mais les points de la courbe A:J3 jouissent de la propriété que le même point leur correspond dans les deux relations quadratiques, et les points A' sont les éléments unis des deux systèmes superposés <j', dont chacun est en relation quadratique avec c7.
2. Il existe également une pareille courbe dans le système plan <j' pour le mouvement inverse, et les deux courbes sont en relation réciproque. Si A est un point de A-Jj et A' le centre du cercle qui passe par Aq, A i, Aj, A3, A' est un point k^'^ . En effet, que nous regardions o- ou a' comme mobile, les deux points A et A' seront, pour les quatre positions considérées,
à la même dislance Tunde Taulre. C'est dire que Ao,A', jA^jA, sont sur un cercle dont le centre est en A. Ainsi, chaque point A' de ArJi est le centre du cercle correspondant au point A de Arjj, et inversement, chaque point A de âtJ, est le centre du cercle qui appartient à A'.
La courbe Arjj est donc le lieu des centres des cercles pour les points de Arjg, et ArJ, est le lieu des centres des cercles pour les points de Xrjj dans le mouvement inverse.
Chaque couple de points A et A' est formé de deux points correspondants des systèmes a et o-'; donc Xrjj et kl'^ sont des courbes correspondantes. AJj passe par 0^, O20, Ooi, et kl'^ par O'^, O^o, Ooi, et, en effet, pour chacun de ces points, les quatre positions considérées sont sur un même cercle, car deux d'entre elles coïncident. Mais on voit que les points de /rjj se comportent de la même manière vis-à-vis des quatre positions (To,o"i,o'2,o'3, car, en chacun de ces points A' convergent, outre aj, a^,a^, trois autres rayons normaux, qui sont les perpendiculaires élevées au milieu dos cordes A0A2, A0A3, AjAg.
Donc ky^ passe par les six centres de rotation
De même, AJ3 passe par
^01> ^^02> '^03> ^12» Oi3, O
