OM OM

en tenant compte des conventions faites sur les signes.

Ceci posé, considérons un rayon normal /,„ et le point W de ce rayon situé sur le cercle des inflexions du mouvement indirect w' .

Traçons par 0 une droite quelconque œy que nous considérerons comme une ligne de terre, et menons par un point S, pris arbitrairement sur la verticale du point 0, un plan horizontal. Projetons le point M de /,„ en m sur ce plan, puis le point W en W'^ sur la ligne de terre. Menons SW'i et Om : ces droites se coupent en m' qui se projette en M' sur OM.

Lorsque le point M se déplace sur /,„, la ponctuelle engendrée par m est en situation perspective avec la ponctuelle (M). Par suite, la ponctuelle {m') située sur SW'^ sera projective à la ponctuelle (M), ainsi que la ponctuelle (M') qui est perspective à (m).

De plus, par celte construction, au point à l'infini sur /,„ correspondra le point W, et les points unis des deux ponctuelles projectives sont réunis en 0. De ces dernières re-

2l4 NOTES.

marques, il résulte que le point M', que nous obtenons ainsi, n'est autre que celui que fournirait la relation

où M et M' désignent un point et le centre de courbure de sa trajectoire.

Nous énoncerons donc le théorème suivant :

Le lieu géométrique des points W qui correspond aux points M d' une courbe Y,n est la projection horizontale de la courbe d'intersection de deux cônes : l'un de ces cônes a pour sommet le point S pris arbitrairement sur la verticale du centre instantané^ et pour base le cercle des injlexions du mouvement indirect w', l'autre a pour sommet le centre instantané j et pour base la projection de la courbe ¥„isur le plan horizontal passant par S.

Il est en effet bien facile de reconnaître sur la figure que les constructions qui ont été faites pour obtenir le point M' ne sont autres que celles que l'on ferait pour chercher un point de l'intersection des deux cônes, situé dans le plan vertical

De ce qui vient d'être dit on conclut immédiatement que, si la courbe F,„ est algébrique et de l'ordre m, le lieu du point M' sera de l'ordre 2 m,

Poursuivons plus complètement l'étude de cette courbe : nous obtiendrons des points de la courbe d'intersection des cônes qui se projettent horizontalement en 0, en coupant les deux surfaces par un plan vertical perpendiculaire au plan vertical de projection. En construisant les traces horizontales des plans tangents, on voit que chaque branche de courbe passant par 0 est tangente en 0 à la tangente 0^ à la courbe polaire.

Le nombre de ces branches est d'ailleurs égal à m.

On a vu dans le cours de cet Ouvrage que, si l'on applique ces propositions à une droite, la conique résultante est non seulement tangente à 0/, mais qu'elle a le cercle <v' pour cercle osculateur.

Nous allons voir que cette propriété est générale. En effet.

on a

OM 0M'~~ OVV

d'où

OM' OW OM'-OW'= "''

OM

Lorsque le rayon normal se rapproche indéfiniment de la tangente à la courbe polaire, le produit OM'.OW est infiniment petit du second ordre, OM restant fini dans le cas général. Donc OM'— OW est aussi infiniment petit du second ordre, c'est-à-dire que le lieu du point M' admet le cercle w' pour cercle osculateur en 0.

Jl s'ensuit de tout ceci que :

Le lieu géométrique des centimes de cpurbure des trajectoires des points d'une courbe F,„ de l'ordre ni qui ne passe pas par le centre instantané est une courbe de l'ordre im ayant trois points multiples de l'ordre m situés sur la circonférence des inflexions du mouvement inverse w' , et infiniment voisins du centre instantané de rotation, ou, en d'autres termes, ayant m branches qui passent au centre instantané, ou chacune d'elles est osculée par la circonférence w'.

Ce théorème peut d'ailleurs se déduire aussi de ce fait que les points M et M' sont, d'après ce qui a été vu à la page 21, en correspondance quadratique, les trois points principaux étant confondus en 0.

Lorsque la courbe F,;^ passe au centre instantané de rotation, la théorie de la correspondance quadratique reste applicable.

Revenons à la conique lieu des centres de courbure des points d'une droite. L'existence de cette courbe a été montrée en i853 par M. Rivais. Le général Dewulf a proposé de la désigner sous le nom de conique de Rivais.

Pour la déterminer plus complètement, nous prendrons la ligne de terre xy perpendiculaire à la droite g dont dérive la conique {fig. 28).

Nous désignerons par G' la projection verticale de la droite

qui nous sert avec le point 0 à définir le plan sécant du cône S. La conique de Rivais passe en 0 et par le point W^ situé sur la parallèle à g menée par 0. Il nous est facile d'obtenir le diamètre des cordes de cette direction; car aux extrémités de ce diamètre les tangentes sont parallèles à g.

Nous n'avons donc qu'à construire les points A et B situés dans les plans verticaux dont les traces horizontales sont OD et OE. Mais on observera que l'on peut avoir immédiatement ces points, car la trace verticale du diamètre AB étant en G', elle se projette horizontalement au point d'intersection de g et de la ligne de terre. Soit G', ce point, il nous suffira de le joindre au milieu co de OW^ pour avoir le diamètre conjugué des cordes parallèles à g. Les points A et B, extrémités de ce diamètre, sont sur OD et OE, le diamètre ED étant parallèle à xy.

Le centre C de la conique de Rivais est au milieu de AB.

Nous voyons que, lorsque la droite g se déplace en restant parallèle à elle-même, le diamètre AB pivote autour du point

w; les extrémités élant toujours sur les droites OD, OE, on a le théorème suivant :

Le lieu géométrique des centres des coniques de Rivais qui correspondent à un système de droites parallèles est une hyperbole équilatère dont les asymptotes sont parallèles à OD et OE.

Cette hjpei'bole passe par le centre instantané et par le centre du cercle w' .

On obtient les points à l'infini de la conique de Rivais en traçant les rayons normaux qui joignent au centre instantané les points d'intersection de la droite g avec le cercle des indexions w'. Ces rayons normaux nous donnent donc la direction des asymptotes. Leurs bissectrices sont parallèles aux axes. Mais il est facile de s'assurer que ces bissectrices coïncident avec OD et OE. Donc :

Les axes des coniques de Rivais qui correspondent à un système de droites parallèles sont tous parallèles entre eux et aux asymptotes de V hyperbole, lieu géométrique de leurs centres.

De la construction qui a été donnée pour la conique de Rivais résulte encore une démonstration simple de ce fait que la conique et le cercle w' sont des courbes homologiques.

Joignons en effet deux points A et B de la conique de Rivais d'une droite g au point 0. OA et OB coupent le cercle w' en A, et Bi. Désignons par A' et B' les points de l'intersection du plan sécant O^i et du cône S dont A et B sont les projections. Les droites AB et A'B' se coupent sur la trace horizontale du plan. Il en est de même pour A'B' et AiBj. Donc les droites AB et A,Bi concourent aussi sur cette droite. Par suite :

La conique de Rivais d'une droite g et le cercle des inflexions du mouvement inverse sont des courbes homologiques.

Le centre d'homologie est le centre instantané de rotation et Vaxe d'homologie est la parallèle à la droite g menée par le centre instantané de rotation.

^l8 NOTES.