SUR LE CÔNE DE MALUS

Imaginons un ensemble de droites liées aux divers points de l'espace par une loi telle que chaque point de l'espace serve d'origine à une de ces droites et que, réciproquement, sur chaque droite de l'ensemble se trouve un point lui servant d'origine. Il est aisé de voir qu'un tel ensemble de droites forme un complexe. En effet, celles de ces droites dont l'origine est dans un plan, pris arbitrairement, forment une congruence ; car elles sont soumises à deux conditions simples; et les diverses congruences obtenues de la sorte, en déplaçant le plan parallèlement à lui-même, appartiennent à un même complexe, qui comprend l'ensemble des droites considérées.

Ceci posé, nous allons démontrer un important théorème, dû à Malus ( ^ ), que l'on peut énoncer ainsi :

Étant donné un ensemble de droites, telles que la direction

(^) Traité d^ Optique. — Voir aussi le XIV* Cahier du Journal de l'École Polytechnique.

de chacune d' elles est dé ter^ minée par le point qui lui sert d'origine, le cône, dit cône de Malus, lieu des droites suivant lesquelles un point quelconque doit se déplacer, pour que la droite de V ensemble dont ce point est Vorigine rencontre cette même droite dans sa position infiniment voisine, est un cône du second degré .

11 suffira de montrer que, dans un plan quelconque cj passant par le point o considéré, il existe deux droites issues de o, qui satisfont aux conditions de l'énoncé. Considérons, à cet effet, parmi les droites de Fensemble, celles dont l'origine est dans le plan gt : elles forment une congruence, dont fait partie la droite D de l'ensemble ayant le point o pour origine. Or, d'après un théorème de Monge (n'' 81), il existe, dans cette congruence, deux droites infiniment voisines de D qui rencontrent cette droite. Les traces sur le plan m des plans passant respectivement par D et par ces deux droites infiniment voisines sont les intersections de ce plan avec le cône de Malus, qui a pour sommet le point o. Donc ce cône est du second degré.

Deux remarques sont à faire au sujet de cette démonstration. Tout d'abord, nous avons supposé qu'une seule droite de l'ensemble passait par un point o quelconque. S'il y en avait plusieurs, il y aurait autant de cônes de Malus, ayant leur sommet en o, qu'il y aurait de pareilles droites.

En second lieu, on peut observer qu'un ensemble de droites, tel que le définit Makis, peut, dans certains cas, se réduire à une congruence. C'est ce qui se produit, lorsque les divers points d'une quelconque des droites du système peuvent indifféremment lui servir d'origine. En ce cas, chacun des cônes de Malus se réduit à un système de deux plans, à savoir le système des deux plans focaux de la droite correspondante de la congruence.

M. Kœnigs, dans une thèse remarquable sur les propriétés infinitésimales de l'espace réglé (année 1882), a fait ressortir le rôle fondamental du cône de Malus dans cette théorie. Nous devons nous borner ici à cette indication.