IS

la coniniensiirahilih' de loules les grandeurs, livpollièse cerlaincineiil aussi naturelle qu'elle est fausse, et qui, à l'époque où Platon écrivait les Lois, était encore très répandue. La découverte de l'incommensurabilité par Pvthagore dut donc causer, en Géométrie, un véritable scandale logique, et, ])onr j échapper, on dut tendre à restreindre autant que possible l'emploi du principe de similitude, en attendant qu'on fût arrivé à l'établir sur une tliéorie de la [)roporlionnalité indépendante de l'hypothèse de la commensurabilité.

C'est à Eudoxe qu'appartient la gloire d'avoir créé cette théorie, puisque c'est là l'objet du Livre V des E léments ; la rigueur en est incontestable, et, si l'embarras de la forme géométrique a été uji motif pour l'abandonner, il serait lacile de l'en dégager, et elle soutiendrait alors sans aucun désavantage la comparaison avec les expositions modernes, si souvent défectueuses (*).

A. Il semble donc que, entre Pvthagore et Euclide, la Géométrie plane ait subi dans son ensemble un remaniement profond, dont le moment décisif aura été le travail d'Eudoxe sur les proportions. Ce travail, en réalité, n'appartient pas à la Géométrie proprement dite, et, en bonne logique, il eût convenu de le placer en lête àes Eléments; mais, pour être adopté, cet ordre était trop en désaccord avec la tradition et avec la gradation des difficultés. Euclide fut donc conduit à procéder suivant une tout autre marche.

Les circonstances que je viens d'essayer de retracer ont eu une conséquence spéciale sur laquelle je crois utile d'appeler l'attention.

Le principe de similitude se démontre en employant le postulatum des parallèles; mais, inversement, en formulant le principe sous une forme suffisamment simple et en l'admettant a priori, on pourrait s'en servir pour démontrer le postulatum des parallèles. La formule choisie peut enfin être assez claire pour lutter d'évidence intuitive avec le postulatum ('), et si on les proposait

(') Duhamel {Éléments de Calcul infinitésimal, t. I, p. i-6, etc.) a suflisaminenl Irailc cette question pour (jue je n'insiste pas.

(^) Par exemple, le rapport entre l'hypoténuse d'un triangle reclnnslc et uu côté de l'angle droit est constant, si l'angle compris reste le même.

;i (|ii('l(jii(' ouMior, iynoriinL en G (mj nié trio, nuiis latiiilicr avec les pratiques de son art, il y aurait souvent chance pour (pi'il prononçât en laveur du principe de similitude.

Il ne faut pas évidemment se représenter la Géométrie de Pvlliagore eommc arrivée au 'degré de perfection qui date d'I'Luclide. La forme des démonstrations devait être, en général, aussi rigoureuse, mais le nombre des vérités admises comme primordiales était, sans doute, beaucoup plus considérable, et, si ! On met à part les travaux originaux d'Eudoxe et de Tliéétète, le progrès dut consister, en ce qui concerne le domaine des Eléments, beaucoup moins dans la découverte de propriétés nouvelles que dans la réduction des axiomes. Or il me semble hors de doute que du moment où l'absti-aclion géométrique commença, elle dut admettre sur le même pied, sous une forme ou sous une autre, d'une part, le principe de similitude, dérivé des arts du dessin, de l'autre, le postulatum des parallèles, qui, peut-être, provient plutôt de l'arpentage. Si, plus tard, l'un des deux jjrincipes passa au second plan, ce ne fut pas pour quelque raison a priori, qui n'existe pas, mais bien parce que la similitude fut reconnue dépendre d'une théorie générale, laquelle n'était point suffisamment élucidée. Ainsi l'ordre que nous continuons à suivre à cet égard n'a qu'une valeur simplement historique.

o. J'ai déjà eu l'occasion d'indiquer, à propos d'un passage du résumé historique de Proclus ('), comment Bretschneider avait été amené à voir, dans les démonstrations analytiques adjointes aux premières propositions du Livre XIII des Eléments, le débris d'un travail d'Eudoxe; il a semblé, d'après cela, que le Cnidien avait également apporté une contribution importante à la théorie des polyèdres réguliers, objet de ce Livre, théorie, nous le savons, déjà ébauchée par Pvthagore.

Mais cette conclusion tombe, si, comme j'ai essayé de le montrer, l'interprétation Av Bretschneider est inexacte. Tout au contraire, le témoignage de Suidas peut être invoqué pour affirmer que c'est à ïhéétète, non à Eudoxe, ([u'a été emj)runlé comnie fond le l^ivre XIII d'Euclide (- ).

(') Voir plus liaiil, p. 76.

(^) « Tliéélèlc, d'Atliùnes. aslrolu^iin. [iliilosn|ilir, ilisiiplr fie Scirrate, i-rir-cifina

— mil —

Si 1 aiilorilé de Suitliis csl soiivciil sans valeur, sa thtniicc pciil recevoii' une confirmation sérieuse d'après la nature d'un Iravail qu'on est unanime pour attribuer à Théétète.

Dans le dialogue auquel Platon a donné le nom de son condisciple se trouve un précieux document : Théodore de Cyrène, leur maître commun en Géométrie, avait composé un Ouvrage sur les lignes pouvant une surface (') (côtés des carrés avant cette surlace), comme de trois [)ieds, de cinq pieds, pour montrer qu'elles sont incommensurables en longueur à la ligne d'un pied, et il avait ainsi examiné successivement toutes ces lignes jusqu'à celle pouvant 17 pieds.

Théétète, encore tout jeune, est représenté par Platon c'omme s'élevant au concept général de la ligne racine carrée incommensurable d'une aire rationnelle, ligne qu'il appelle ouvaaÉvyj {pr,'cr\ ûuvaixsi ixo'vov auijiasTpoç d'Euclldc = rationnelle commensurable en puissance seulement), tandis qu'il appelle [avjxoç (longueur) la racine carrée commensurable (^riTV) [j.rjX£i cv^iazT^oç d'Euclide = rationnelle commensurable en longueur).

On a vu là un motif" suffisant |)0ur regarder Théétète comme le fondateur de la théorie des incommensurables, telle qu'elle est exposée dans le Livre X d'Euclide, avec une terminologie, toutefois, quelque peu modifiée, ainsi qu'on vient de le voir. En v joignant le Livre XIII, on a de la sorte un ensemble de travaux qui peuvent n'avoir point l'importance de ceux d'Eudoxe, mais suffisent pour placer Théétète au rang que lui assigne le résumé historique de Proclus.

0. Il convient de faire ressortir la liaison singulière qui existe entre les deux Livres précités d'Euclide, liaison qui fournit la confirmation dont peut avoir besoin la donnée de Suidas.

L'objet du Livre XIII semble moins, en fait, être la construction

à Héracice. Il ccrivil le ]ircmicr « les ciiui solides », comme 011 les appelle. Il vivait après la guerre du Péloponnèse.

» Théétète, d'HèracIée du Pont, philosophe, disciple de Platon. » Il est probable que ces deux Notices se rapportent au même personnage. (') Je considère le texte actuel de Platon comme corrompu par la substitution du mot ôûvajxiç (puissance) au mot technique ô'jvajAÉvr] (pouvant). Voir mon arlicic : La langue matliéinatique de Platon, dans les Annales de la. Faculté des Lettres de Bordeaux (fasc. 3, p. 91: iSî^^ ).

- loi -

(les polyèdres réguliers e( Kuir iiiscriplioii (hiiis la sphère (problèmes donl on j)eiil Lrès bien atlribuer la solution à Pvlbagore), que la déLerniinalion des rapports qu'ont entre eux et avec le rayon de la sphère les côtés des cinq polyèdres. Cette question avait dû se poser déjà pour Pythagore, mais il n'avait évidemment pu la mener à bout; car, s'il découvrit l'incommensurabilité de lignes fournies par les constructions géométriques, ses travaux ne paraissent pas avoir été bien loin dans cette voie. En tout cas, l'Ouvrage publié par ses disciples ne devait renfermer, sur cette cjuestion, que la démonstration de l'incommensurabilité de la diagonale au côté du carré ('), puisque Théodore de Cyrène reprit la question

àv/3C0.

Pour arriver au but dont il s'agissait, nous employons des notations algéliriques; les Grecs imaginèrent de classer les irrationnelles fournies par les constructions géométriques, cl le Livre X nous fournit ce classement, avec les propriétés, non seulement pour l'équation du second degré et pour l'équation bicarrée à coefficients rationnels, mais même en partie pour l'équation tricarrée.

Le Livre XIII s'appuie immédiatement sur ce classement; ainsi telle ligne que nous déterminons comme différence de deux radicaux est déterminée en tant qiVapolome; telle autre, de la forme

\p-\-\Jp'- — c/, est suffisamment désignée comme majeure {u.tiiwv). Si l'on observe, d'autre part, que ce Livre contient plusieurs théorèmes qu'Euclide aurait certainement mieux placés dans le quatrième, où il traite des polygones réguliers, on est facilement induit à penser que l'on se trouve, pour le Livre XIII, en présence d'un ensemble introduit dans les Eléments di\ec très peu de modifications. Dès lors, les théories du Livre X, qui y sont employées, apparaissent comme provenant sans doute du même auteur, c'est-à-dire de Théétète, conformément aux données émanant de Platon et de Suidas.

(M Démonstralion ([iii, au léiiKjignugc tl'ArisloLc, se i'aisail par l'absurde, en prouvant qu'un nomlîrc devrait être à la fois pair et impair. Ce semble dune èlre celle qu'on trouve pi'éciscmcnt à la fin du Livre X d'Euclide.

(-) Je crois inutile d'insister sur la difficulté ([uc semblent avoir éprouvée les premiers géomètres à s'élever aux généralisations les plus simples, difficultés dont le témoignage de Platon nous fournit un exemple si curieux; on en a déjà vu un autre (Geminus dans lùitocius sur Apollonius, [>. ()) à propos du théorème sur la somme iii;s troj-; angles d'un li'ianal»'.

Il esl ;i peine utile de faire rciii;ir(|iicr qu On ne penL nulleineni, conclure de là (jnc le Livre X tout entier soit dû à Théélètc; tout au contraire, il est assez probable que la plus grande partie de la nomenclature, que ne suppose pas le Livre XIII, est postérieure, et Tétat d'imperfection sensible où Euclide laisse cette théorie peut môme indifpier que, avant lui, elle n'avait guère été Iravalllée depuis son fondateur (').

7. Ainsi nous avons pu, avec une probabilité plus ou moins grande, reconstituer le rôle des deux géomètres qui nous sont indiqués comme ayant exercé la plus grande inlluence sur la doctrine des Eléments.

Il nous reste, pour contrôler le résultat de nos recherches, à passer rapidement en revue les données précises que nous possédons sur les travaux géométriques des Pythagoriciens, et à examiner si, entre les théories dont il convient de leur supposer la connaissance et celles que nous avons attribuées à Eudoxe et à Théétète, ne se trouverait pas quelque lacune importante; dans ce cas, nous ne saurions guère qui l'aurait comblée.

Je relève exclusivement ce qui concerne la Géométrie, en suivant, d'ailleurs, l'ordre théorique.

a. (Procliis, p. 379). — « Eudème, le péripaléticien, fait remonter avix Pvthagoriciens l'invention de ce théorème (Euclide, I, 32) que, dans tout triangle, la somme des angles intérieurs est égale à deux droits. Il dit qu'ils le démontrent comme suit :

» Soit le triangle ABC; menez, par A, DE parallèle à BC. Puis([ue BC, DE sont parallèles et que les angles alternes-internes (ivaXXâç) sont égaux, on a

DAB = ABC et EAG == ACB.

Ajoutez de part et d'autre BAC. On aura donc

DAB-hBAC + GAE,

(') La Ihéoi-ic des irrationnelles exige des notions sur les nombres; sont-ce les travaux de Tliéclète qui ont déterminé l'introduction dans les Éléments des Livres arithmétiques (Vil à I\) au rang singulier qu'ils occupent? A-t-il lui-même travaillé sur ce snjcl? Ces qucslinns, ucluellcment, me paraissenl insolubles.

- lOJ o'rsl-à-(lir«'

iJAB-f-liAE,

c'csl-à-dirc deux droits = la somme des trois anj^lcs du triangle ABC. La somme des trois angles d'un triangle est donc égale à deux droits. Telle est la démonstration des Pythagoriciens. »

b. [Procliis, p. Scj-ocj). — «Ainsi, six triangles équilatéraux, assemblés par le sommet, remplissent exactement les quatre angles droits; de même trois hexagones et quatre carrés. Tout autre polygone quelconque dont on multipliera l'angle, donnera plus ou moins que quatre droits ; cette somme n'est donnée exactement (pic par les seuls polygones précités, assemblés suivant les nombres donnés. C'est là un théorème pythagoricien. »

c. i^Proclus, p. /Î2<>, sur Euclide, I, 47 • théorème du carré de riivpoténuse). — « Si l'on écoute ceux (jui vcuh:;nt raconter l'histoire des anciens temps, on peut en trouver qui attribuent ce théorème à Pjthagore et lui font sacrifier un bœuf après sa découverte. ))

d. [Proclus, p. 4'9î sur Euclide, I, 43)- — « Ce sont, nous dit-on d'après Eudème (ot Tcspi tov Euor,[;iov), d'anciennes découvertes dues à la muse des Pythagoriciens, que la parabole des aires, leur hyperbole ou leur ellipse ('). C'est de là f[ue, plus tard, on prit ces noms pour les transporter aux coniques, qu'on appela : Tune, /:>«yrt^o/e (comparaison), l'autre, hyperbole (excès), la troisième, ellipse (défaut); tandis que, pour ces hommes anciens et divins, c'était dans la construction plane des aii-es sur une droite déterminée qu'apparaissait la signihcalion de ces termes. Si vous prenez la droite tout entière et que vous j terminiez l'aire donnée, on dit (pie vous faites \dt parabole de cette aire ; si vous lui donnez une longueur qui dépasse la droite, c'est Vliyperbole ; si une longueur inférieure, c'est Vellipse, une partie de la droite restant alors en dehors de l'aire construite. C'est au Livre VI qu'Euelide traite de Vliyperbole et de Vellipse; mais ici il aNait besoin de la parabole par une droite donnée d'une aire équivalente à un

(') Soient, A une aire donnée, p la ionsncur par rapporL à lu(|uellc se fait la parabole, il s'agit de construire l'inconnue x dans les écjualions px — A (para- Ijole simple), />x-h mx''= A (parabole avec liyperholc), px — m x- = A (para-

l)i)lc avec cllip^fj. C.'csl la noiiienrlal ure i'iassi(|iic (!r|iiii- JMiclidr.

— loi —

Iriani^Ic {loniit', pour nous ibiniiir, ;i|)irs la conslruclit>n (^ûcTact:, nrop. /\i) d'un paralléloyramnK; t'ipiivaleiil à ce Iriangle, sapa/aboie j)ar une droite délerniinée. Ainsi, (pfon donne un triangle ayant une aire de 12 pieds et une droite dont la longueur soit de 4 pieds, nous faisons \a parabole de Taire du triangle sur la droite, si, prenant la longueur totale de /\ pieds, nous trouvons de cond)ien de pieds doit être la largeur pour que le parallélogramme soit équivalent au triangle. Ainsi, ayant trouvé, dans ce cas, la largeur de 3 pieds, nous multiplions la longueur par la largeur, en supposant que l'angle donné soit droit, et nous avons l'aire. Voilà ce qu'est la parabole d'après l'antique tradition venue des Pythagoriciens. »

J'ai tenu à traduire in extenso ces passages de Proclus (ici Porphyre-Pappus) à cause de l'authenticité de la tradition qu'ils représentent. Je mentionnei'ai seulement les témoignages qui suivent :

e. Emploi du pentagone étoile comme signe de reconnaissance par les Pythagoriciens (Lucien, Pro lapsu in salut. 5, etc.).

/. Le sacrifice légendaire a dû être ofTert par Pythagore, soit pour le théorème sur le carré de l'hypoténuse, soit pour \di parabole des aires (Plutarque, Non posse siun-. vivi sec. Epie.., 11), soit plutôt pour la solution du problème suivant :

Construire une figure équivalente à une figure donnée et semblable à une seconde figure donnée (Plltarque, Sympos.

vni)(;)- \

g. Construction des polvèdres réguliers ( Pi'oclus, p. 65) et, en particulier, inscription du dodécaèdre dans la sphère. (Jam- BLiQUE, De vit. P^■th., 18).

8. J'ai déjà suffisamment parlé des questions («) et {g)'i il est clair que {b) dérive logiquement de («), mais a dû être provoqué par les problèmes pratiques de décoration des carrelages ou des murailles, de même que la recherche des polyèdres réguliers doit avoir eu son origine dans des tentatives analogues d'architectes. Il est même très possible que ce soit la reconnaissance empirique de la propriété des triangles équilatéraux, assemblés autour d'un sommet commun, qui ait amené la découverte de l'égalité à deux

(') Plularqiic, qui n'est nullement niatliéin;itirirn, dit mal à propos « faire la parabole » au lieu tle « construire ».

— lOo —

tlioits (le lit >()inmc des ;iiii;lcs de cliacim de ces Iriiinj^les ; on sera passé ensuite, d'après le léinoignage de Gcminiis, duljoid au triangle isoscèle, enfin au scalène.

Le ton sur lequel Proclus parle de la découverte du carré de l'hypoténuse (c) prouve assez, sans en rapprocher les conlradiclions de Plutarque (/), que la légende du sacrifice n'était nullement assurée. Il semble qu'Eudème ne l'ait pas connue et qu'elle ait été appuyée uniquement, dans l'antiquité, sur deux vers anciens, rapportés par un logisticicn du nom d'Apollodore (-ote), et qu'on peut traduire comme suit :

Pyihagore, invenlant la célèbre figure, Oflril une victime et rendit grâce aux dieux,

témoignage bien insuffisant, certes, pour reconnaître le théorème auquel est resté attaché le nom du sage de Samos. Tout semble indiquer, au contraire, que, s'il ne l'a pas emprunté aux Lgvptiens ('), cette proposition fut une des premières qu'il rencontra et nullement le couronnement de ses recherches.

Proclus paraît dire assez clairement (p. /{9.6) que la démonstialion donnée par Euclide (-) appartient à ce dernier; mais celle de Pjthagore nous est absolument inconnue, et c'est peine bien inutile que de chercher les raisonnements les plus primitifs pour les lui attribuer. La Géométrie de Pythagore était déjà assez savante pour ([u'il pût faire la démonslralion par les triangles semblables.

0. La substance du Livre I'' d'Euclido, d'après des témoignages suffisamment précis de Proclus, appartient en tout cas aux Pythagoriciens et il leur attribue aussi nettement les théories du Livre YL

Le problème que cite en dernier lieu Plutarque (/) [Euclide,

( ' ) .M. Cantor ( Vorlesungen, p. 5G, etc.) a solidement établi qu'on ne peut dénier aux Égyptiens la connaissance de triangles rectangles en nombres particuliers. L'exemple des Chinois semble bien prouver qu'on pouvait arriver à reconnaître la loi générale ailleurs qu'en Grèce; je ne parle pas des Çulvasùtras hindous, parce qu'ils peuvent être postérieurs à la conquête d'Alexahdre.

(') Celle que nous appelons vulgairement le pont-aax-dnes, et que les Grecs désignèrent comme Gôtôpriua ■zr^t •i-j'^'^r,:, (George l'achymère, mss. delà Bibliothèque nationale).

T. li

VI, '.ij), se r(5(liiil à la connaissance du rapport des aires de deux figures semblables, proposition connue d'Hippocrate de Chios, à l'invention de deux quatrièmes ou troisièmes proportionnelles [parabole simple (û?) = I,44] et d'une moyenne proportionnelle (II, i4). Ce problème est essentiel pour le cas de la parabole complète avec ellipse ou hyperbole, telle que la traite Euclide au Livre VI (28, 29), c'est-à-dire lorsque, dans l'équation à résoudre px z±z mx- = A^ m est un rapport donné différent de l'unité (').

C'est attribuer à Pythagore la construction géométrique des problèmes du second degré; mais, si les témoignages cités à cet égard peuvent paraître sujets à caution, il convient de remarquer que, comme nous le verrons, cette construction était très probablement connue d'Hippocrate de Chios; que, d'autre part, la connaissance du pentagone régulier(e)(^)par les Pythagoriciens prouve bien qu'ils savaient au moins résoudre un problème spécial du second degré, la division d'une ligne en moyenne et extrême raison.

Dès lors, ils semblent bien avoir au moins fourni le fond de toutes les théories importantes des Eléments, si l'on excepte, d'une part, celles que nous avons attribuées à Eudoxe ou à Théétète, de l'autre, la théorie proprement dite du cercle, c'est-à-dire le Livre III, auquel rien ne nous renvoie, car j'omets, comme sans valeur, l'assertion de Jamblique (Siniplicius sur la Physique d'Aristote, i3,^'), d'après laquelle ils auraient trouvé une quadrature du cercle.

Cependant ils avaient dû s'occuper spécialement du cercle que Pvlhagore disait être la plus belle des figures planes (Z>/o«\ Laërce, VIII, 19), et, en tout cas, la lacune n'aurait pas une importance relativement très grande.

L'insuffisance des preuves relatives à l'extension réelle des connaissances géométriques de Pythagore ne peut être niée; cependant il me semble que l'on peut dire, en résumé, que ces preuves ont été un peu trop négligées, et que tous les témoignages concordent assez pour rendre probable l'opinion que j'ai avancée, que, en thèse générale, le premier Ouvrage mathématique dû à

(') Il est à remarquer que le cas simple, où m — i, peut se déduire immédialemciil des théorèmes II, 5 et (i.

l'École (Je Pylhagore présentait déjà le même cadre que les cléments géométriques d'EucUde et qu'il remplissait assez complètement ce cadre, si Ton excepte les théories générales sur les proportions, sur les incommensurables et sur les cubatures dérivant de la mesure de la pyramide.

lOS —