CHAPITRE VII

La constitution des Éléments.

1 . Dès le milieu du v^ siècle avant J.-C, ai-je dit, il a dû exister un Ti^aité de Géométrie portant le nom de Pvthagore et présentant déjà le même cadre que les Eléments d'Euclide. Quels progrès successifs ont amené cette première ébauche, sans doute bien imparfaite encore, à la forme classique qui devait s'imposer à l'enseignement? Voilà ce qu'il serait intéressant de connaîti'e.

Proclus, dans son résumé historique, nous a conservé les noms de trois ou quatre auteurs à' E lénients antérieurs à Euclide: Hippocrate de Chios, Léon, Theudios de Magnésie, Hermolime de Colophon ('). Mais ces noms nous sont inconnus, sauf le premier, et les renseignements que nous possédons sur Hippocrate sont relatifs à des travaux en dehors du cadre d'Euclide ; il nous faut donc chercher ailleurs.

Il est à remarquer que Proclus, quand il parle, soit des travaux d'Hermotime, soit de ceux d'Euclide, indique chaque fois, comme précurseurs, deux géomètres qu'il ne cite pas comme auteurs à' Eléments, mais sur les travaux desquels il a spécialement attiré l'attention. Il semble donc que ces deux géomètres, Eudoxe et Théétèle, soient en réalité ceux qui aient joué le rôle le plus important dans le développement de la Géométrie, de Pylhagore à Euclide.

Est-il permis de préciser ce rôle pour chacun d'eux, de déterminer les théories spéciales qui leur sont dues?

2. Sur la part d'Eudoxe dans la constitution des Eléments, nous possédons deux données positives, d'une importance capitale,

(') Il n"e«l pas très clair que ce fli'i'iiicr ail piroclivpniciil coinpnsr des Fléntenls.

et qui suffiraient, sans ses autres travaux, trop souvent dépréciés par l'ignorance, pour assurer au Cnidien un rang parmi les premiers génies de l'antiquité.

Un scholie anonyme sur Euclide (peut-être provenant de Proclus) (') dit (pic le Livre V d'Euclide, lequel contient la tliéorie des proportions, conçue généralement et comme applicable à l'Arithmétique et à la Musique aussi bien qu'à la Géométrie (-), est une invention dEudoxe.

Archimède (Préface Sur la sphère et le cylindre^ lui attribue expressément la mesure de la pyramide et du cône, c'est-à-dire, en somme, ce que le Livre XII contient de véritablement capital. Il nous dit ailleurs (Préface de la Ouadrature de la parabole) que les deux théorèmes sur ces mesures, ainsi que ceux qui concernent la proportionnalité des aires de deux cercles aux carrés de leurs ravons et des volumes de deux sphères aux cubes de leurs rayons, ont été démontrés à l'aide d'un lemme semblable à celui dont il se sert lui-même (^).

Or ce lemme se retrouve, sous une forme différente il est vrai, mais qui ne l'altère pas, dans la déf. 4 du Livre V d'Euclide, c'està-dire celui dont le fond est attribué à Eudoxe par le sclioliaste anonyme (''). Quoique le théorème sur la proportionnalité des aires de deux cercles fût déjà connu d'Hippocrate, on peut donc considérer Eudoxe comme le véritable auteur du principe qui, pendant toute l'antiquité, a tenu le rôle que joue aujourd'hui le principe des limites; car, s'il ne l'a peut-être pas formulé le premier, il a su, avant tout autre, montrer la fécondité de ses applications; il a été ainsi le véritable précurseur d'Archimède pour les quadratures et les cubatures.

(•) IvsociiE, Untersucllungen iiber die neu aufgefundenen Scholien des Proklus zu Euclid's Elementen, Herford, i865.

(=) C'est sans doute par là qu'il faut expliquer l'expression de théorèmes généraux (xa66).0'j) attribués à lîudoxe dans le résumé de Proclus.

(') Sous une forme un peu modernisée: « Si deux quantités (lignes, surfaces ou volumes) sont inégales, leur diderence, ajoutée à elle-même un nombre de fois suffisant, finira par dépasser toute quantité donnée de même ordre. »

(*) Il va sans dire qu'Euclide se sert de cette définition pour la démonstration des théorème? dont il s'agit.

ij. Le |jicrii'u'r [('-inoignage i|iic ikmis aNons cité exige |)eiil-èlre certaines explications.

La dillerencc la plus saillante que préscnle la Géométrie plane d'Euclide (ses six premiers Livres) avec les Traités élémentaires modernes consiste en te cpie les (irecs introduisaient aussi tard que possible la notion de similitude. En fait, elle n'apparaît qu'au Livre \I; les triangles, les jjarallélogrammes, le cercle, les polygones réguliers ont déjà été étudiés dans toutes leurs p,ropriétés essentielles; il ne s'agit plus que de traiter à part ce qui concerne les figures semblables, sans se servir d'aucune de leurs propriétés pour démontrer des théorèmes dont l'énoncé ne les suppose pas.

Euclide emploie d'ailleurs, dès son premier Livre, pour ses constructions et pour ses démonstrations, un artifice spécial qui supplée souvent pour lui la théorie de la similitude. Si, par un point quelconque d'une diagonale dun parallélogramme, on mène des parallèles aux côtés, on divisera le parallélogramme en quatre autres, deux péridiainélraax (traversés par la diagonale) semblables entre eux, et deux /)rt/-(7/;/e/-d/;?e5 (compléments) équivalents entre eux, et dont les côtés sont par conséquent réciproques. Cette équivalence se démontre directement de la façon la plus simple, et Euclide a dès lors le moven, par exemple, de construire, sans enqoloyer le mot, une quatrième proportionnelle, comme second côté d'un paraplérônic dont le premier côlé est connu avec le paraplérôme correspondant. Il suffit d'achever la figure parallélogrammique.

Or il est difficile de croire que cette singularité historique corresponde réellement à la marche du développement de la Géométrie, (^ommeje l'ai déjà remarqué, le principe de similitude est supposé par les arts du dessin, dès leurs premières tentatives; sa connaissance est bien constatée chez les Egyptiens et l'on peut d'autant moins refuser à Pythagore d'en avoir eu pleine conscience, ([ue la tradition la plus constante lui attribue l'emploi de la proportion géométrique. On est donc amené à penser que la Géométrie de Pythagore ne procédait nullement comme celle d'Euclide, qu'elle suivait plutôt une niaiche bien plus voisine de celle de nos Traités élémentaires.

Mais, à l'origine, on fondait la corrélation entre la Géométrie et l'Arithmétique sur la proportion géométrique dans l'hypothèse de T. ,3