III. 1° Ojpavi-'pas'V,. — Description du ciel

a" rîwYpaç'r;. — 11 est à remarquer que Démocrite, fidèle en cela à la tradition ionienne, représentait encore la Terre comme plate.

3° riiASYpaçtY]. — Le polos était le cadran solaire emprunté aux Babyloniens, et qui avait l.a forme d'un hémisphère creux avec l'extrémité du st\le au centre.

4° 'A-/.T'.voYpa5'>r;. — Peut-être l'Ouvrage de perspective dont parle Vitruve et que Démocrite aurait écrit après celui d'Anaxa-

3. Si l'ordre des Ouvrages est attribuable à Thrasylle, la succession de ceux, I, 'i, 3, 4 n'en est pas moins notable comme correspondant exactement au cadre des Eléments d'Euclide; on voit d'ailleurs que Démocrite avait peut-être devancé Théétète en traitant des irrationnelles.

Quant à l'Ouvrage I, i, il me paraît se rajDporter à une polémique dirigée contre Protagoras [voir Aristote, Mélaph., II, 2), qui soutenait que le contact d'un cercle matériel et d'une règle se faisait sur plus d'un point.

D'après un fragment conservé par Plutarque (Adv. Stoic. de commun, notit., p. 10^9), Démocrite se serait occupé d'une question du même ordre en discutant si deux sections d'un cône par deux plans parallèles à la base et infiniment voisins devaient être considérées comme égales ou inégales. Malheureusement Plutarque ne donne pas la solution de cette difficulté.

Pour se rendre compte exactement de la position de Démocrite au sujet de ces questions, il convient de se rappeler qu'il y était naturellement amené par sa théorie des atomes.

Cette théorie a en réalité son origine dans les docuines des Py-

thugoricicns, avec lesquels Déiiiocrile a eu des rappoiis inconlestables qui, d'ailleurs, n'enlèvent rien à sa profonde originalité. Les opinions physiques des j)reinicrs Pythagoriciens étaient en (ait beaucoup plus grossières que leurs connaissances mathénialirpies ne devraient le faire supposer; ils considéraient l'univers comme constitué d'un côté par nn fluide continu et infini, qu'ils ne distinguaient pas de l'espace; de l'autre, par des points matériels qui formaient la substance des corps. Le point était pour eux « une unité douée de position » et les corps étaient donc des nombres, en tant (pi'assemblages de quotités finies de j)oints (').

Ils ne distinguaient pas d'ailleurs ce point matériel du point gé'ométri(pie; l'un et l'autre était reconnu comme indivisible (aTcy.iv) et, en même temps, la divisibilité indéfinie des grandeurs était admise sans réserves. Cette conception insoutenable fut attaquée par Parménide et par Zenon, dont les célèbres paradoxes doivent uniquement (-) être considérés comme battant en brèche la fausse thèse qu'une ligne est une somme de points, une surface une somme de lignes, un solide une somme de surfaces, etc.

Les Pythagoriciens pouvaient d'autant moins se défendre que la découverte des quantités incommensurables (non encore publique du reste au temps de Zenon) devait leur faire sentir la grossièreté de l'erreur; ils durent donc transformer leur doctrine physique et soit lui donner, comme Philolaos, un sens purement idéaliste, soit attribuer aux atomes des dimensions très petites, mais finies; si d'ailleurs cette thèse fut surtout développée en dehors de l'Ecole, par Leucippe, puis par Démocrite, elle fut reprise plus tard dans son sein même, par Ecphante, par exemple (■').

(') Ce n'est qu'à parlir de Pliilolaos que la formule du Maître « Les choses sont nombres » reçoit une explication idéaliste, toute différente. C'est aussi de la même époque que doivent dater les assimilations de la dyade à la ligne, de la triade à la surface, de la tétrade au solide.

{') Voir mon article : Zenon d'Élée et M. Georges Cantor, dans la Revue philosophique de 1884.

(^) Il convient également de remarquer que la même thèse au fond est celle de Platon dans le Tiniée, avec la différence que ses atomes sont présentés comme des surfaces matérielles; son disciple Xénocrale admet au contraire des atomes qu'il représente comme des lignes. Aristote les a accusés à tort de paradoxes géométriques; les lignes de Xénocrate comme les surfaces de Platon ne doivent être conçues que comme des solides indivisibles sous des formes particulières.

— ir, -

Il n'en rt-siilie pas moins (|ue Démocrite devait considérer ses atomes comme de véritables solides géométriques et repousser neUcmcnl, en ce qui les concernait, l'opinion de Protag^oras. Nous sommes moins édifiés pour ce qui concerne le fragment de Plutarque, mais nous n'avons aucune raison de supposer que le philosophe d'Abdère se soit prononcé contre les saines doctrines géométriques.

A partir de Zenon d'Elée, en effet, l'antique erreur pythagoricienne ne reparaît guère que dans la prétendue quadrature du cercle d'Antiplion, et encore sous une forme toute spéciale (').

4. Nous arrivons désormais, en suivant également la liste de Proclus et l'ordre chronologique, au dernier géomètre qui, malgré ses rapports avec Platon, doive être encore regardé comme étranger à l'Académie.

On sait qu'Archytas était pythagoricien et en même temps un homme d'Etat considérable à Tarente, sa patrie ; il fut élu sept fois stratège annuel et commanda en cette qualité les troupes de la confédération formée par les villes de la Grande-Grèce. Toutefois on connaît mal les dates de sa vie; il semble que Platon soit entré en relations avec lui lors de son voyage en Italie, qui doit être placé vers Sgo av. J.-C. Eudoxe doit de même avoir été son disciple avant 384, mais Archytas vivait encore vers 36 1 lors du troisième voyage de Platon en Sicile; il ne semble donc pas avoir été sensiblement plus âgé que ce dernier (429-347)'

A cette époque le pythagorisme n'était plus une école fermée, conservant précieusement la tradition du Maître; ses adeptes professaient en fait des opinions personnelles très diverses et les publiaient librement. Archytas paraît avoir beaucoup écrit et nous possédons de longs fragments qui lui sont attribués. Mais, ou bien ils sont tirés de Traités surtout moraux (-) et n'intéressent guère l'Histoire des Sciences, ou bien ils sont apocryphes comme ceux

( ' ) Le Ti'ailé pseuclo-aristolélique rispl àTÔ[j.(jjv Ypa(j.|j.â)v, Sur les lignes indivisibles, ne peut être regardé que comme un exercice d'école, n'ayant nullement trait à une polémique sérieuse.

(') Le fragment Ilcpl [j.aOr|j;.âTrov (Stoiiée, Flor., 43) se trouve lui-même dans ce cas.

(pii font de lui l'inventeur des dix caLéi;ories d'Aristote ou qui lui font développer des idées appartenant à IMaton ( ' ).

Le début du Traité llzpl MaOr/.xaT'.y.r^ç, inséré par Porphyre dans son commentaire sur les Ilarmonirjues de Ptolémée, et déjà cité par Nicomaque, est plus authentique. Mais ce Traité paraît avoir été exclusivement consacré à la musique (Nicomaque l'appelle d'ailleurs to ap[ji.cv'./.dv) et nous pouvons ici le laisser de côté.

En fait nous ne connaissons, comme travail proprement mathématique d'Archvtas, que sa singulière solution du problème des moyennes proportionnelles, telle qu'elle est rapportée, (ï après Eudèine, [)ar Eutocius sur Archiniède [Sphère et Cylindre, 11, 2).

Il employait l'intersection du cylindre

x^-\- y- = ax,

du tore

enfin du conc

On peut en ellet tirer de ces équations

\/x--\-y'^ = \Uib-, et \/x- -^y--^ z- = '^a'-b.

J'ai déjà dit que je ne pouvais considérer cette solution que comme purement théorique ; mais historiquement elle nous montre les géomètres de ce temps déjà suffisamment familiarisés avec les corps ronds et les solides de révolution, ayant, d'autre part, assez nettement le concept du lieu géométrique, sans lequel il est clair qu'Archvtas n'aurait pu combiner ses constructions.

o. Si divers témoignages anciens concordent pour attribuer à la solution d'Arch3^tas un caractère mécanique, c'est-à-dire pratique, ces témoignages proviennent d'auteurs comme Diogène Laërce ou Plutarque, très postérieurs et absolument incompétents.

(') Ainsi le fragment èx toO izzol voO xai aîcôricrswç (Stob., Ed., I), offre de singuliers rapports avec la fin du Livi-e VI de la République. C'est ce fragment que cite Jamblique (Villoison, Aneccl. Grœc, II, p. 189) sous la mention âv xr,

Tr,ç yvwpiTTiy.r,; Ypa|j.ii.r,; -o\s.'r,.

Le rc'-cit de IMiilarque dans sa J'/'c de Marcel/us est d'ailleurs inlinif'niciU li(" à la lé{;<Mido qui se Tonna, d'après les écrits de Platon, pour attribuer au pliilosophe le rôle d'avoir assuré, d'une façon décisive, le caractère purement abstrait des Matliéinatiqucs; je ne m'y arrête donc que pour relever une assertion du polygraplie.

D'après lui, Arcliytas et Eudoxc auraient été en réalité les précurseurs d'Archimède en Mécanique, et la Science de leur temps aurait eu un caractère essentiellement pratique. Or ceci est absolument contredit par tout ce que nous savons de la Géométrie ancienne, qui nous apparaît comme entièrement abstraite, à dater de Pythagore, et de la Mécanique ancienne, dont l'état avant Archimède nous est suffisamment indiqué par les Problèmes attribués à Aristote.

Pour ce qui concerne Eudoxe eu particulier, l'assertion de PIutarque est également contradictoire avec ce que nous savons de luij le Cnidien était un sophiste dans le vrai sens du mot, c'està-dire un homme universel pouvant professer sur tous les sujets, sur la Morale comme sur la Médecine ; sur la Géométrie comme sur la Théologie; mais avant tout, pour nous, quelle que soit l'importance de ses travaux géométriques, c'est un astronome; c'est le premier qui ait proposé un système mathématique du monde, et c'est à lui qu'il faut faire remonter la presque totalité des théories contenues dans la Petite Astronomie des Grecs, c'est-à-dire la collection des écrits classiques antérieurs à Ptolémée. Comme Mécanique, au contraire, nous n'avons aucun indice tendant à prouver qu'il s'en soit occupé.

Pour Archytas, il est vrai que Vitruve paraît corroborer le témoignage de Plutarque; il donne en effet le Tarentin (éd. Rose, p. 10 et i6o) comme un auteur ayant traité des machines avant Archimède (' j. Mais ici il parait y avoir eu une confusion de nom.

(M Archimède en réalité, d'après Carpos dans Pappus, n'avait composé qu'un traité mécanique spécial : Sur la sphéropée. II est d'ailleurs hors de doute que si les machines de guerre de son invention ont été, dans l'antiquité, un des motifs principaux de sa réputation, ce n'était nullement un sujet neuf; des machines de rc genre existaient longtemps avant lui, et des ingénieurs d'Alexandre le Grand en avaient déjà traité.

Diogènc Laërce (^ III, 82) nous dit en ellcl qu'il y a eu cinq Archylas, dont l'un, architccle, avait composé un I^ivrc Sur les machines, et était l'élève d'un Teucer de (]arlliai;('. C'est sans dout(! à ce personnage que se rapportent en fait les données de V itruve, et Plutarque peut avoir été sous l'influence de la même confusion. On ignore quand pouvait vivre ce second Archvtas, mais son existence suffit pour dénier au premier tout travail ou invention d'ordre mécanique, par exemple la colombe volante en bois dont parlait Favorinus, d'après Aulu-Gelle (X, 22). Tout au plus pourrait-on lui laisser la 7:Ky.~x^'j^ dont parle Aristotc, c'est-à-dire un jouet d'enfant (crécelle ou castagnette?) ('), si l'on ne voulait pas faire remonter aussi haut le disciple de Teucer.

6. Un ArcJiytas nous apparaît encore, dans VArs Geometriœ attribué à Boèce, comme un géomètre célèbre : 1° ayant traité de Vabacus inventé par Pythagore (éd. Friedlein, p. 393-420); 2" auteur d'une règle pour la formation des triangles rectangles en nombres (-) (p. 4^8); 3" ayant démontré, après Euclide, que le diamètre du cercle inscrit dans un triangle rectangle est égal à l'excès sur l'hypoléiiuse de la somme des deux côtés de l'angle droit (p. 412); 4" ayant donné une règle spéciale pour le calcul du triangle obtusangle (■').

Que VArs Geometriœ soit l'œuvre d'un faussaire très postérieur à Boèce, c'est là un point qui, malgré l'opinion de M. Canlor, ne me paraît plus à discuter ('*) ; que, malgré l'anachronisme indiqué plus haut, ce faussaire ait voulu désigner sous le nom à^Archytas le célèbre pythagoricien, cela me paraît également désormais hors de conteste; il n'en ressort pas moins que les trois données fournies sur son compte n'ont pas été inventées de toute pièce; il devait donc circuler vers le ix* ou le x" siècle de l'ère

(') Diogenianus (III, 98) l'allribue formellement à ringénieur : 6 'Ap-/'jTa;

tÉxtwv.

(^) (aa)=+ (a^ — i)= = (a=-h i)' : c'est la règle que Héron et Proclus attribuent

à Platon.

(') La règle, faussée, est devenue incompréhensible.

(*) Voir Wrissenborn, Die Boetius-f rage {Abhnndlungen ziirGesch. der Math., II, p. 18,') a^o: 1879).

chrétienne, un Traité géométrique (ou d'arpentage?) écrit en laliu et présenté comme traduit du grec du vieil Arclivlas.

Ij'existence d'écrits apocryphes d'Archvtas, sur d'autres sujets, acceptés pourtant comme authentiques au v*' ou au vi*^ siècle après J.-C, peut bien nous porter à croire qu'en efl'et les auteurs de ces écrits y auront joint, pour épuiser le cercle parcouru par Archytas, un traité géométrique qui ne devait pas leur coûter davantage à composer.

Si Vabacus du moyen âge est bien, comme il semble, une invention connue au moins des Romains de l'Empire, il n'v aurait rien d'étonnant à ce que le pseudo-Boèce ait trouvé cette invention décrite dans ce traité du pseudo-Archytas; mais, même en adoptant cette conjecture, on n'en pourrait tirer aucune conclusion relativement à l'origine, soit, des apices dits de Boèce, soit de nos chiffres modernes. Malgré la liaison historique entre ces chiffres et Vabacus, il y a là en effet deux questions essentiellement distinctes ; tout semble prouver en effet que les apices de Boèce dérivent des chiffres arabes occidentaux, tandis que si Vabacus a été connu des Arabes, c'est qu'ils l'ont emprunté aux Latins.