CHAPITRE XI

La technologie des éléments d'Euclide.

1. Après avoir délînl le sens des termes éUmcnts et élémentaire, Proclus intercale dans son Prologue un éloge de l'œuvre d'Euclide. Ce morceau me paraît également empruntée Geminus; je remarque notamment que l'on y parle de divers Traités élémentaires faisant concurrence à celui d'Euclide, tandis qu'au temps de Proclus tous ces Traités, dont nous n'avons aucune trace, avaient, sans aucun doute, déjà disparu. Au reste, voici la traduction de ce fragment.

Proclus (p. 7.3,15-75,3).

({ Il est difficile, dans chaque Science, de choisir et de disposer dans l'ordre convenable les éléments, d'où procède et où se ramène loul le reste. De ceux qui s'y sont essayés, les uns ont grossi leur Recueil, les autres Font diminué; les uns ont employé des démonstrations abrégées, les autres ont indéfiniment allongé leur exposition \ les uns ont évité la réduction à l'impossible, ceux-ci les proportions {^\ ceux-là ont imaginé des développements préliminaires contre ceux qui rejettent les principes; en un mot, les divers auteurs à^ Éléments ont inventé nombre de systèmes différents.

» Dans un pareil Traité, il faut éviter tout superflu, — c'est un embarras pour l'étudiant; — réunir tout ce qui se tient ensemble et embrasse le sujet, chose essentielle pour la Science; — viser principalement et en même temps à la clarté et à la concision, car leurs contraires troublent l'intelligence; — chercher à donner aux théorèmes la forme la plus générale, — carie détail de l'enseignement en cas particuliers ne fait que rendre la connaissance plus difficile à acquérir.

(•) Le sens est douteux; j'ai admis qu"àva/.oy:a élail employé avec sa signification technique.

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)) A lous ces |)()iiils ili- \ tic. on Iroiivcra ([iic Icl'iaité ch'incnlaiic crKiiilidc IV-niporlo sur loiiL aiilrc; si Ton en considère l'nliliU'-, il al)oulil à la ihéorie des figures jirimordiales ('); la clarLé et l'enchaînement régulier sont assurés par la marche du plus simple au plus composé et par le fondement de la théorie sur les notions communes (-), la généralité des démonstrations par le choix du point de départ pour les questions à traiter, dans les théorèmes qui donnent les premiers j)rincipes. Quanta ce qu'il semble avoir omis, ou bien il s'agit de choses faciles à connaître par les mêmes movens, comme la construction du triangle scalène ou isoscèle (•*), ou bien de choses étrangères à un recueil d'Eléments, parce qu'elles y introduiraient une complication infinie; telles sont les irrationnelles non classées qu'Apollonius a longuement étudiées ('). Ou bien encore il s'agit de conséauences des causes exposées : aifisi les diverses espèces des angles (^) et des lignes; pour toutes ces questions qu'Euclide a laissées de côté et que d'autres ont traitées avec ampleur, la connaissance dérive des simples éléments. »

2. Après ce morceau, Proclus consacre la fin de son Prologue {^) à marquer comment la Géométrie a d'abord à exposer des principes, sans avoir à en rendre raison, pas plus que toute autre Science particulière, puis à développer les conséquences avec les démonstrations convenables.

(') àp-/ty.à)v (j/f,]}.i-.(,rr, Proclus entend par là très probablement les figures des polyèdres réguliers, attribuées par Platon aux particules des éléments ou principes reconnus par les anciens.

(") Pour axiomes, qui est le terme préféré par Proclus.

(^) Allusion au Commentaire sur la construction du triangle équilatéral, I, i d'Euclidc.

(*) Sur cette suite au X" Livre d'Euclide, il reste quelques indications dans un manuscrit arabe analysé par Woepcke {Mémoires présentés à l'Académie des Sciences, XIV, p. 658-720). Ce manuscrit contient la traduction de Commentaires écrits sur le Livre X par Vcttius Valens, suivant la conjecture de Woepcke; par Pappus, suivant celle, plus probable, de Heiberg.

(■) Les anciens considéraient les angles formés par des lignes courbes; en réalité, c'est donc au fond de la théorie des tangentes qu'il s'agit ici, en même temps que de celle des courbes.

(') Je fais abstraction des dernières pages, où il définit le but du Livre I et en indique les grandes divisions.

— \il —

Il (Iislinj;iie I(îs jirincij)C.s en Irois sortes (riiprès la nonieneliiltire eL les (IclMiilions d'Aristole [Analyl. posl., I, Tjo), cl sur ce [)oi!il s'écarLc évideinmenL de Gcmimis.

Il a d'adieiii's soin de marquer ([ue les stoïciens appellent en général liypollièscs les princi|)cs de la Science, et (pTils donnent sini|)lenicnt an mot axiome le sens i;cnéral d'affirmation.

Mais en reprenant la tradition d'Aristote, Proclus ne la comprend plus guère. Ainsi, pour retrouver dans EucJide les distinctions du Stagirile en hypothèses, axiomes et postulats, il commence par confondre les définitions avec les hypothèses, quoique Aristotc ait bien soin de faire une différence ('). En adoptant la distinction péripatéticienne entre l'axiome et le postulat suivant le degré d'évidence, Proclus ne s'écarte pas moins de la terminologie d'Euclide. On voit assez combien son guide ordinaire lui fait défaut.

Heureusement, il le retrouve en arrivant à la distinction de la double forme des propositions en théorèmes et en problèmes. J'ai déjà rapporté la discussion entre Speusippe et Ménechme qui ne reconnaissaient : le premier que des théorèmes, le second que des problèmes.

11 convient de remarquer qu'une des raisons de cette discussion était que les géomètres n'avaient plus (-) de terme général pour désigner la proposition, soit théorème, soit problème. Le mot ■ÂipiTaj'.ç, auquel correspond celui de proposition, signifiait exclusivement l'énoncé, et c'est par abus qu'il s'est étendu plus loin. Au reste, dans les manuscrits géométiiques grecs les plus anciens, les propositions sont simplement numérotées, et les inscriptions de 7:p2-:a7'.ç, OE(op-^[;.a ou 7:pô5).-r;;xa, quand elles existent, sont ré-

(') Ce que dit Aristotc de rhypolhèse doit s'entendre principalement des postulats propres aux applications de la Géométrie, accessoirement des hypothèses faites pour les démonstrations de la Géométrie pure, au même sens où nous l'entendons actuellement. Celte double signification a subsisté pendant toute l'antiquité, comme elle subsiste encoi'e actuellement.

(=) Les pythagoriciens avaient employé le mot cr-/r|[j.a, dont le sens s'était dés lors restreint à celui de figure. C'est notamment ce mot qui se trouve dans le dicton de l'école, rapporté par ProcluS' (8'|, 17-17) : o'y.âij.a xal p5[ia, à),/.' o-jG/ôi[i.a. xal xptc6go)iOV, et qui signifierait, d'après lui : « Un théorème et un pas en avant (un progrès dans la Science), non pas un théorème cl le triDlmle (l'argent nécessaire à la vie journi^lière). »

- ii:i -

ct'iilcs el 11 a[)|Kirlii'iui('nl corlaincniciil pas au Icvlo prmiilil [* ). Comme Eucllclo n'a d ailleurs pas rhabiliidc do reiivovcr à une proposition précédenle, comme, au contraire, pour s'ajipuyer sur ce qui est déjà connu, il en répète l'énoncé, on dirait iju'il ignore les mots de 0£(ijpY;;/a et de 7:p6oKr,'^.x, ou cju'il n'a [)as voulu trancher une dis])ule de mois cpu ])eut-èlre durait encore. Alais, comme l'indique Proclus, il marquait expressément la différence des deux sortes de jiropositions par la différence des formules linales, or.zp ïot: cîX^x: (ce qu'il l'allait démontrer), ou z-tp ïzt: r.y.r^zT. (ce (ju'il fallait faire).

3. Geminus (Proclus, p. -(j, 2-81, 4) reconnaît d'ailleurs le tliéorème comme jilus j^énéral, en ce sens que la démonstration lui appartient en propre, et comme pouvant être indépendant de tout problème.

On distinguait le théorème et le problème en disant que, dans le second, l'attribut (ts y.aTriYspouixÉvov) donné à la matière n'était pas seul possible, mais encore son contraire: que, dans le premier, il se trouvait seul possible; c'était la manière de reconnaître un théorème déguisé sous forme de problème, ou un problème énoncé comme théorème.

Ainsi, proposer d'inscrire dans un demi-cercle lai angle droit n'est pas parler en géomètre, puisque tous les angles inscrits dans un demi-cercle sont droits; an contraire, inscrire dans un cercle un triangle équilatéral est bien un problème, puisqu'on v peut inscrire un triangle qui ne soit pas équilatéral, etc.

D'après Zénodote, qui appartenait à la succession d'OEnopide et aux disci[)les d'Andron, le théorème cherche quelle est la jiropriété (yZ-j\}.T.-<j)\}.'j.) qui s'énonce de la manière <;n question, le problème cherche à (piclle chose appartient telle j)ropriété.

D'oiJ, d'a[)rès Posidonius, on a délini le problème une pro[)osition (-) où l'on cherche oui ou non, le théorème une proposition

(') Celles d'opot (cléfiniLioiis), aîxrijAata (postulais), xoival à'/votai (iiolions communes, axiomes) peuvent également laisser prise à quelques doutes. Mais Euclidc n'aurait cerlaincinent renié aucune des deux premières; la troisième, au contraire (voir Bulletin des Sciences mat lié ma tiques, l. \III, mai iS.S'j), est une f(jrmulc de l'époque où dominent les stoïciens.

(-) Le terme de TcoÔTaaiç reçoit déjà son extension abusive. Le texte intervertit les lieux d<;fiiiitions; il faul supprimer 7i(;oS),r|(j.a inlrodiiil à tori, p. So, I. 12. T. uj