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où l'on clierclic ce (|u'esloii conimcnlesl crci ; la proposition lliéorétiquc n'en doil pas moins se formuler en affirmalion, la problématique comme en cherchant; ex : S'il est possible de construire un triangle sur telle droite; car il y a dillérence entre chercher simplement et sans détermination s'il y a une perpendiculaire à partir de tel point sur telle droite, ou contempler ce (jucst la perl^endiculairc.

L'oriqinc cpic j'attribue à ce passage de Proclus n'est pas seulement Indlqui'-e par les citations ([u'il renferme : elle est confirmée par le rapprochement avec le fragment de Carpos inséré dans le Commentaire suri, 4, fragment où l'opinion de Geminus était contredite.

Fragment de Carpos d'Antioche {Proclus, p. a'iijig-a'iS,!!)-

<( Carpos le mécanicien, dans son Traité astrologique, a soulevé la question des problèmes et théorèmes; je n'examinerai pas maintenant s'il le faisait ou non à propos : en tout cas, abordant leur distinction, il dit que le genre des problèmes précède dans l'ordre celui des théorèmes, car c'est par les premiers que l'on trouve les sujets auxquels se rapportentles propriétés à étudier. L'énoncé du problème est simple et n'a pas besoin d'une intelligence exercée; il y est clairement demandé de faire telle ou telle chose : construire un triangle équilatéral {Eucl., I, i) ou bien, étant données deux droites, retrancher de la plus grande une égale à la moindre (I, 3) ; là, rien d'obscur, aucun besoin d'une attention minutieuse. L'énoncé du théorème est au contraire pénible, il réclame une grande exactitude et une critique savante, pour n'être ni trop étendu, ni insuffisant par rapport à la vérité, et on peut le voir môme sur ce premier de tous les théorèmes (' ).

)> D'autre part, pour les problèmes, il y a un procédé général, celui de l'analyse, grâce auquel on peut obtenir la solution et aborder les questions les plus obscures: pour les théorèmes, au contraire, il est difficile de reconnaître la façon de s'}^ prendre, et jusqu'à nous, dit-il, personne n'a pu donner une méthode générale

(') Eucl., I, \ : l'igalitc de deux Irianglos avant un aiii;!c égal compris entre deux cùiés égaux.

- liT —

jioiir Iciii- iiivoiilion ; ;tiiisi, ( oiimic lacililr, le i;(Mirc des prohièines est plus simple. Après ces (listiiutit)iis, il ajoute :

» C'est la raison [)Our laquelle, dans les Eléments, les jiroblèmes précèdent les ihéorèmes ; c'est par eux que débutent les Elêincnls, et le premier théorème n'est placé qu'au quatrième rang; ce n'est pas parce que les problèmes servent à la démonstration du suivant, mais parce que, même quand il n'y a besoin d'aucune proposition |)récédenle, le théorème doit céder le pas aux j>r()blèmes, ])arce qu'ils sont problèmes. En fait, pour ce premier théorème, il se sert exclusivement des notions communes, et prend en quelque sorte le même triangle dans difTérentes situations; la coïncidence et l'égalité complète qu'elle sert à démontrer dépe"ndent donc d'une conception sensible et immédiatement claix^e. Cependant le premier théorème, même avec une pareille démonstration, est justement relégué après les problèmes. Ainsi on peut dire qu'en général ceux-ci ont le premier rang. »

En essayant de réfuter l'opinion de Carpos et de montrer f|u'il n'a pas compris la véritable raison de l'ordre d'Euclide, Proclus ajoute : « Il est donc frivole d'attaquer Geminus comme ayant dit que le théorème est plus parfait que le problème; car si c'est d'après l'ordre que Carpos donne la prééminence aux problèmes, c'est d'après le degré de perfection que Geminus l'accorde aux théorèmes (' ). »

4. Il me semble enlin que c'est également à Geminus que Proclus a emprunté la technologie des diverses parties de la proposition, technologie qu'il a insérée dans le Commentaire sur I, i . A la vérité, il devait sans doute la trouver, par exemple dans le Commentaire de Porphyre-Pappus, mais Geminus ne l'avait certainement pas omise, et d'ailleurs, dans Proclus, elle suit une allusion à la distinction des trois lignes lioinéoinères (-) (p. 2oi,;>. i-2oa, i),

(■•) Il esl dinicile tic reconnaître si ce passage est suffisant pour considcrcr Carpos comme postérieur à Geminus, cl comme l'ayant pris à partie; peut-être Proclus visait-il un Commentaire comme celui de Pappus, où l'opinion de Carpos aurait clé rapportée et opposée à celle de Geminus. Mais celle conjecture me paraît moins probable.

(') La tiroilc, la circonlcrciice cl l'hciicc. Voir Phoclus, |). 112.

- lis —

tlicoric favorilc ilii sloïcien, cl une cilalion cNprcssf; de ce dernier ( ').

En loul cas, celle lccljnoloj;io doil renionler au temps d'J'^nclidc ]iii-mênie; car il ensuit les divisions avec une telle régularité qu'on doit supposer que c'était dès lors une tradition consacrée par un long usage ; les ternies eniplovés plus l;ud pour ({('signer les diverses parties de la proposition devaient doue èlrc déjà adoptés.

La connaissance de cette lecliiiologie est indispensable pour l'étude de la Géométrie grecque, car c est d'après la (idélilé avec laquelle les règles en sont observées que l'on distingue iinuK-dialemenl ce qui est classique et ce qui ne l'est pas.

Les anciens distinguaient dans un problème ou théorème en général six parties : la protase, rectlièse, la condition (o'.op'.7;j,6ç), la construelion, la démonstration et la conclusion. De ces six parties, la première et les deux dernières sont seules essentielles, les trois autres peuvent maii(]uer accidentellement.

hn protase est l'énoncé; ex., L i : Sa/- une droite limitée don/fée construire un triangle équilatéral. Cet énoncé est toujours conçu en termes généraux et sans aucune référence à une ligure déjà tracée.

Mais toujours les théorèmes, et aussi le plus souvent les problèmes, ont un énoncé qui contient des données; les géomètres répétaient donc l'énoncé en déterminant d'abord les données sur la figure et en marquant ensuite ce qu'il fallait démontrer ou trouver. Ex., I, i : Soit i\\^ la droite donnée limitée. — Il faut, sur celle droite AB, construire un triangle écjuilatéral.

Cette répétition de l'énoncé n'est omise que quand il n'y a pas de données à déterminer, par exemple pour les problèmes : Construire un triangle isoscèle dont les angles à la base soient doubles de Vdngle ait sommet (\\ , lo). — Trouver deux droites commensurables en puissance seulement et dont le rectangle soit un moyen [=riine racine quatrième] (X, 29). Dans ce caslà, il n'v a, en effet, qu'à passer à la construction.

Or, l'roclus distingue dans cette x'épétition deux parties : la [)rcmièrc, ([ui expose quelles sont les données et qu'il appelle

(') Voir lo premier fraiiiiicnt dAmpliinomc, que j'yi iléjii lapporlt^ (p. i38).

ccl/icse; la sccondo, celle (|iii énonce ce ([iiil s'aqil de (h-nionlrer ou de (aiie, cl (ju il appelle o'.cp'.7[;.dc.

La dislinclion de ces deux j)ai'Lies csL bien marquée dans l'exemple donné; Euclide commence d'ailleurs régulièremenl la seconde par ov. 3t] (il faut, à savoir . . .) pour les problèmes; par Xiyiù ôt'. (je dis que . . .) pour les ihéorèmes.

Mais Proclus, ou plutôt son guide, paraît ici avoir abusivement employé, pour désigner la conclusion de l'ectlièse, un terme qui devait s'appliquer à toule autre chose. Au moins, dans le langage de Pappus, le c'.op'.z[).i: est exelusivenient l'énoncé de la condition nécessaire pour qu'un jiroblèmc soit possible. Ce o'.opic[;,6ç, dont on regardait le |)latonicicn Léon comme l'inventeur, devait, dans tous les cas où il y avait lieu de le considérer, suivre immédiatement \a protase. Ex., 1^ 22 : (Protase) Avec irais droites, respectivement égales à trois droites données, former un triangle. — (Condition ou c'.op'.7[x6ç) // faut que la somme de deux quelconques de ces droites données soit supérieure à la troisième. Naturellement, dans Vecthèse qui suit, on marque que la condition est satisfaite par les données (').

Après la répétition de l'énoncé, \'ient régulièrement la construction {y.x-.XT/.tÙTf) qui achève l'explication de la figure, commencée dans Vecthèse, et indique le tracé des diverses lignes nécessaires pour la solution du problème ou la démonstration du théorème. Cette partie peut manquer, lorsque la figure est déjà complètement décrite dans Vecthèse.

La construction peut offrir différents cas, lorsque les déterminations des données par l'ectlièse sont susceptibles de certaines variations. Tantôt les géomètres anciens traitaient explicitement ces cas, lorsqu'ils donnent lieu ti des démonstrations différentes; tantôt ils se contentaient de tracer les différentes figures auxquelles s'appliquaient la même construction et la môme démonstration.

Sur la démonstration proprement dite, Proclus fait une distinction entre le cas où elle est faite d'après la cause môme (nous disons quand nous apercevons la véritable raison de la chose) et le cas où elle s'appuie sur ce qu'il appelle Tsy.'rrjp'.a, c'est-à-dire des

(') L'énoncé du S'.optaiJ.ô? cuninicncc par 6ît ôv) de même que la conclusion de l'ecLliésc dans les problèmes; colle ressemblance grammalicale a pu élre l'origine de la déuominalion abusive adopléc par Geminus.

preuves plus ou moins iiidirccles (' j. Il cile eonime exemple du second Ja démonsLral ion de l'éi;alilé à deux droils Je la somme des angles d'un triangle, où Ton a recours à la considération (riiii angle extérieur.

La conclusion ( sjy.-îpx-y.a ) consistait, après l'aclièvement complet de la démonstration, à répéter l'énoncé en y ajoutant donc (à'paV Pour les théorèmes, la répétition j)orte sur la yj'/'o/ft.çe qui r(^paraît intégralement, si longue qu'elle soit, après quoi vient la loiniule consacrée : ce rji/'i/ fallail démonlrer. Pour les problèmes, c'est VeclJièse qui (;st letournée. Ex. : ])our 1, i, après la (in de la démonstration, « donc les trois droites CA, AB, BC sont égales entre elles », vient la conclusion :

(( Donc le triangle ABC est équilatéral et il est construit sur la droite limitée donnée AB; ce qu'il fallait faire. )>

Atout le moins, c'est là l'usage d'Euclide; Procius indique que l'habitude s'était introduite de faire en outre une seconde répétition sur la protase.

Il est à peine utile de remarquer combien ces répétitions successives de la conclusion, de l'ecthèse et de la protase alourdissent la forme euclidienne. La «dernière est particulièrement fastidieuse, et elle a déjà disparu dans Archimède et Apollonius; elle ne se trouve même pas dans les textes d'Autolycus et d'Arislanpie de Samos, qui, à la vérité, ont pu être refondus lors de la rédaction de la collection du Petit astruiiomc. Mais, à part cette simplification, la forme euclidienne est restée absolument classique pendant toute l'antiquité.

5. Procius définit ensuite divers tenues techniques dont l'usage doit, en général, être considéré comme relativement récent, ou dont, au moins, nous ne sommes pas suffisamment autorisés à regarder les définitions comme empruntées à Geminus.

Il y a déjà, à la vérité, des leinincs dans les derniers J^ivres d'Euclide; mais l'inscription du mot dans les manuscrits ne nous est pas une garantie suffisante que l'auteur des Eléments les ait distingués comme tels; l'existence des lemmes est d'ailleurs, par

(') CeLLc disLincliuii currcspoiid à luic ronmilc arislolcliiiuc, mais dcliuirncc de son vrai sens, car clic s'applique proprenicuL à la rhélori(iuc. Hicii irciii|)èclic d'attribuer à Gcininus ce que dit ici I^roclus; cf. p. <J'.i>>i cl oGJ,!.

elle-mèine. une inlVaclion à la règle d'après laquelle loulc proposition invoquée doit avoir été préalahlcment démontrée.

Dans le cours d'une démonstration, on a besoin d'une relation dont la vérité n'apparaît pas comme douteuse, mais dont la preuve romprait le iii que l'on suit; on aurait du l'établir auparavant, on la rejette plus loin « w; tzf,: OE'./Or^-eTa'. » (comme il sera démontré ensuite). Voilà, dans une imperfection de la méthode suivie, l'origine du lemme; comme forme, et en raison de sa destination particulière, il apparaîtra donc le plus souvent comme un théorème sans protase et sans conclusion (').

Plus tard, surtout sous la période gréco-romaine, c'est-à-dire après Geminus, alors que l'essor de la Géométrie fut arrêté et que l'on se mit, au lieu de pousser en avant, à étudier et à éplucher les écrits des grands mathématiciens de l'âge précédent, on s'occupa tout d'abord de rechercher les propositions invoquées expressément ou tacitement admises dans les démonstrations. Cette recherche était, d'ailleurs, d'autant plus utile qu'ils n'avaient pas eu riiabitude des renvois.

Naturellenient, on trouva nombre de propositions de la sorte qui restaient à démontrer, soit que l'es auteurs les eussent négligées comme trop faciles, soit qu'on ne retrouvât pas les écrits du temps où elles avaient été démontrées. On se mit donc à compléter les démonstrations anciennes et ces compléments, qui furent appelés lemmes (-), servirent de point de départ aux Commentaires postérieurs, comme ceux d'Eutocius. On sait aussi que Pappus a fait un Recueil des lemmes composés sur les traités d'Analyse et que ce prAieux Recueil forme le VU" Livre de sa Collection inathémaliqiie. Enfin, un certain nombre de pareils lemmes, la plupart inédits, subsistent encore au milieu des scolies marginaux sur les traités du PelU Astronome, ainsi que Ilultseh l'a fait remarquer ( ').

(') La queslion des lemmes dans Euclide ne peut, au reste, être traitée à fond avant l'aclièvement de l'édition critique entreprise par Ilciberg.

(^) Dans le fragment relatif à Ménechme (p. 73,4) Geminus parait entendre ),ri[j.[ji,a dans le sens général de proposition employée pour une démonstration, pour un synonyme de /.ajj.êav6|j,£vo7, tandis qu'ici Proclus spécifie que ce mot ne doit se dire que des propositions non démontrées d'avance.

(') Un certain nombre des lemmes qui figurent dans le texte aciucl d'iMuliih; ne doit pas avoir une origine plus ancienne. Ce qu'ajoute Proclus sur celte ([ucslion des lemmes (p. ■?aj.}?.-219.,\) semble bien montrer, d'une part, qu'il ne suit

— ir)2 —

Vprrs les Icinnics, Procliis c.ilc encore le Cds ( r.-îii':'.:), \v porisinn. VoJ)jcclion (zv7Ta7'.;) <^l Ja rvduciion {^y.r.y.'iikrr'r^^.

La sul)cli vision «l'un lliéorèmc on problème en plnsieurs cas csl étrangère à la tornie vraiment classiqne; les anciens géomètres préféraieni niulti{)lier les énoncés quand il le fallait, mais il leur arrivait de laire des omissions; les auteurs de lemmes ont donc eu aussi à ajouter des cas (pii, parfois, sont passés dans les textes eux-mêmes.

Li'objccLion est une forme particulière de lemme et correspond également à une imperfection de la démonstration. En général, ïobjection, qui donne son nom à la réfutation qui en est faite, tend à faire regarder la démonstration comme ne s'appliquant pas dans tous les cas ; il s'agit de prouver contre elle ([ue tel cas supposé ne peut avoir lieu, ou (|ue néanmoins la démonstration reste valable.

L'àTTayo^Y'/^, par laquelle on ramène une question à une autre qui ne sera traitée cpi'cnsuite, est plutôt une imperfection de la Science; en tout cas, quoique bien connue avant Euclide, ainsi que le montre l'histoire du problème de la duplication du cube, elle est aussi étrangère à la Géométrie classique que les deux formes précédentes.

Il en est autrement du porisme. « On appelle ainsi, dit Proclus (p. ■>.\i, 12-i'y), certains problèmes tels que les Porisines écrits par Euclide. On emploie également ce terme dans un sens particulier lorsque, de ce qui a été démontré, résulte un théorème qui n'a pas été proposé et qui apparaît donc comme un surcroît de bénéfice de la démonstration scientifique. »

Au sujet du premier porisme ('), sur I, i5, Proclus revient, en d'autres termes, sur la même distinction ; la seconde signification, qui correspond à celle de corollaire, ne souflre aucune difficulté, mais rem|)loi du mot poiisme dans ce sens par Euclide n'est pas plus assuré ([ue celui du mot lenime.

Il y a, dans le texte des Eléments, nombre do corollaires accolés à la éonclusion de diverses propositions et débutant par la formule :

plus Geminus, de l'autre, que, de son temps, la grande affaire des géomètres était l'invention (démonstration) de ces propositions auxiliaires. On l'avait même réduite en méthode, en y appliquant l'analyse, la divisi(jn des cas et la rétluction à l'impossible. Proclus cite en revanche un de ses contemporains, Kratistos, comme n'employant que sa perspicacité naturelle.

(') Ce porisme paraît d'ailleurs ne pas appartenii- à Euclide.

i/. l'r, -fj-zj ^xv£pîv (il csl clair par \îi)', mais il fiuil ;ijt)iilcr (jiic rauthcnlicilé d'une bonne partie de ces corollaires osl au moins (loulcusc, et que, pour la plupart des autres, loin de chercher à les dislin<:;^uer de la conclusion, Euclidc les intercale avant la formule de clôture « ce qu'il fallait démontrer (faire) ». En somme, chez lui, le porismc-corollaire apparaît plutôt comme une modification de la conclusion régulière que comme une proposition détachée (' ).

Quant au porisrae-proposition, c'est un sujet qui appartient à la Géométrie supérieure, et que j'aurai l'occasion de traiter ultérieurement. Il me suffira donc, pour le moment, de rappeler ce que j'ai dit, à propos de la discussion entre Ménechme et Speusippe, de la nouveauté du mot au temps d'Euclide et de mentionner la signification que lui donne Proclus.

Il s'agit dans le porisme,. non pas de démontrer, comme dans le théorème; non pas de construire, comme dans le problème, mais de trouver. Proclus donne comme exemple : « Trouver le centre d'un cercle donné », ou « Trouver la plus grande commune mesure de deux grandeurs commensurables données ». Logiquement, dès lors, le porisme, ainsi que l'a remarqué Heiberg, devait donc être un problème où cjpîtv figurait dans l'énoncé et dont 'ir.tp iz-h cjpsTv (ce qu'il fallait trouver) terminait la conclusion. S'il est vrai de dire que les problèmes de ce genre se transforment plus facilement en théorèmes, il faut néanmoins avouer que la distinction est passablement subtile, qu'elle est probablement postérieui'e à Euclide, et qu'elle ne détermine nullement la nature spéciale des propositions qu'il avait réunies dans ses trois Livres de Porismes (-).

Quoi qu'il en soit, ce que dit Proclus des porismes peut bien, exceptionnellcmenl, remonter à Geminus, car il avait dû s'expliquer sur ce terme; et, d'autre part, Pappus, dans son Commentaire, devait sans doute s'exprimer comme dans sa Collection mathématique, c'est-à-dire en des termes tout différents.

(') Jamais, en tout cas, le corollaire classique ne doit être suivi d'une démonstration, si brève qu'elle soit.

(^) Ce serait donc une cx|)lication après coup d'un litre peut-être choisi parce que le sens en était plus ou moins vague; celui d'Éléments ne l'est guère moins eu l'ail.

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