J'emprunterai le second exemple au commentaire sur la

in'oposilion I, /\~ (lliéorèinc siiilc carré de riiypoU-misc ). Procliis (p. 4^^)) iK^x'^ dit : « Lii (Irmonslralion du Maîlie élanl très claire, je pense (pril faut n\ rien ajouter de superllu, mais se contenter du texte, car ceux (pii ont voulu y faire des additions, comme Pappus après Héron (;! -ntp: IIpwvî: v.y.': Ilâ-rov), ont été forcés de prendre comme lemmes des propositions démontrées dans le Livre VI, sans aucun résultat utile pour la matière traitée. »

La clef de ce j)assage nous est donnée par le manuscrit de Leyde ; l'addition faite par Héron consiste à prouver que les trois lignes auxiliaires em])lovées dans la démonstration euclidienne se coupent en un même point.

Or il est clair que la preuve naturelle doit s'appuyer sur la théorie de la similitude, c'est-à-dire sur le Livre VL iléron a réalisé le tour de force, un peu puéril, de se passer de cette théorie; mais, pour cela, il a été obligé, comme le dit Proclus, d'établir quelques lemmes préalables, qui découlent immédiatement du principe de la similitude, tandis qu'il les démontre à l'aide d'artifices analogues à ceux dont Euclide s'est servi dans son Livre I, pour éviter d'avoir recours à ce principe.

Ainsi le premier de ces lemmes est le suivant :

<( L Si, dans un triangle ABC, on mène DE parallèle à la base BC, que l'on prenne le milieu F de BG et qu'on le joigne an sommet A, la droite AF coupera DE en un point G qui en sera le milieu.

» En effet, menons par A, HK parallèle à BC, par D et E, HDL et KEIM })arallèles à Ad F, joignons enfin DF et EF. Les triangles ABF, ACF sont ('quivalents, comme avant des bases égales, et leur sommet A commun. Les triangles BDF et FEC sont aussi équivalents comme ayant des bases égales BF = FC, et étant compris entre les mêmes parallèles BC, DE. Retranchons membre à membre, 11 y aura équivalence entre les triangles ADF et AEF, dont la base comnume AF est également la base des parallélogrammes AL, AlNL Ces parallélogrammes, d'après le raisonnement d'Euclide (1, 4 0' seront donc équivalents : donc, etc.»

(^e premier lemme sert à démontrer le second, qui se rapporte au cas oîi la parallèle à la base, au lieu de couper le triangle, coupe les prolongements des côtés et de la médiane au delà du

somiiicl A. L.i clémoiislralioii se fait en eonslruisanl une parallèle s)mélriqiie du cùté de la base; cette conslriiction s'elTectue en reportant sur les cotés, à partir du sonimel, les longueurs des segments interceptés sur leurs prolongements; on démontre facilement le parallélisme à la base de la droite (pii joint les points ainsi obtenus, et l'on applitpip le iemmc 1.

Mais préalablement Héron (à moins que ce ne soit le commentateur arabe) se croit obligé à la démonstration bien inutile de ce fait que, si l'un des points symétriques par rapport à A des intersections des côtés prolongés avec la parallèle tombe dun cùté de la base, l'autre tombera du même coté.

« Si, dit-il, on mène entre deux parallèles AB, CD trois droites AD, BC, EF, se coupant en un même point G, je dis que, si CF = FD, on aura AE = EB.

» Pour le démontrer, je dis d'abord que, suivant que l'on aura AG plus grand que, égal à ou plus petit que GD, on. aura de même BG plus grantl que, égal à ou plus petit que GC. Ainsi supposons AG >> GD, je dis que BG sera >> GC ; car il ne peut être ni égal ni plus jietit.

» Si, en eflet, ou a\ait BG = GC, prenant, sur GD, GM = AG, les côtés AG, GB du triangle AGB seraient respectivement égaux. aux côtés MG, GC du triangle MGC, et l'angle compris

AGB = CGM (prop. i5).

Dès lors, d'après (4), les triangles sont égaux : donc les angles GCM et ABG seront égaux; donc (■?-7) CM sera parallèle à AB ; donc (3o) elle sera parallèle à CD; or ces droites se coupent, ce qui est absurde. On ne peut donc avoir BG = GC.

« Si maintenant un avait BG << GC, prenant, sur GC, GK = BG et joignant K^I, on démontrera de même que KM est parallèle à AB, donc à CD, ce qui est absurde.

» De même, si l'on a AG=GD, on démontrera que BG ne peut être ni plus grand ni plus petit que GC, qu'il lui est donc égal. De même, si AG <C GD, on prouvera que BG < G(^. »

Suit la démonstration piopreineuL dite tlu lemme énoncé.

Le troisième Icniiiic e>l plti^ itili'Tcr->iuit , et c'est lui (pii con-

slllue en fail le nerf de la dénionslralion pour la proposilion à prouver.

Ce lenime est la réciproque d'Euclide, I, 43. U s'agit de prouver que, si un |)arallélog^ramme AB est découpé en qualrc autres ADGE, DF, FGCB, CE, en sorte que DF et CE soient équivalents, le sommet commun G sera sur la diagonale AB {Jîg. i).

Pour le prouver, H»'ron prolonge AG jusqu'à la rencontre en H avec FC, et joint HB. U s'agit de prouver que HB est dans le prolongement de Ail.

Les autres lignes de la figure étant tracées, u les aires DF, EC étant égales, les triangles DGF, ECG seront équivalents. Ajoutant à chacun le triangle GCF, les triangles DGF, ECF seront équivalents. Comme ils ont même base CF, d'après {t\o)^ CF sera parallèle à DE. Mais, d'après (34), (29) et (26), les triangles AEK, DKG seront égaux : donc ER = KD; donc, d'après le lemme II, CH = HF. Mais (34) BF = CG et les angles BFH = HCG. Donc (4) les triangles sont égaux, BH = HG et les angles BHF = CHG. Ajoutant de part et d'autre l'angle GHF, la somme des angles CHG + GHF = BHF + GHF. Mais la première somme est égale à deux droits, donc aussi la seconde. Ainsi, du point H de la droite CF, on a mené, de part et d'autre de cette droite, HA et HBqui font avec elle et d'un même côté des angles dont la somme est de deux droits. Donc HA et HB sont en lig-ne droite ».

Nous arrivons enfin à la proposition qu'il sagit de démontrer.

« Soit ABC un triangle rectangle en A {Jig- 2); construisons sur BC le carré CD, sur AB le carré ABEF, sur AC le carré ACGH. Menons, par A, AKL perpendiculaire sur BC, joignons EC, qui coupe AL en jM, joignons MB et jMG; je dis que ces deux droites sont sur le prolongement Tune de l'aulrr.

- ITIJ -

» l'rolongeons EB et GC jusqu'à leur rciiconlre en M, el leurs parallèles GH, EF jusqu'à leur rencontre en O; menons par M PMO parallèle à EO, et SIVIR parallèle à FC ; joignons OA, IIF.

» (]omme HA = AC, que FA = AB et que les angles FAH = BA( ], les triangles sont égaux ^ donc B(^ = HF et les angles ABG = IIFA. Mais, comme AK est perpendiculaire à la base du liiangle rectangle, les angles ABC = CAK, et, d'autre part, les diagonales FH, AO se coupant en Y, et FY étant égal à YA, les angles IIFA = OAF.

Donc les angles OAF = CAK. Ajoutons OAC de part et d'autre; OAC + OAF = MAC + CAO. Mais (i o) la première somme est de deux droits; donc aussi la seconde; donc OAM est une ligne droite.

» Or elle est la diagonale du parallélogramme OM; dès lors, d'après (43), les aires AS = AQ. Ajoutons de part et d'autre l'aire AM, les aires MH = MF. Mais, dans le parallélogramme FJN coupé par la diagonale EMC, les aires MF = MN. 11 y a donc égalité entre les aires ]MN, MH. Dès lors, d'après le lemme 111, BM et MG sont en ligne droite. •» c. q. f. d.

o. Sur la proposition 48 et dernière du premier Livre (réciproque du théorème sur le carré de l'hvpoténuse), nous retrouvons encore dans le Commentaire arabe, sous le nom de Héron, la

dc'iiionslraLion anonyme donnée par Proclus; les IcLlres ('), dill'crentes de celles d'Euclide, se correspondent exaclemenl, comme, au reste, pour le Commentaire sur la proposition I. Seulement, dans cette démonstration par l'absurde, la seconde livpotlièse, développée par Proclus comme la première, ne l'est pas dans le texte arabe, où il est seulement indirpié qu'elle se traiterait de même.

Ces extraits suffisent pour le but que je m'étais proposé. 11 est clair que, si intéressants que puissent être hisloriquement les scolies arabes qui portent le nom de Héron, on ne peut guère leur attribuer une valeur scientifique considérable. Dans les autres Livres pour lesquels le Commentaire de Proclus est perdu, il n'y a guère de remarquable (-) ([ue l'idée de démontrer sans ligures les propositions du Livre 11, à partir de la seconde, comme conséquences analytiques de la première, à savoir

a( b ~ c -h d ) = ab -^ ac -^ ad.

En tout cas, une question assez grave doit se poser : Est-il probable que le Commentaire de Héron ait encore subsisté intégralement chez les Arabes, et soit tombé entre les mains du INirizi, vers l'an poo de notre ère?

Je n'hésite pas à répondre non : tout d'abord, il est certain que nous sommes loin d'avoir en entier ce Commentaire. Ainsi, dans le texte arabe, rien absolument ne correspond à telle citation expresse de Proclus (ex. p. 3o5). A en juger par ce qui nous reste, le Commentaire de Héron paraît avoir été très complet et très détaillé; mais il n'a été utilisé que d'une façon très inégale et tout à fait insuffisante pour donner une idée exacte de son étendue.

En second lieu, rien ne nous prouve que le jNirizi ait traduit du grec les extraits qu'il nous a conservés; il cite des commentateurs arabes qui l'avaient précédé, par exemple Al-lvindi. Ces extraits

(') Dans ce qui précède, j'ai suiisliliié, aux IcUrcs grecques supposées par les lellres arabes, les romaines de nièiiie rang, en ne cnniplanl pas J comme lettre.

(^) J'observe, à litre de curiosité, que, dans le Livre IIl, Héron intervertissait l'ordre des propositions 5 et 6, le cas tic tangencc de deux cercles lui paraissant devoir précéder le cas d'inlerscclion.

pcuvi'iil iloiic avoir clé (ails par \\\u de ces comiiuMilalciirs.

l'^nlin ils peuvcnl avoir été Iransmis aux Arabes dans un Commentaire j;rec d'une cporpie l)ien postérieure à Héron. A la vc'rilé, le jNirizi ne paraît aucunement connaître ni Porphyre, ni Pappus, ni Proclus. II sait toutefois que \e postulatuni des parallèles a été l'objet de tentatives de démonstration de la part de Ptolémée et de Diodore ('). D'autre part, son Commentaire sur les définitions et les axiomes du premier Livre est emprunté à un auteur grec dont le nom ne peut être transcrit que sous la l'orme Simpiicius{-).

Est-ce le fécond commentateur du vi" siècle? A côté d'Aristote, aura-t-il, lui aussi, entrepris Euclide, et son œuvre se sera-t-elle conservée en Perse, grâce à ses relations dans ce pays, tandis que toute autre trace en a disparu pour nous? On ne peut à cet égard formuler que des conjectures, ftlais, si c'est bien lui et s'il a eu le commentaire de Héron à sa disposition, on ne peut douter, d'après ses habitudes, qu'il n'en ait fait de fréquents extraits dont il aura soigneusement indiqué la source.

En tous cas, l'existence du travail de ce Simpliciiis est bien constatée, et le plus probable, quant à la transmission des scolies de Héron aux Arabes, me paraît être qu'elle se sera faite par cet intermédiaire. Mais, comme il est difficile d'assigner à cet auteur une date tant soit peu reculée, même si l'on ne voulait pas l'identifier a\ec le philosophe du vi*^ siècle de notre ère, plusieurs difficultés surgissent.

Avait-il lui-même le Commentaire de Héron entre les mains? On doit le penser; car, s'il en avait, comme Proclus, emprunté les extraits à Poi'phyre et à Pappus, il aurait sans doute utilisé également ces derniers auteurs auxcjucis on ne peut certainement refuser un certain degré d'originalité (■'), et l'on devrait retrouver leurs traces dans les scolies arabes. Au contraire, s'il avait retrouvé

(') Nous n'en savions rien poui' ce dernier, qui est probablement le inathériialicien alexandrin vivant vers la fin du i" siècle avant notre ère.

(^) Le Commentaire sur les dclinitions est malheureusement perdu en presque totalité, par suite d'une lacune d'un feuillet clans le manuscrit. Sui' les axiomes, Héron n'apparaît que pour une courte rcmaniuo d'un cnractère tout à fait général.

(') Comme au contraire Proclus n'est nullement original, on peut très bien admettre que Simplicius n'ait pas tenu compte de son travail.

l'Ouvrage de Héron, on comprend (ju'll ail [)u négliger les commentateurs postérieurs.

On arrive donc à cette conclusion que le travail de Héron sur Euclide devait encore exister au tenips de Proclus; ce dernier aurait donc pu l'utiliser directement. .Mais cela n'entraîne nullement comme conséquence qu'il l'ait réellement utilisé de la sorte, et je ne vois aucun motif de rétracter l'opinion contraire que j'ai émise en discutant la question des sources de Proclus.

ciiAPniu-: \iv.

Les > Définitions ■ du pseudo- Héron.

I. Les extraits ([lu- jai (.lonrics, d'après le maiiiiseiil aral)e de Leydc, du Commentaire de Héron sur Euclidc, pourraient pciiLêlre produire rim|)ression que ce travail aurait été moins un commentaire proprement dit qu'une suite de lemmes analogues, dans une certaine mesure, à ceux que Pappus nous a conservés sur les Ouvrages d'Vnalvse géométrique des anciens, au Livre VII de sa Collection niatliéinaLiquc.

Pour montrer que cette impression serait inexacte, il me serait facile de faire de nouvelles citations décisives des scolies héroniens relatifs aux propositions (*); mais je préfère indiquer ceux qui subsistent sur les définitions des Livres autres que le premier, le commentaire arabe sur celles du Livre I étant perdu, comme je l'ai dit.

Sur la définition II, i , Héron remarque que la raison pour laquelle Euclide la limite au parallélogramme rectangle est que la mesure de la surface de ce rectangle est donnée par le produit des deux côtés de l'angle droit.

Sur m, déf. \, où Euclide définit l'égalité des cercles par celle des diamètres ou par celle des ravons, Héron })rouve que ces deux définitions n'en font qu'une.

Sur 111, déf. 4 (égalité de distance des cordes au centre), il remarque que la distance d'un point à une droite se mesure par la perpendiculaire abaissée du point sur la droite, en raison de la propriété de cette perpendiculaire d'être la plus courte ligne allant du point à la droite.

Sur III, déf. 9, il observe que l'expression d'Euclide « un angle a pour base un arc » (ir}. r.tp'.otpzry.z 'hi-;t-y.: ij^fir/z.éva'. r, ';i,yr.x) s'ap-

(') En fait, la plus grande partie de ces scolies consiste à rcpclcr les démonstrations euclidiennes dans d'autres cas des figures ou à prouver l'impossibilité des cas auxquels ces démonstrations ne s'appliqueraient pas.

nliiiiic (Il liiit, soil à raiii^li! (|iii a son soimnci au cciiUc, soil à ceux (|ui ont leur sommet à la cii conférence.

Après III, déf. i i , il distingue comme figures dérivées du cercle par son intersection avec une droite ou avec un cercle le segment, la lunule et l'amphicyrte (').

Enfin sur IV, déf. i et i (figures inscrites ou circonscrites à une figure), nous lisons : « Quelques personnes ont demand('' pourquoi le géomètre a donné ces définitions, puis([u'il ne voulait traiter que de l'inscription ou de la circonscription par rapport à un cercle; nous répondrons qu'il a agi de la sorte pour la perfection de son enseignement, d

Je n'insiste pas sur le caractère de ces divers scolies; évidemment, ils proviennent d'un véritable commentaire et l'on peut ajouter d'un commentaire dont le niveau n'était guère élevé. Mais on remarquera qu'en tous cas il n'y a aucun rapport entre ces scolies et le contenu de l'opuscule des Définitions des termes de Géométrie, attribué à Héron.

2. Cet Opuscule nous est présenté comme constituant des Prolégomènes aux Eléments de Géométrie et comme correspondant à des Prolégomènes aux Eléments d'Arithmétique, écrits par le même auteur, et que nous n'avons plus. C'est une compilation des diverses définitions géométriques; dans cette compilation, si les formules adoptées par Euclide sont généralement énoncées avant les autres, l'ordre d'Euclide n'est nullement respecté; des idées qui lui sont étrangères sont introduites et dérangent souvent cet ordre. Si donc ces Prolégomènes avaient été rédigés par Héron, ils l'auraient été, en tous cas, indépendamment de son commentaire sur Euclide, dont les fragments qui nous restent ne témoignent d'ailleurs d'aucune communauté d'origine avec l'Opuscule contesté.

(') C'est-à-dire la partie commune aux deux cercles qui se coupent, les lunules étant au contraire les parties non communes. Avant cette distinction, vient une remarque assez inintelligible. « Nous savions déjà que, quand deux segments sont égaux, les angles inscrits sont égaux; réciproquement, si les angles sont égaux, les segments le seront. » Héron avait-il énoncé déjà sur III, déf. (), le théorème de l'égalité des angles inscrits dans le même segment?

L'cxislencc du conimeulairc de Ilrroii sur iMiclicIe n'est donc, en fait, MuUcnicnl favorable à l'altrihulion au même géomètre de rOpuseule qui nous occupe. Celte attribution repose d'ailleurs sur deu\ motifs : l'un est l'inscription que portent les manuscrits^ l'autre est que l'ensemble du texte, en faisant abstraction de quelques additions et remaniements postérieurs, paraît bien correspondre, en réalité, à une époque voisine de celle de Héron.

Ce second motif peut être écarté, si l'on admet que l'auteur des Prolégomènes, auquel on doit, semble-t-il, attribuer la majeure partie des remaniements dont j'ai parlé, a copié une compilation faite dans le courant du i*"" siècle avant l'ère chrétienne ou bien effectué lui-même cette compilation sur un Ouvrage plus étendu, par exemple celui de Geminus.

Quant à l'inscription des- manuscrits, on peut l'expliquer de différentes façons. Je me bornerai à développer celle qui me paraît aujourd'hui la plus plausible.

Dans les manuscrits, l'Opuscule des Déjinilions précède toujours des extraits d'Anatolius et de Proclus, mais dans l'intervalle sont insérés : i" une Table métrologique sur le modèle de celles de Héron; 2" des extraits des Introductions de Géométrie de Héron, tirés de son grand Ouvrage de Géométrie pratique; 3° les postulats et les notions communes d'Euclide. L'ensemble de la compilation étant anonvme, le nom de Héron inscrit en regard soit du préambule de la Table métrologique, soit des extraits authentiques qui suivent, a très bien pu, du fait d'un copiste déjà ancien, passer en tête de l'ensemble.

3. Peut-on aller plus loin et former quelque conjecture sur la véritable origine de l'Opuscule des Définitions? J'ai parlé plus haut de Geminus; c'est que nous pouvons, par le commentaire de Proclus, nous faire une idée assez exacte de ce que disait Geminus sur ce sujet, de l'ordre qu'il suivait, des notions qu'il développait. Or, si l'on compare l'Opuscule en question, on y retrouve tous les caractères que l'on est amené à reconnaître comme propres au travail de Geminus : les mêmes définitions y sont recueillies; le même ordre est adopté; les idées qui paraissent le plus spéciales sont pareilles. On ne peut dénier la communauté d'origine.

— isd —

Dira-L-on que (jcniinus aurail |)ii uLiliscriiii travail aiilc'ricur de Héron, et que ce travail aurait été, par la suite, singulièrement mutilé pour être ramené à sa forjne actuelle? Ce serait le seul moven de sauver l'attribution à Héron. ÎMais une telle conjecture, bien improbable en elle-même, nepeutguère résister à un examen plus approfondi.

Si l'on se demande, en effet, à quelle époque et par qui l'Opuscule des Définitions a été amené, sinon à sa forme actuelle, due sans doute au compilateur postérieur à Proclus, au moins à celle cjue lui avait donnée l'auteur àes Prolégomènes, il faut au moins, eu égard à la Table métrologique qui suit, descendre au m'' siècle de notre ère. Dès lors, on pense naturellement à Anatolius, des écrits duquel le dernier compilateur a tiré la presque totalité de ce qu'il n'a pas copié dans Proclus, qu'il ait d'ailleurs ou non marqué l'origine de ces extraits.

Or nous avons vu (') qu'Anatolius avait lui-même compilé Geminus : quoi de plus naturel dès lors que de conjecturer que c'est lui qui est le véritable auteur des Prolégomènes (-), et qu'il en a extrait la substance de la Théorie des Mathénuiliques, utilisée de même plus tard par Proclus?

4. En résumé, comme fonds, l'Opuscule des Définilions remonte Lien au i*^'" siècle avant l'ère chrétienne, et c'est là ce qui en fait la valeur. Comme forme, il se trouve incorporé dans des Prolégomènes rédigés au plus tôt vers le iii'^ siècle de notre ère et introduits à leur tour dans y\ne compilation postérieure au v*^.

Le rédacteur des Prolégomènes (Anatolius?) a puisé, non pas dans un Ouvrage de Héron, mais bien dans celui de Geminus, en sorte que les extraits qu'il nous a conservés, relatifs aux définitions géométriques, complètent heui^eusement ceux que nous donne Proclus sur le même sujet.

Dès lors, pour restituer, autant qu'il est possible, l'histoire des

(') Voir plus liauL, pages '|2 cl suiv.

(^) Dans celte liypolhèsc, le Atovjdio: ÀaaTipÔTaToç. auriiic! sont dédies les Prolégomènes, pourrait <Hi-e idenlific avec Denys, l'évè(|iie d'Alexandrie, eonteniporain d"\na(filitis.