CHAPITRE XIII

Héron sur Euclide.

1. Après avoir ludique les additions que recul, dans Tanliquilé, le cadre des Eléments d'Euclide, nous avons à rechercher quels travaux furent tentés ou accomplis à rinlérietir de ce cadre même. Mais désormais le champ de notre ('-tudc se restreint singulièrement, car des deux seuls documents grecs auxquels nous puissions recourir, riin, le Commentaire de Proclas, se hornc au premier Livre des Eléments, l'autre, les Définitions des termes de Géométrie^ attribuées à Héron, ne touche ni les théorèmes, ni leurs démonstrations.

W. existe cependant, dans un manuscrit arabe, sur les six premiers Livres, une suite de scolies qui portent le nom de Héron. Cette troisième source n'a pas été utilisée justpi'à présent, et, en attendant la traduction que pré[)are mon excellent ami Léon llodet, je ne puis moi-même en faire qu'un usage restreint. Il m'est cependant loisible d'entrer dans des détails suffisants pour en faire reconnaître l'importance et pour indiquer les principales conclusions qu'on peut tirer de son étude.

Je dois dire d'abord comment j'ai été amené à y recourir. Une grave question, et des plus difficiles à élucider complètement, se jjose à propos d'Euclide. A partir de ([uci momeul les Eléments sont-ils devenus classiques pour renseignement de la Géométrie dans l'anti([uité? Quand, par suite, a-t-on commencé à les commenter comme un Ouvrage classique?

Dans des essais spéciaux (') où j'ai déjà abordé cette question, j'ai cherché à montrer que l'adoption universelle des Eléments ne paraît pas avoir eu lieu immédiatement ni s'être cfTectuée sans

(') l'ublies (lau> le BulicLin des Sciences mallicinaliqucs et aslroiiuniùjucs : Quelques fragments d'Apoltonius de Perge, i88i. — Sur tes fragments de Héron d Alexandrie conservés par Proctus, 1882. — Les axiomes d'Euclide, i885.

certaines lenlalivcs de; moclincalioiis, doiiL iiik; an moins a réussi; ear le lilrc de fwf ions communes (v.ovrx'. vny.y.'.), donné aii\ axiomes, est l)ien certainement une expression stoïcienne, et l'on peut croire qu'il n'a pas seulement été substitué à un autre, mais bien mis en tétc d'une liste de propositions admises par Euclidc sans démonstration, sans que lui-même eût cru utile de les réunir ainsi qu'elles l'ont été après lui.

Dans un travail dont le caractère ne peut être exactement défini, Apollonius, procédant également suivant les idées de l'Ecole du Porti(pi(;, ])ro|)Osa une série de définitions dans Icscpiclles il insista sur l'origine concrète des notions géométriques. Il indiqua ('gaiement diverses autres modifications de détail relatives, soit aux axiomes, soit aux propositions.

Quant à Héron d'Alexandrie, M. Cantor avait déjà soutenu l'opinion qu'il était assez improbable qu'un auteur paraissant aussi original se fût astreint à commenter les Eléments. A la vérité, de son temps, l'Ouvrage était probablement devenu partout classique; c'est bien en cfFct celui (jue vise l'épicurien Zenon, de Sidon, dans son Ouvi'age contre la certitude géométrique, que réfuta Posidonius [Proclus, 199, etc.). Mais on semble toutefois encore loin de l'âge réel des commentateurs.

J'ai donc essayé de montrer que les citations de Héron dans Proclus ne suffisaient point j)our conclure à l'existence d'un Commentaire de Héron sur Euclidc ; qu'elles pouvaient avoir été empruntées par Porpbyre ou Pappus au grand Ouvrage de Héron sur kl Géométrie pratique. J'admettais implicitement la même origine pour les scolies arabes que je trouvais mentionnés, d'après Fabricius, dans un manuscrit oriental delà Bibliothèque de l'Université de Leyde : (( Eiiclidis Pythagorœi Elementorum libri VI, cum commentarils Saidi hcn Masoiid et cum scliolils Ilcronis ad quœdam problemata. )>

Toutefois, en présence des objections adressées par Heiberg à mes conclusions, j'aijugé utile de vérifier ce que pouvaient être en réalité ces scolies de Héron, et je me bâte de dire que cette vérification m'a conduit à reconnaître le mal-fondé de la thèse que je soutenais après M. Cantor. Héron a cflectivcment écrit un Commentaire sur Euclidc, el même ce Commentaire, auquel Por- •phyre cl Pappus ont fait dans la suite de nombreux emprunts, est

l(jin (I (Hic de naliiro a rehausser l'idée f|ne ikjus nous faisons de l'ingénieur alexandrin .

2. Le curaleur de la Bibliothèque de l'Univcrsilé de Lcvde eL le conservateur du legs \varnéricn ont bien voulu mettre à ma disposition, avec la plus gracieuse libéralité, le manuscrit dont j'ai parlé, pendant tout le temps nécessaire pour prendre copie des Commentaires sur Euclide.

Ce manuscrit, le TP^arnerianus 300, numéroté 1008 dans le Catalogue de 1716, paraît deux fois dans le Catalogue de i845, d'une part sous le n" 065 pour la première Partie ([ui contient les Eléments d'Euclide, de l'autre sous le n° 088 pour la seconde Partie, les SpJiérirjucs dcMénélas. Le Catalogue moderne ne renferme plus d'ailleurs la mention de Héron, mais donne, en latin, la Notice suivante pour le n" O60.

(( Eléments d'Euclide, d'après la version d'el-HajjAj-ben-Yusuf- Matar (' ), avec un Commentaire dont l'auteur est Abul-Abbas-el- Fadl-ben-Hàtiin-an-Nirizi, géomètre et astronome assez connu du m'' siècle de l'hégire. Ce manuscrit contient en outre des gloses sur ce Commentaire, de Séid-ben-Masoud-ben-Alkass-Billah, (pii paraît avoir vécu au x'' siècle. Le copiste (Al)ou-Saïd-Moliammedal-Baihaki-al-Barzuhi) s'est arrêté au commencement du Livre VIL La souscription atteste que le Livre VI a été terminé en 089 (1144/5 de notre ère). Nous avons donc ici un manuscrit ancien, du reste correctement écrit et, autant qu'on le sache, unique. »

On ne connaît pas en effet d'autre exemplaire de la version de ITajjâj, la plus ancienne traduction d'Euclide en arabe, qui a été faite sous le khalifat d'IIaroun-al-llcschid et corrigée par Hajjâj lui-même sous celui d'Almamoun. On croit toutefois que les Livres XI à XllI (des solides) de cette version sont contenus dans le manuscrit 81 de Copenhague, qui a été examiné, ainsi que celui de Leyde, par Rlamrolh \^Ueber den arahisclien Euklid (-)]; mais le savant orientaliste n'a pas porté son attention sur le travail

(') Ce renseignement est tiré (]c la Préface. Le frontispice attribue au eoiitrairc à Isiiaq-hcn-Honcin la Iraduction «lu Livi'c « d'Euclide le pythagoricien >■. {') Zeilschrift dcr dciitschcii nmrgenlœndischen Gesellscluift, l. \\\^'.

p. cf7o-3.îG; 1881.

d'cl-l'adl, f|iii, comme \v dil l;i Prrlaco, a (Hé cxliail par lui des commenlaircs de j^comclrcs anciens.

(Jr, c'csl dans celle eom|)ilal,ion que revient assez fréqucmmcnl l(^ nojn de lli'ron, comme celui de l'nn des ])rincij)aux an leurs (jui onl servi à la lonner. L'aullienlicilé des (,'xlrails ainsi allrihués à Héron peul d'ailleurs élre dénionlrée l'acilement, si on les rapproche du commenlaire de l^roclus.

Je me bornerai à faire ce ra))procliemenl sur deux poinls, que je choisirai d'ailleurs de manière à indiquer suffisamment le caractère du (ravail de Héron cl à montrer en même tem])S que nombre de démonstrations, données par Proclussans aucune référence, dérivent en réalité de l'Alexandrin.

3. On sait que la première proposition d'Euclidc consiste à construire un triangle équilatéral sur une droite donnée comme base. Comme, dans ses postulats de construction, il ne se donne pas la liberté de prendre à partir d'un point donné une longueur donnée, sa première proposition lui sert à résoudre immédiatement cette seconde question.

Or, dans Proclus (p. 218-219), nous voyons résoudre les problèmes de construire, sur une base donnée, comme première proposition, soit un triangle isoscèle, soit un triangle scalène.

Pour l'isoscèle, il prolonge la ligne AB dans les deux sens, et, en décrivant des points A etB comme centres des cercles (A) et (B), il peut prendre, sur chacun de ces prolongements, des longueurs AG, BD égales à AB. Dès lors, en gardant les mêmes centres, mais en prenant pour rayon AD = BC, il obtient j^ar l'intersection de deux nouveaux cercles (G) et (D) le sommet d'un triangle isoscèle avant AB pour base (*).

Pour le triangle scalène, il lui suffit, après avoir décrit les

(') Je n'insiste pas sur la singularité de cette solution. Il faut se rendre compte du but proposé, qui est cvideinmcnl, non pas de construire un triangle isoscèle en général, mais de substituer, pour la solution du problème II, à Téquilatéral d'Euclide un isoscèle construit en restant dans le même oi'di'c d'idées. Toutefois, avec les mêmes postulats de construction et sans s'appuyer sur aucun théorème, il est possible de construire, sur une base donnée, un isoscèle quelconque. Ce l)roblèmc se trouve résolu dans un scolic grec inédit (Ms de la lîibliothèquc nationale, tonds grec '2'i72, toi. n)'J v.).

cercles (A), (13), de prendre comme sommet un |)oinl quelconque intérieur à (A) et extérieur à (B).

« Tout cela est rebattu », ajoute Proclus, preuve bien claire qu'il emprunte les solutions qu'il vient de reproduire. Voyons maintenant ce cpie nous (loniic le commentaire arabe sur la proposition I d'Kuclide.

Héron. — « Si Ton nous demande pourquoi Euclide sest proposé tout d'abord de construire sur une ligne donnée un triangle équilatéral, sans se préoccuper de commencer par un triangle isoscèle, je répondrai qu'il n'a pas agi ainsi par impuissance, mais parce que la facilité et la brièveté de la construction du triangle équilatéral convenaient mieux à un début. !iMais, quand on peut Caire lune de ces constructions, on peut faire l'autre, et l'une peut être substituée à l'autre.

» Je vais au reste enseigner la construction d'un triangle isoscèle sur une droite donnée. D'abord supposons la figure. » Suit identiquement la construction de Proclus, qui paraît seulement avoir un peu abrégé la démonstration.

« Je vais maintenant montrer comment on peut, sur une droite donnée, construire un triangle scalène. Je considérerai trois cas :

» 1^'' cas. — La droite donnée est plus grande que lun des côtés et plus petite que l'autre. » Suit la construction de Proclus.

<x 2'^ cas. — La droite donnée est jjlus petite que cliacun des deux autres côtés.

» '.V cas. — La droite donnc^e est plus grande que chacun des deux autres côtés. »

Pour ces deux derniers cas, que Proclus avait évidemment sous les yeux, mais qu'il a négligés, Héron procède toujours de la même façon; pour le dernier, il se contente d'ailleurs de prendre le sommet du scalène dans la partie commune aux deux cercles (A), (B), sans se préoccuper de la possibilité que le triangle soit alors isoscèle; pour le cas précédent, il choisit un point sur la circonférence du cercle (D) et à l'extérieur du cercle (A). Je crois inutile de reproduire les démonstrations, qui n'ont aucun intérêt.