CHAPITRE IV

Les applications de la Géométrie dans l'antiquité.

1. jNous avons vu Anatolius et Proclus énumérer Von el l'autre, d'après Geminus, quatre sciences empruntant à des degrés différents les théories de la Géométrie, à savoir : la Géodésie, 1 Optique, la Mécanique et l'Astrologie.

Le terme de yï^oaiaia, proprement division des terres, date de l'époque d Aristole. Lorsque le mot de géométrie, appliqué tout d'abord, ainsi que son étymologie l'indique^ aux opérations de l'arpentage, fut employé couramment pour désigner la science théorique créée par Pvthagore, il fallut bien adopter un autre terme pour le remplacer dans sa première signification. JNaturellement aussi^ ce nouveau terme ne fut pas borné exclusivement à l'arpentage; on y comprit en général tout ce qui concernait les mesures pratiques de surfaces et de volumes, comme le témoigne le texte de Geminus.

Il nous reste, pour représenter cette branche de la Géométrie appliquée dans l'antiquité, un ensemble de documents suffisamment complet; c'est celui que forment les six à sept recueils de problèmes métriques qui portent le nom de Héron et dont F. Hultsch a publié le texte grec ('). Il est bien constant, d'ailleurs, que leur rédaction date de différentes époques postérieures à l'ère chrétienne, mais que, comme fond, ils sont empruntés à un grand Ouvrage réellement dû à Héron d'Alexandrie, dont les extraits ont été mis au courant des nouveaux besoins et des nouvelles mesures, ce qui est le sort général des Ouvrages destinés aux applications pratiques.

Comme Traité un peu plus relevé, nous avons celui Sur la dioptre (-), également attribué à Héron et dont l'authenticité ne

(') En y joignant les Mesures des marbres et des divers bois de Didyme d'Alexandrie.

{-) Publié par \itircnt dans les A'otices et extraits des manuscrits de la Bibliothèque nationale, \1\, 2, r83f.

p;iiaîl ]);is (loiileiisc. A coU' do la (lc.scrj|)Lion ({'un appareil 1res perfectionné, mais beaucoup trop compliqué pour avoir jamais été réellement mis en pratique ('), à coté de la solution de la plupart des problèmes qui se présentent sur le terrain, on y trouve la plus ancienne démonstration connue pour la règle qui donne l'aire d'un triangle dont on connaît les trois cotés, suivant notre lor;nule

S = //'(/> — «)(> — 6)(/? — cj.

A un niveau inférieur, au contraire, nous avons encore la collection des Gromatici Jt'^e/-e5 (Berlin, 1848-1802) ou arpenteurs romains, qui, en dehors de leurs procédés traditionnels, ont fait de nombreux emprunts à des sources grecques dont quelques-unes sont perdues pour nous.

Je ne m'arrête pas à ces divers écrits, qui ont été l'objet d'analyses et de discussions approfondies, notamment de la part de IM. Canlor, et auxquels j'ai d'ailleurs déjà consacré des études spéciales. Je remarque seulement que Héron n'avait pas adopté le terme technique de Géodésie. Son Ouvrage semble avoir été intitulé Merpixoc (c'est le titre, du moins, que lui donna Eutocius, et il est, certainement, très bien choisi), et ses deux parties principales paraissent avoir été désignées comme r£c.jfj(.£Tpouy.£va et Ilxspco- [jL£Tpoûu.£va (Géométrie et Stéréométrie).

Héron aurait donc au moins tenté de relever sa matière au rang de la Science théorique. iNIais l'usage du mot de Géodésie était déjà trop consacré, par suite sans doute de l'existence d'Ouvrages antérieurs assez nombreux, pour que Héron réussît à cet égard ailleurs que chez les Romains. A vrai dire, ceux-ci, sous le nom de géométrie, n'ont jamais fait que de l'arpentage; le terme de Géodésie resta^ au contraire, classique chez les Grecs, pour reparaîti'e dans les temps modernes, à son tour élevé en dignité, et désignant désormais des opérations dont les anciens n'ont jamais eu la moindre idée (-).

2. Le Traité De la Dioptre donne lieu à une observation spéciale au point de vue de la classification des sciences. D'après un

(') Il coinporle à la fuis, de l'ail, un ihéodolilc et un niveau d'eau. {') Je remarque que, d'après l'usage de la langue grecque, on doit d'wc géode le et nun géodt'sien pour designer l'ingénieur qui cHectue ces opérations.

abrégé latin des Catoptriques (\e Héron, opiiscnlc dont l'original grec est perdu et <]ni a été faussement attribué à Ptolémée ('), l'ingénieur alexandrin divisait l'Optique en Optique proprement dite, en Catoptrlque et en Dioptrique. Ce dernier mot n'a, au reste, jamais eu dans l'antiquité le sens qu'il a chez les modernes; il désignait ce qui concerne la visée des objets, et cela particulièrement au moyen de la dioplre qui consistait, à proprement parler, en une règle munie de deux pinnules percées de trous ou de lentes. Il est donc clair que Héron devait considérer comme faisant partie de l'Optique, sinon tout son Traité De la Dioplre, au moins la description de son instrument.

Nous voyons, au contraire, Geminus classer la Dioptrique comme subdivision de l'Astrologie; il est clair que l'instrument de Héron pouvait servir pour observer les astres; non seulement il en indique l'emploi dans ce but, mais encore c'est seulement alors que lui servent les graduations de ses cercles, puisque les anciens ne faisaient pas de Trigonométrie recliligne. D'autre part, Geminus, dans son Introduction aux phénomènes (éd. Petau, 42 B), nous parle, pour vérifier le mouvement circulaire des étoiles, de dioptres qui doivent avoir été semblables à celle de Héron, c'est-à-dire avoir consisté en un théodolite dont l'axe fût susceptible de prendre une inclinaison.

(1 n'en est pas moins vrai que le classement empirique de Geminus suppose, pour son temps, l'existence de Traités qualifiés de dioptriques, et spécialement consacrés à l'Astronomie. Plularque (-) attribue de fait à Euclide un tel Ouvrage; mais, même si Ton regarde comme valable ce témoignage unique, ou si seulement on admet l'existence de traités de /)/o/?^rf^M<? correspondant dans une certaine mesure à des éléments d'Astronomie pratique, une grave question s'élève.

Il est clair que l'instrument très compliqué de Héron a dû être précédé d'essais plus simples; en supposant une f//o/?^/'<? réduite seulement à la règle de visée montée sur \\n cercle divisé, à quelle

(') Voir à ce sujet Th. -H. Martin, lieclierches sur la vie et les Ouvrages de Héron d'Alexandrie, Mémoire présente à rAcadémic des Inscriptions et Belles- Lettres, IV, i8V|.

(^) Aon posse suaviter vivi secunditni Epicuruin. éd. I)idot. M. iS-^S,."?.

— :if) —

époque CCI insLrumcnl clcmenLaire a-l-il (Hé connu des Grecs?

On ne fait souvent aucune difficulté pour le regarder comme connu d'Hipparque et même comme lui étant bien antérieur. li convient d'opposer à ce préjugé les considérations suivantes :

Toutes les positions d'étoiles antérieures à Euclide (comme celles d'Eudoxe) sont tellement erronées que l'on ne peut supposer qu'elles aient été observées directement.

Ptolémée attribue àHipparque une dioptre toute spéciale; c'est une règle graduée avec une pinnule fixe et une pinnule mobile, les fentes des pinnules étant à différentes hauteurs. C'est le principe du bâton de Jacob, où l'angle est connu par sa tangente, ou estimé d'après des triangles semblables.

Si Ptolémée ne témoigne pas qu'Hipparque se soit servi de cet instrument pour des mesures effectives, mais seulement pour la comparaison des diamètres du Soleil et de la Lune à l'apogée et au périgée, l'emploi de cette dioptre semble lié à celui des mesures (clialdéennes?) de co?/r/<:% et de <^o/^/ pour les petites distances angulaires des étoiles, mesures dont Hipparque se servait et qui ont passé des Grecs aux Arabes. D'autre part, on peut bien voir un instrument analogue dans la dioptre dont s'est servi un disciple d'Aristote, Dicéarque de Messine ('), pour mesurer les hauteurs des montagnes de la Grèce.

L'instrument principal d'observation d'Hipparque et de Ptolémée a été une sphère armillaire, sans ligne de visée; un anneau mobile (le cercle astrolabe) pouvait être placé de façon que son plan passât par l'astre observé; ce cercle, perpendiculaire à celui qui représentait l'écliptique (2) et qui était gradué, donnait immédiatement la position en longitude. Or c'est là le problème (') que le texte de Geminus donne comme étant l'objet spécial de la Dioptrique, et l'on doit observer que, quoiqu'il n'y eût nullement de dioptre, Ptolémée se sert du mot oiottieusiv pour désigner l'opération qui amène le plan du cercle astrolabe à passer par l'étoile.

(') Théon de Smyrne {Astronomie, 3).

(^) Ce dernier cercle, également mobile, a d'abord été amené à coïncider avec l'écliptique par une observation semblable faite sur un astre de longitude connue.

(') Il convient de remarquer que la détermination de la lon£;itnrIe des planètes était le point de départ des prédictions astrologiques.

On ne |)tMil donc s'«Mn|)ècln'i' ilc penser cjue, pour (îeininus, lit nioj>tri(jiie devait èlre surtout représentée par des écrits sur des instruments autres que celui de Héron, quoiqu'il dût, sans aucun doute, connaître ce dernier.

3. Les remarques que je viens de faire, et celles que je vais ajouter sur les autres branches de l'Astronomie ancienne, n'ont pas pour but de trancher des questions historiques qui demanderaient une discussion proportionnée à leur importance; elles tendent seulement aies préciser et à montrer que l'histoire des observations pratiques est à refaire pour les origines. De quels procédés se servaient Hipparque et ses précurseurs? pourquoi prenaient-ils directement telle mesure plutôt que telle autre? Il y a là une série de nombreuses questions qui attendent une solution raisonnée; malheureusement, les documents que nous fournissent les ouvrages d'Astronomie ancienne sont totalement insuffisants, et il faudrait essayer de les compléter, soit par l'étude des écrits astrologiques, jusqu'à présent trop négligés, soit par les résultats des déchiffrements des écritures cunéiformes qui peuvent nous fournir quelques données sur les procédés d'observation des Chaldéens; car c'est de ces procédés que sont partis les Grecs.

Sous ces réserves, il me semble que la Méléoroscopie de Geminus concerne spécialement l'observation des hauteurs lors des passages au méridien, observations dont se déduisaient les latitudes (').

C'était donc principalement à celte partie de l'Astronomie que devait se rattacher l'emploi des tables des cordes de cercle qui remonte à Hipparque. Mais jusqu'à quel point la Trigonométrie sphérique était-elle déjà développée, il est difficile de le savoir, puisque le théorème fondamental qui sert de base à tous les calculs de Ptolémée ne se rencontre pas avant les Sphériques de Méné-

(') L'instrument connu par les anciens sous le nom de météoroscope n'a été inventé que par Ptolémée. C'était une sphère armillaire ayant deux cercles (horizon et équateur) de plus que celle dont il a été parlé plus haut, soit neuf cercles concentriques. Si un cercle pouvait porter deux pinnules diamétralement opposées, on ne devait pas encore trouver là la véritable clioptre, c'est-à-dire la règle portant les pinnules. Les anciens astronomes ne semblent l'avoir adoptée que pour la face de l'astrolabe planisphère qui leur servait à prendre les hauteurs pour délerminei- l'Iicnrf.

liios, à la lin du premier siècle de l'ère cliiélienne. (hioiqiie je le considère comme étant connu et pratiqué déjà ])ar llipparque, je dois remarquer que l'on ne possède à cet égard qu'une simple présomption, et que c'est une pure invention de Delambre ( ' ) que son affirmation qu'llipparque aurait dit avoir déterminé par la Trigonométrie s])hérique les levers et couchers vrais des étoiles. Le texte du Commentaire sur Ai-atus x\c(\\i rien de semblable, et quant aux d(' tcrminalions qu'ildonne, ellesne sontpasassezprécises pour qu'llipparfpic n'ait pu les obtenir par de tout autres procédés.

Au reste, Geminus semble avoir voulu, contrairement à la tradition, faire rentrer la Sphérique dans la Géométrie; il ne parle pas non plus d'une découverte géométrique très importante pour l'Astronomie, celle des projections stéréographiques. On la suppose connue d'Hipparque d'après la lettre de Synésius sur le don d'un astrolabe (-); mais ce témoignage n'est guère suffisant pour trancher cette question, qui se trouve liée à celle de l'invention de l'astrolabe planisphère.

Quant à la troisième branche de l'Astrologie énumérée par Geminus, la Gnoinoniqiie, nous n'avons absolument aucun Ouvrage grec. Cependant, il y avait déjà, de son temps, une littérature très nombreuse, et toutes les inventions possibles semblent avoir été déjà faites, si l'on en juge par le passage où V'itruve (IX, 9) les énumère sous des noms où, malheureusement, il est bien difficile de les reconnaître. Quelques cadrans solaires anciens, notamment sphériques, coniques et celui en forme de jambon (^), sont, en revanche, parvenus jusqu'à nous; mais c'est seulement en étudiant la Gnomonique des Arabes que l'on peut arriver à se former une idée précise de celle des Grecs.

■i. Je reviens à l'Optique, (|ue Geminus divise en Optique proprement dite, Catoplrique et Scénographique.

(') Astr. anc, I, p. i^a-i^S.

(^) Cet astrolabe de Synésius n'est appelé ainsi que par un tlranf^c al)us (le mots; c'est simplement une représentation de la sphère céleste, ou du moins de la partie visible, sur un cône, soit par projection, le sommet du cùne étant au pôle boréal, soit par perspective, le sommet du cône et le point de vue étant sur l'axe du monde. La description de Synésius ne permet pas de décider; c'est par une inadvertance singulière que Victor Prou a admis une projcriion r vliiirlri(|m'.

( ) Cadran portatif. Voir Montucla, 2" édition, t. I, p. -j-î'\.

Je ne reproduis pas le tr»'-s long fragment (i 3, i4) des Variœ Collectiones [Héron, éd. IIullscli, p. 249-252), que je crois avoir été emprunté à Geminus par l'intermédiaire d'Anatolius (*), et qui se retrouve aussi dans V Optique de Damianns; j'y relève seulement que, comme dans l'hypothèse admise par les mathématiciens traitant de l'Optique, les rayons visuels sont supposés partir des veux pour aller à l'objet vu; il y avait, au reste, en dehors des trois branches énumérées, un ensemble de théories, distinctes au fond de l'Optique proprement dite, c'est-à-dire des lois delà vision, mais v rentrant en raison de la similitude de leur objet et de leurs hypothèses (-), et traitant de Tillumination et des ombres, des miroirs ardents et même des lentilles ardentes, très nettement indiquées. Les anciens s'occupaient aussi des points brillants ((x/iaXeiç) et de la réfraction. Mais cette dernière théorie était à peine constituée et se bornait à peu près à des discussions physiques; l'explication de l'arc-en-ciel (c'est-à-dire des essais impuissants comme celui des Météorologiques d'Aristote) rentrait de même dans la Catoptrique,

Si, de toutes ces théories accessoires, il ne nous reste aucun Traité, pour rO/J>/i^^^<? proprement dite et pour la Catoptrique, nous possédons les Ouvrages attribués à Euclide; le second ne semble pas authentique, mais Geminus connaissait certainement une Catoptrique sous le nom d'Euclide, et ce Traité ne devait guère être supérieur à celui qui nous reste*, car les hypothèses des anciens étaient trop insuffisantes pour leur éviter des erreurs même grossières. La Catoptrique de Héron n'en est pas exempte, quoiqu'elle soit, d'ailleurs, bien au-dessus de celle du Pseudo- Euclide. On doit y signaler la proposition géométrique citée par Damianus, que la ligne suivie de l'œil à l'objet par un rayon réfléchi sur un miroir est un minimum (•').

(') II a déjà été traduit par Th. -H. Martin dans les notes de ses Recherches sur la vie et les Ouvrages de Héron d'Alexandrie.

(») Geminus parait dailleurs les rattaclier à la Catoptrique, en tant que la vision est indirecte pour ces phénomènes.

(') Le principe de légalité des angles pour la réflexion semble n'avoir été connu que peu de temps avant Euclide; Aristote dit que ces questions n'ont été élucidées que récemment, mais lui-même ne paraît guère avoir d'idées nettes, et ne parle nullement du principe d'égalité.

— (iO —

En somme, puiir 1 Optique, les anciens n'uni bien cunnu que les lois de la jjerspective et la théorie des miroirs plans; à cet cg;ard, aucun progrès n"a été réalisé depuis H('ron, par exemple dans les Optiques de Ptolémée (') et de Daniianus.

La perspective appliquée était appelée scénographiqiœ. D'après Vitruve (Vil), le premier écrit sur la matière aurait été composé par vin Agalharque, vivant du temps d'Eschyle, c'est-à-dire dans la première moitié du v^ siècle avant J.-C. Anaxagore et Démocrile l'auraient ensuite traitée méthodiquement. Vitruve n'indique pas d'Ouvrages plus récents (-); il ne devait cependant pas en manquer; en tout cas, nous n'avons aucun document sur le développement réel de cette application de la Géométrie.

Des autres parties accessoires de l'Optique, il nous reste encore des fragments d'Ouvrages relatifs aux. miroirs ardents, question que la tradition fait remonter à Archimède, et qui a été, chez les anciens, l'objtît de sérieux travaux (^). Diodes, antérieur à Geminus, avait écrit un Traité Ilsp'. TruoEtov dont Eutocius a extrait la solution de deux problèmes (duplication du cube; partage d'une sphère en deux segments de rapport donné), dont on ne voit guère la liaison avec le sujet. Au vi'' siècle de l'ère chrétienne, Anthémius composa un Ouvrage Sur des machines étonnantes, dont il nous reste quelques débris précisément relatifs à celte question des miroirs ardents, et où l'on trouve, pour la première fois, la proposition sur l'égalité des angles de la tangente à la parabole avec le rayon vecteur et la parallèle à l'axe. Il v a donc, pour la date de la découverte de celte proposition, une question intéressante sur laquelle je me propose de revenir.

Pour le moment, je me contente de remarquer que, si la Catoptrique du Pseudo-Euclide se termine par un théorème oCi l'on essaye de prouver que, dans un miroir sphérique convexe exposé au soleil, le foyer sera au centre, une erreur aussi grossière ne

( ' ) La reconnaissance delà réfraction atmosphérique, dans les termes où la fait Ptolémée, n'a d'intérêt qu'au point de vue physique.

(^) Peut-être faut-il conclure de ce qu'il dit que la Perspective était surtout traitée par les architectes, comme elle le fut aussi à la Renaissance.

(') Si la légende d'Archimède brûlant la flotte romaine est insoutenable, il est très possible que le Syracusain ait construit des miroirs ardents et même écrit sur ce sujet. On lui attribue des Catoptriques où il aurait parlé de la réfraction atmosphérique.

- (il —

peiil èlie allribuef aux géomètres anli^i'icurs à 1 èvv cliréLienne. A la vérité, leur hypolliése sur la marche des rayons visuels était pour eux une cause d'erreur inévitable dans la détermination de l'image sur les miroirs spliériqucs, mais pour le foyer des miroirs ardents cette cause d'erreur n'existait pas. D'autre part, il y a certainement eu des expériences faites, et la situation du foyer a dû être mieux reconnue.

o. Il ne me reste plus qu'à passer rapidement en revue les branches de la Mécanique, au point de vue des applications de la Géométrie.

En premier lieu, Geminus parle des engins de guerre. Si Archimède n'avait pas décrit ses célèbres inventions, la littérature, sur ce sujet, n'en était pas moins riche; elle remontait même avant lui, puisque Vitruve (X), qui donne d'ailleurs d'assez précieux détails, en général, sur la Mécanique grecque, cite deux ingénieurs d'Alexandre le Grand, Diadès et Charias.

Les écrits grecs de cette nature qui nous restent ont été réunis dans les Afathematici vetei^es de Thévenot (Paris, lôpS); on pourrait croire qu'une bonne partie est du temps de l'empire romain; mais, si l'on écarte deux compilations sans importance réelle ('), tous les auteurs, sauf un, sont antérieurs à l'ère chrétienne (- ).

Nous avons ainsi : d'un Biton, qui avait aussi écrit sur l'Optique, un Traité de la construction des engins de guerre et des catapultes, dédié à un des rois de Pergame (un Altale) ; de Philon de Byzance, contemporain de Ctésibios, deux Livres analogues, seul reste d'un Ouvrage beaucoup plus étendu; de Héron d'Alexandrie, les BîXoTuoiiy.a {Sur les armes de jet) et un Traité sur la CJiirobaliste ('); enfin d'un Athénée, un Livre sur les machines de guerre.

Il est à remarquer que la solution du problème des deux

(') Les fragments des Gestes de Julius Africanus, et le Traité anonyme sur la défense des place fortes.

( = ) Le seul postérieur est Apollodore, qui vivait au ii° siècle, sous Fempereur Adrien. Il a traité des machines pour l'attaque des places fortes.

(') Sorte d'arbalète restituée par Victor Prou [Xot. et extr. des Mss. de la Bibl. nat. XXVI, 2 (1877) et XXXI (i88'i}].

moyennes |)ru[)orlionnellcs d'après IMiilon, (|irEul()cius nous a conservée, figurait dans le premier Livre, aujourd'hui |)ordu, de son Ouvrage; celle de Héron se retrouve dans les B-Xo-ouxot ([U(î nous avons, mais il devait l'avoir insérée également dans ses Int roc/ action s inécaniques.

La seconde branche de la Mécanique, indiquée par Geminus, est caractérisée parles noms de Ctésibios et de son disciple Héron, et par son but qui est bien celui de deux des Ouvrages de ce dernier, aussi édités dans les MaUietnatici veteres, à savoir les Pneumatiques et les Automates. L'ingénieur mécanicien s'y propose bien moins de décrire des applications utiles que des objets d'amusement, de véritables jouets ou encore des artiQces propres à entretenir la superstition. Ces deux Livres répondent exactement à deux des subdivisions de la Thaumatopœïqae de Geminus; la troisième devait être représentée par un Livre de Héron, aujourd'hui perdu, rispi ^uy'^'^'^-

Geminus fait aussi allusion : à la théorie de l'équilibre et des centres de gravité, créée par Archimède dans ses Ouvrages qui nous restent sur l'équilibre des plans et dans son Traité perdu Sur les balances ('); à un autre Traité, également perdu, du grand Syracusain, à sa célèbre Sphéropée, qui décrivait un appareil, mû par l'eau, où les mouvements célestes étaient représentés dans une sphère de verre; enfin à divers autres Ouvrages qui traitaient des mouvements. ^

6. En dehors des Traités que nous avons énumérés, c'est d'après le Livre VHI de la Collection mathématique de Pappus qu'on ])eut se faire l'idée la plus précise de la Mécanique des anciens et se rendre compte du rôle capital qu'y jouaient les recherches purement géométriques.

Pappus reconnaît d'ailleurs pour la jMécanique une division à peu près analogue à celle de Geminus; s'il place en première ligne l'art des manganariens, c'est-à-dire des constructeurs de machines servant à l'élévation des fardeaux (des moufles en particulier), il se réfère à cet égard aux anciens, et c'est bien là ce

(') Ih;>t Cj-,'à)v, Pappus, loGS.

— (ii! —

(ju ail Ifiiips doCu'mmiis, cl aprcs l'Iiiloii cl llrioii, on eiiloiulail proprement sous le nom de mécaniques. Pappiis parle ensuite, comme branches suivantes, de la fabrication des engins de guerre et des macbines proprement dites ('), de celle des ôaûaaTa, enfin de la s|)héropée. C"c.>t bien la même série d'ap[)licalinns cpn; donne Geminus, et, pour les Oauaa-a, Pappus fait aussi une subdivision analogue, en indiquant les Ouvrages précités de Héron; seulement, il cite aussi le Traité d'Archimède Elspi o/ouyivcov (dont le texte grec est perdu) et celui de Héron sur les horloges à eau. Si ce dernier, que nous n'avons plus, pouvait avoir en réalité un but pratique (-), il est bien à remarquer que l'objet des admirables recherches d'Archimède sur les centres de gravité et les métacentres des segments de paraboloïdes flottant sur l'eau est de faire la théorie de petits jouets donnant des effets ])aradoxaux d'équilibre ou d'instabilité; à cet égard, ce Traité peut tout à fait être comparé aux Zuyia ou aux Ouvrages analogues de Héron.

Le Livre YHI de Pappus, au reste, paraît à peu près en totalité emprunté à des sources antérieures à l'ère chrétienne (3), surtout à Héron d'Alexandrie, et les manuscrits se terminent par des extraits des Mécaniques de ce dernier; c'est là que se trouvent décrites les cinq puissances simples des anciens : le treuil, le levier, la moufle, le coin et la vis sans fin (''), tandis que plus haut Pappus avait donné la théorie d'une machine passablement complexe d'après le BapouÀxo;(\) de Héron. C'est dans ces Ouvrages

(') P. io2'|, 22. Il faut, je crois, enlciidre les machines de guerre, d'après l'usage de ia langue. La parenlhcsc qui suit dans le texte, et d'après laquelle il s'agirait de machines pour l'épuisement de l'eau, me semble une interpolation malencontreuse, quoiqu'il y eût certainement des traités sur la matière. Mais Vitruve (X), qui essaye précisément de distinguer les machines et les engins (organa), appelle engins les machines d'épuisement.

(^) Mais il semble bien, qu'au lieu de chercher à assurer une marche bien réglée des horloges, les anciens se soient surtout préoccupés d'obtenir des effets curieux, comme l'apparition de figures indiquant les heures, etc.

(') C'est dans son Vil" Livie que Pappus énonce, comme èlant de son invention, le théorème ordinairement connu sous le nom de Guldin.

(*) Ces extraits ne semblent pas l'œuvre de Pappus.

(') Tireur de fardeaux. Celte machine se compose d'un treuil, actionné par un équipage de cinq roues dentées, dont la dernière est commandée par une vis sans lin mue par une manivelle. Héron a inséré partie de son Traité sur cette machine dans son Ouvrage Sur la Dioptre. Le Bapoù).xoç existe encore en arabe.

— (jl —

perdus de 1 ingénieur alcviiiidiiii ('«jinnu- dans cfiix analogues de IMulon que se trouvaient réunies les connaissances de Mécanique pratique des anciens, et, après eux, ces connaissances ne semblent guère avoir réellement progressé.

7. L'histoire de la Mécanique pratique dans l'antiquité ( ') offre au reste une double obscurité. Un premier point ne sera probablement jamais éclairci d'une façon suffisante, car les documents manquent pour déterminer la date réelle des inventions fondamentales; il semble, toutefois, qu'elles doivent, en thèse générale, être regardées comme très antérieures à Archimède, sauf toutefois celle de la vis. Mais une autre question, non moins grave, est susceptible d'être élucidée, au moins dans une très large mesure, par l'étude approfondie des documents qui nous restent. Comment les anciens pouvaient-ils suppléer, dans la pratique, à l'insuffisance de leurs connaissances théoriques?

Pour ces dernières, leur histoire est suffisamment claire; les combinaisons de mouvements, au point de vue cinématique, ont été connues de très bonne heure (-), et les Grecs y ont déplovi' une grande ingéniosité; mais ils n'ont jamais précisé le concept de vitesse.

Le génie d'Archimède créa la théorie de la composition des forces parallèles, des centres de gravité et celle de l'équilibre des corps flottants. Mais l'antiquité n'alla pas plus loin; non seulement les premiers principes de la Dynamique ne furent pas soupçonnés, mais la composition statique des forces concourantes fui toujours ignorée, et l'explication des machines se borna à l'extension du principe d'équilibre du levier, qui est le point de départ des travaux. d'Archimède, mais peut cependant avoir été reconnu avant lui, au moins empiriquement (•' ).

( ' ) Je me borne à signaler sur celte matière les intéressants travaux de M. linchas d'Aiglun.

(') Le plus ancien exemple est la distinction du mouvement propre des planètes et de leur mouvement diurne par l'école pythagoricienne; le système des sphères concentriques d'Eudoxe, pour représenter les mouvements célestes, offre des combinaisons déjà très savantes, et un passage de Platon (Lois, X, SgS, d) prouve également que, dès son temps, la théorie examinait les ras les plus compliqués.

{') Il se trouve énoncé dans les Mécaniques à' Kr\sU)ie . et l'explication du coin s'v trouve ramenée d'une façon fl'aillenrs inexacte.

Il \ a dotu' mit' >mi;tilièrc cxaij;éralion à tillrihuer aux anciens un piessenliment cflcclif d'un principe comme celui des vitesses virtuelles. 11 suffit de remarquer qu'ils étaient incapables de faire la théorie si simple du |)lan incliné.

Voici comment Pappus (p. io5-) traite cette question. Un corps de poids P est traîné sur un plan horizontal par une force Vf. Pour connaître quelle force sera nécessaire pour lui faire gravir un plan incliné sur l'horizon d'un angle a, il suppose que ce corps est une sphère, et, menant une verticale par le point de contact de cette sphère et du plan, il détermine, d'après le principe du levier, le poids qui, appliqué à l'extrémité du rayon perpendiculaire à cette verticale, empêcherait la sphère de descendre.

Ce poids est P -. La force cherchée serait dès lors, d'après

^ 1 — sina ' r

Pappus,

\ I — sinx/' 1 — sina

Un résultat aussi manifestement erroné, déduit de raisonnements en apparence géométriques, nous montre bien tout ce qui restait à faire avant Stevin et Galilée sur la question la plus capitale de la Statique. Si Archimède avait su ramener à des problèmes géométriques la recherche de l'équilibre dans le cas de forces parallèles, les essais faits après lui dans le même sens ont été des plus malheureux ; on n'en doit qu'admirer d'autant plus la puissance de son génie.