Arrêtons-nous aux branches étraniièrcs à la Géométrie, et

considérons (|ikI> li'avanx jioiivaionl los rcprcscnlcr aux veux de Geminns.

Pour l'ArllIiiiuiicjuc, ol sous ce mol, on doit cnicndro simplement, au sens ancien, l'enscmlile des propositions préliminaires à ce que nous appelons la théorie des nombres, on ne peut penser qu'aux Livres VU à IX des Eléments d'Euclide. Si d'ailleurs on y joint le petit et médiocre opuscule de Diophante Sur les nombres polygones, lequel s'est substitué à un travail perdu d'Hypsiclès sur le même sujet, c'est tout ce qui nous reste de l'Arithmétique scientifique des anciens, dont l'enseir^nenient était exactement modelé sur celui de la Géométrie. Des Introduclions, analogues à celles de Nieomaque, existaient peut-être déjà, mais doivent être écartées ici.

Comme type de la Canonique, nous avons également un Traité d'Euclide, luDivision du canon (KaTaToarj -/avovoc), conçu de même suivant le modèle géométrique ; ce Traité ne donne qu'une forme spéciale de la gamme, mais il n'est complété pour les autres par aucun des Ouvrages musicaux assez nombreux que l'antiquité nous a laissés et qui s'écartent tous plus ou moins de la forme euclidienne.

Pour la Logistique, au contraire, nous n'avons rien que des noms incertains et le mode de son enseignement nous est absolument inconnu. Si l'on devait le considérer aussi comme donné conformément au type géométrique, on pourrait citer l'opuscule d'Apollonius analysé dans le Livre II de Pappus, et qui posait des règles pour la multiplication des grands nombres; mais, quoique le mot de Logistique, ait été repris au xiv" siècle par le moine Barlaam comme titre d'un Traité conçu suivant la même forme euclidienne, il est bien plutôt probable que chez les anciens la Logistique s'enseignait comme la Géodésie, c'est-à-dire sans démonstrations, sur des comptes et des problèmes numéi-iques.

Le fait n'est pas douteux pour la Géodésie, puisque l'ensemble de la collection héronienne reproduit évidemment, comme forme, un type consacré, dont le premier modèle doit être cherché dans le papyrus mathématique égyptien traduit par Eisenlohr. Or ce papyrus est bien plus une Logistique qu'une Géodésie; d'autre part, la collection héronienne renferme un certain nombre de questions

— is -

qui apparliennenl j»roj)ronieiil à la Loi;isli(|ii(' fi (|iil n'en sonl pas moins Irnilccs sur le même lypc que les autres ( ' ).

7. Le seul renseignement un peu précis sur le contenu d'uiif Logistique ancienne doit être cherché dans un scholic sur le Cliarmide de Platon (p. 5I:^, 02), qui reproduit avec une importante addition le IV. 9 des Variœ collectiones et doit donc être regardé comme provenant de la même source, c'est-à-dire d'Anatolius. Je donne la traduction de ce scholie avec celle d'un autre fragment d'Anatolius sur la Logistique.

« Sur la Logistique, .

(V. G. 9 — Scholie sur le Charmide). — « La Logistique est la théorie qui traite des dénombrables et non des nombres ; elle ne considère pas ce qui est réellement le nombre, mais suppose ce qui est un comme unité et ce qui est dénombrable comme nombre (ainsi 3 pour la triade, 10 pour la décade), et y ramène les théorèmes de l'Arithmétique. Elle examine donc, d'une part, ce qu'Archimède a appelé le problème des bœufs, de l'autre, les nombres méliles ei phialites, les uns sur des fioles, les autres sur des troupeaux (-); de même, pour les autres espèces de corps sensibles, elle considère les cjuotités et prononce comme pour des objets absolus (xÉXïia).

(') On peut notaiiimcnt citer :

1° Les méthodes attribuées à Pythagore et à Platon pour la formation des triangles rectangles en nombre {Héron, p. 56-5y ) :

n--{- ( ) =( j' si 71 est impair (Méthode de Pythagore) ;

/(--h ( - ) — I —(")"*"' ' S' " est pair (.Méthode de Platon).

2° Le problème de la citerne alimentée par deux tuyaux (p. igj).

3° Les problèmes d'Analyse indéterminée 78 et 79 du Liber geeponicus (p. 218- 219).

(^) Le mot [jir)),ov signifie soit pomme, comme mouton ; mais les problèmes ont dû plutôt porter en principe sur des pommes. Dans les Lois, VII (819, 6-c), Platon conseille, d'après l'exemple des lOgyptiens, l'emploi clTcctif de pommes et de fioles pour exercer les enfants à résoudre des problèmes numériques.

(Scliolii^ sur le Cliarniidc.) — « Elle a : comme matière loiis les dénombrahles ; comme parties les méthodes dites Iiellcniques cl égyptiennes pour les multiplications et les divisions, ainsi que les additions et décompositions des fractions, ce par quoi elle recherche les secrets des problèmes qu'offre sa matière en ce qui concerne les triangles et les polygones. Elle a pour but ce qui est utile dans les relations de la vie et dans les affaires, quoiqu'elle semble prononcer sur les objets sensibles comme s'ils étaient absolus. »

(V. G. lo). Quelle est la matière de la Logistique?

« C'est, a-t-on déjà dit, tous les dénombrahles. Comme il peut v avoir dans cette matière un minimum analogue à l'unité de l'Arithmétique, elle se sert de l'un comme minimum des objets homogènes sous une même pluralité. Ainsi elle pose un homme comme indivisible dans une pluralité d'hommes, mais non pas absolument; une drachme comme indivisible dans une pluralité de drachmes, tandis qu'elle se divise en tant que monnaie. »

8. Je n'insiste pas sur les rapports entre ces fragments et le passage correspondant de l'extrait de Geminus par Proclus ; il est évident qu'Anatolius a suivi Geminus dans une certaine mesure; malheureusement on ne peut déterminer exactement jusqu'à quel point il a pu s'en écarter ( ' ).

Je relève avant tout la distinction entre les méthodes égyptiennes et helléniques pour la multiplication et la division ; avant le travail d'Eisenlohr sur le papyrus mathématique égyptien, on se serait en vain demandé en quoi consistait cette distinction. Aujourd'hui on peut conjecturer que les méthodes égyptiennes ne sont autres rpie celles du papyrus, cest-à-dire pour la multiplication, la duplication successive avec sommation, pour la division un procédé tout aussi grossièrement élémentaire.

La méthode hellénique doit être au contraire celle de la multiplication figure par figure (-), d'après une table des pioduits apprise par cœur, avec le procédé inverse pour la division. Si cette

(') La question serait particulièrement intéressante pour l'authenticité du fameux problème des bœufs clArchimètle.

( = ) Toutefois, en commençant par les ordres les plus élevés; le système inverse, le notre, n'offrait pas, avec la numération écrite des Grecs, d'avantages décisifs. T. 7

conjorliire est exacte, il v a ]à une j)reuve srrieiise que les Grecs avaient, pour les calculs, des aptitudes aussi grandes que pour la Géométrie, car leur invention, si simple quelle soit, n'en constitue pas moins un progrès immense.

Les (( additions ou décompositions de fractions » se rapportent évidemment au calcul des suites de quantièmes, que les Grecs avaient empruntées aux Egyptiens j)our représenter les fractions, et qu'ils ont conservées jusqu'au xiv*^ siècle, à coté du mode de représentation moderne, lequel constitue également une invention grecque.

Après ces quelques mots sur les parties essentielles et primitives de la Logistique, le fragment du scholie passe aussitôt à la désignation du genre des questions les plus complexes quelle abordait. Dans les problèmes sur les triangles et les polygones ('), nous ne pouvons méconnaître la matière des questions de Diophante sur l'analyse indéterminée ; l'existence de Livres, antérieurs au père prétendu de l'Algèbre et traitant des mêmes sujets, est donc bien constatée ; car le fragment est évidemment d'une date antérieure aux Aril/unétiques, quoique Diopliante ait pu être contemporain d'Anatolius.

Dans le même ordre de questions rentre évidemment aussi le problème des bœufs d'Archimède indiqué plus haut comme l'infranchissable limite des efforts du logisticien. Quant à la lacune que semble offrir le fragment pour ce qui concerne les problèmes du premier et du second degré, elle se trouve comblée par l'indication des nombres mélites el p/n'a/ites.

9. Avec ces faibles indices, nous pouvons peut-être apprécier un peu mieux quel fut le réel degré d'originalité de Diophante.

Tout d'abord il a intitulé son Ouvrage 'AptOarjTixot, alors que la matière en avait été jusqu'à lui considérée comme appartenante la Logistique. Celte innovation est plus qu'une simple affaire de mots; elle révèle le sentiment très juste que la matière dont il

(') Qui coiiii'iciHicnt les carrés, pciit-clre omis par inadvrrlancc du copiste. Les

Irianslcs doivcut designer, au reste, non seulement les nomlircs triangles ,

j mais aussi les Irianfles rectansles en nomltrcs.

s'ii<jll appartient à la science ahslraile et [)rinior(Ii;ilc cl non pas à une science appliquée et concrète, que cette nialière doit au moins être placée sur le même niveau que celle (jui formait le sujet des spéculations de Nicomaque et de ses imilatcurs.

Elle annonce un changement dans la forme et dans la méthode : en effet, les nombres de Diophante, sauf une seule exception ('), sont abstraits; avant lui, d'après les indications du fragment, ils étaient concrets. Les énoncés étaient donc, au moins en général, sous forme d'historiettes (-), comme on en rencontre déjà dans le papyrus mathématique égyptien, comme le seront plus tard les énoncés hindous, et aussi tant d'autres chez les Arabes et les mathématiciens du moyen âge; les noms des inconnues [mélites, pliialites, des bœufs) leur étaient assignés sous forme concrète.

D'autre part, Diophante a sans doule, autant qu'il lui était possible, réagi contre l'habitude des loglstlciens de donner des solutions sans démonstrations. Quoique trop souvent celles qu'il propose ne soient pas suffisamment expliquées, la marche analytique qu'il suit, est, en général, satisfaisante et réellement scientifique.

A la vérité, on ne peut dire que ces innovations dans la forme et la méthode lui soient dues ; il ne se les attribue nullement, elles restent donc des Inventions anonymes et déjà peut-être anciennes de son temps. Mais, à moins de supposer qu'Anatolius ait copié Gemlnus aussi servilement que l'a fait Procius, ce qui, pour ma part, me paraît assez invraisemblable, il faut bien admettre que l'ancienne Ibrnie d'énoncés prédominait toujours de son temps, comme aussi le système d'exposer les solutions sans explication, système qui, chez les Egyptiens, les Hindous, les Arabes et au moyen âge, a généralement accompagné les énoncés sous forme concrète.

Diophante a donc trouvé devant lui, comme matériaux, de "nom-

(') Le problème \, 33, celui dont renonce est versifié.

(^) Mises assez souvent en vers, comme le problème des bœufs, et aussi comme lesépigrammes arithmétiques de {'Anthologie, dont une bonne partie peut d'ailleurs être d'une rédaction postérieui'e à Diophante; il n'en est pas moins clair que ce sont des problèmes analogues à ces épigrammes, c'est-à-dire du premier degré, qui sont indiqués par la mention des nombres méliles et pliialites.

hrcux problèmes eL même des plus coni[)le\es; mais, comme l'orme et comme mélliode, il n'avait que de rares précédenls; ce qui explique assez bien et le succès de son Ouvrage, et la disparition à peu ])rès complète des traces de travaux antérieurs analogues.

J'ajoute que jusqu'à la fin de l'empire byzantin (*), quoiqu'on ne discutât pas le titre cVArithmétif/aes adopté par Diophante, on a toujours fait, entre la matière qu'il traitait et celle de l'Aritlimétique théorique, une distinction profonde, revenant dans une certaine mesure à celle que Geminus établissait entre cette science et la Logistique. On n'a jamais reconnu le lien intime que la théorie des nombres devait établir entre les deux sujets.

Ainsi, dans un fragment inédit d'un commentaire anonj'rae sur Nicomaque, l'auteur, qui a commencé par copier Analolius pour la définition de l'Arithmétique, pour sa matière et ses divisions, qui, par suite, nous répète un dernier écho de Geminus, continue comme suit :

« Le nombre est de deux sortes, soit mesurant, soit mesuré (ainsi lo mesure, si c'est lo unités; il est mesuré si c'est, par exemple, dix pièces de bois ou dix feux); le but du présent Traité (Nicomaque) est de discourir sur le nombre mesurant ; quant au mesuré, Diophante l'étudié dans les treize Livres de son Arithmétique (-). »

Ainsi il n'avait servi de rien à Diophante de ne traiter que des nombres abstraits; ils valaient toujours chez lui comme concrets; la distinction traditionnelle entre l'Arithmétique et la Logistique subsistait encore, alors même que le profond abîme qui les séparait àl'orioine se trouvait désormais comblé de fait.

(•) Par exemple: Rhabdas au xiv° siècle (manuscril 2i'28 de la Bibliothèque Nationale), Lettre à Tzavoukhe.

(') Manuscrit 2372 delà Bibliothèque Nationale, fol. 55. — Tôv yàp [JL£Tpoû[;.£vov àpi8(j.ov AtôçavTo; èv toïç ôÉxa -/ai xpiaîv a-JTOÙ pi,S),toii; t?,; àpiôaïiTtxïiç TrapaSiSwcriv.