LIVRE SECOND

Pour la troisième et la quatrième, au lieu de la li},^ne A G il faut prendre

Fig. io.

AH (fig. 21 et 22) de l'autre côté du point A, à savoir du même qu'est le point F; et il y a ici de plus à observer que cette ligne AH doit èive plus grande que A F, laquelle peut même être nulle, en sorte que le point F se rencontre où est le point A en la description de toutes ces ovales. Après cela les lignes A R et AS étant égales à AH, pour décrire la troisième ovale A 3 Y, je fais un cercle du centre H, dont le rayon est égal à S6, qui coupe au point 3 celui du centre F, qui passe par le point 5; et un autre dont le rayon est égal à S 8, qui coupe celui qui passe par le point 7 au point aussi marqué 3, et ainsi des autres. Enfin, pour la dernière ovale, je fais des cercles du centre H, dont les rayons sont égaux aux lignes R6, R8, et semblables, qui coupent les autres cercles aux points marqués 4.

On pourroit encore]trouver une infmitéjd'autres moyens pour décrire ces mêmes ovales; comme par exemple, on peut tracer la première AV (fig. 20),

Fig. 30.

lorsqu'on suppose les lignes FA et A G être égales, si on divise la toute F G au point L, en sorte que FL soit à LG comme A5 à A6, c'est-à-dire qu'elles

aient la proportion qui mesure les réfractions. Puis ayant divisé AL en deux parties égales au point K, qu'on fasse tourner une règle comme EF autour du point F, en pressant du doigt C la corde EC, qui étant attachée au bout de cette règle vers E, se replie de C vers K, puis de K derechef vers C, et de C vers G, où son autre bout soit attaché, en sorte que la longueur de cette corde soit composée de celle des lignes G A, plus AL, plus FE, moins A.F; et ce sera le mouvement dii point C qui décrira cette ovale, à l'imitation de ce qui a été dit en la dioptrique de l'ellipse et de l'hyperbole; mais je ne veux point m'arrêter plus long-temps sur ce sujet.

Or, encore que toutes ces ovales semblent être quasi de même nature, elles sont néanmoins de quatre divers genres, chacun desquels contient sous soi une infmité d'autres genres, qui derechef contiennent chacun autant de diverses espèces que fait le genre des ellipses ou celui des hyperboles; car selon que la proportion qui est entre les lignes A5, A6, ou semblables, est différente, le genre subalterne de ces ovales est différent; puis selon que la proportion qui est entre les lignes Aï' et A G ou AH est changée, les ovales de chaque genre subalterne changent d'espèce; et selon que AG ou AH est plus ou moins grande, elles sont diverses en grandeur; et si les lignes A 5 et A6 sont égales, au lieu des ovales du premier genre ou du troisième, on ne décrit que des lignes droites; mais au lieu de celles du second on a toutes les hyperboles possibles, et au lieu de celles du dernier toutes les ellipses.

Les propriétés Outre cela, en chacune de ces ovales il faut considérer deux parties qui

de ces ovales ont diverses propriétés; à savoir en la première, la partie qui est vers A touchant les r r ? r

réflexions (fig. i8), fait que les rayons qui étant dans l'air viennent du point F, se

et les retournent tous vers le point G, lorsqu'ils rencontrent la superficie convexe réfractions. r ? ^i / • /.

d'un verre dont la superficie est lAl, et dans lequel les réfi^actions se font

telles que, suivant ce qui a été dit en la Dioptrique, elles peuvent toutes

être mesurées par la proportion qui est entre les lignes A5 et A6 ou sem-

blal^ies, par l'aide desquelles on a décrit cette ovale.

Mais la partie qui est vers V fait que les rayons qui viennent du point G

se réfléchiroient tous vers F, s'ils y rencontroient la superficie concave d'un

miroir dont la figure fût IVl, et qui fût de telle matière qu'il diminuât la

force de ces rayons selon la proportion qui est entre les lignes A5 et A6;

LIVUE SIXONO. 45

car de ce qui a été démontré en la Dioptri([iio, il est évident (juo, cola posé, les angles de la rédexion soroient inégaux, aussi bien que sont ceux de la réfraction, et pourroicnt être mesurés en môme sorte.

En la seconde ovale la partie 2A2 (fig. 19) sert encore pour les réflexions dont on suppose les angles être inégaux; car étant en la superficie d'un miroir composé de même matière que le précédent, elle feroit tellement l'éfléchir tous les rayons qui viendroient du point G, qu'ils semhleroient après être réfléchis venir du point F. Et il est à remarquer qu'ayant fait la ligne AG beaucoup plus grande que AF, ce miroir seroit conv<;xe au milieu vers A, et concave aux extrémités; car telle est la figure de cette ligne, qui en cela représente plutôt un cœur qu'une ovale.

Mais son autre partie X2 sert pour les réfractions, et fait que les rayons qui étant dans l'air tendent vers F, se détournent vers G en traversant la superficie d'un verre qui en ait la figure.

La troisième ovale sert toute aux réfractions, et fait que les rayons qui étant dans l'air tendent vers F (fig. 91), se vont rendre vers H dans le

verre, après qu'ils ont traversé sa superficie dont la figure est A3Y3, qui est convexe partout, excepté vers A où elle est un peu concave, en sorte qu'elle a la figure d'un cœur aussi bien que la précédente; et la différence qui est entre les deux parties de cette ovale consiste en ce que le point F est plus proche de l'une que n'est le point H, et qu'il est plus éloigné de l'autre que ce même point H.

En même façon la dernière ovale sert toute aux réflexions, et fait que si

Démonstration des propriétés de ces ovales touchant les réflexions et réfractions.

les rayons qui viennent du point H (fîg. 22) rencontroient la superficie concave d'un miroir de même matière que les précédents, et dont la figure fût A4Z4, ils se réfléchiroient tous vers F.

Fig. 23.

De façon qu'on peut nommer les points F et G ou H les points brûlants de ces ovales, à l'exemple de ceux des ellipses et des hyperboles, qui ont été ainsi nommés en la Dioptrique.

J'omets quantité d'autres réfractions et réflexions qui sont réglées par ces

mêmes ovales, car n'étant que les converses ou les contraires de celles-ci,

elles en peuvent facilement être déduites. Mais il ne faut pas que j'omette

la démonstration de ce que j'ai dit; et à cet effet prenons, par exemple, le

point G (fig. i6) à. discrétion en la première partie de la première de

ces ovales; puis tirons la ligne droite GP qui coupe la courbe au point G à

angles droits, ce qui est facile par le problème précédent; car prenant h

pour AG, c pour AF, c + z pour GF, et supposant que la proportion qui est

entre d et e, que je prendrai ici toujours pour celle qui mesure les

réfractions du verre proposé, désigne aussi celle qui est entre les lignes A5

et A6 ou semblables, qui ont servi pour décrire cette ovale, ce qui donne

g h — -z pour CG, on trouve que la ligne AP est

hcd} — 'bcde + hd'z

ce^

cd- + bde — e^z + d^:

ainsi qu'il a été montré ci-dessus (p. 40). De plus, du point P ayant tiréPQ à angles droits sur la droite GF, et PN aussi à angles droits sur CG, considé-