X* + 4aî

car >j est 4, -v/* est 8, p est 17, et 7 est 20, de façon que

Et tirant les racines de ces deux équations, on trouve toutes les mêmes que si on les liroit de celle où est x*, à savoir, on en trouve une vraie qui est 1/7 + 2, et trois fausses qui sont

1/7 — 2, 2 + \/2, et 2 — |/2.

Ainsi ayant

pourceque la racine de

jf Sy' — 124^- — 64 = 0 est derechef 16, il faut écrire

X* — 4x + 5 =: 0 et

Car ici

+ 2 '^' ~ 2^' ~ é ^""'^ ^' ^* "^ 2 ^' ~2^' "^ è ^''* '^' Et pourcequ'on ne trouve aucune racine, ni vraie ni fausse, en ces deux

Livnr: TRoiriiKMi:. {)'.)

doruières équations, on connoît de là ([iio les qii,ilr<' di; rér[ii;ttii»n doid flics procèdent sont imaginaires, et que le piohiènie pour k-r|iicl on l'a lrf)uvée est plan de sa nature, mais qu'il ne sauroit en aucune façon vivo roiislruit, à cause que les quantités données ne peuvent se joindre. Tout de même ayant

|)Ourcoqu'on trouve a- -f- c- pour ?/*, il faut écrire

z^- — Va" + c'2 + 7 cC- — \ a Va^ + c' = 0, et

-- + Va^ -k- c-z + \ a- -h -a Vo} -f- c- = 0, 4 1

car 7 est |/a^ + c% et + - 7- -f- - p est V a', et ~ est - a Ka*

i: ' ii 4 2?/ 2

d'où on connoît que la valeur de z est

ou bien

- Ka* + c* + 1/ — ^^ a- -h - c- + - a Ka' -f- c' ,

- Va^ -+- c' — 1/ — - a- H- 7 c' + - a Va^ h- c-. 2 y 2 4 2

Et pourceque nous avions fait ci-dessus r 4- - a = x-, nous apprenons que

la quantité x^ pour la connoissance de laquelle nous avons fait toutes ces

opérations, est

Mais afin qu'on puisse mieux connoître l'utilité de cette règle il faut que Eiempie^e

^ l'usage de ces je l'applique à quelque problème, rédactions.

Si le carré AD (fig. 26) et la ligne BN étant donnés, il faut prolonger le côté AC jusques à E, en sorte que EF, tirée de E vers B, soit égale à NB : on apprend de Pappus, qu'ayant premièrement prolongé BD jusques à G,

Fig. 20.

en sorte que DG soit égale à DN, et ayant décrit un cercle dont le diamètre

soit BG, si on prolonge la ligne droite AC, elle rencontrera la circonférence

de ce cercle au point E qu'on demandoit. Mais pour ceux qui ne sauroient

point cette construction, elle seroit assez difficile à rencontrer; et, en la

cherchant par la méthode ici proposée, ils ne s'aviseroient jamais de

prendre DG pour la quantité inconnue, mais plutôt CF ou FD, à cause que

ce sont elles qui conduisent le plus aisément à l'équation ; et lors ils en

trouveroient une qui ne seroit pas fiicile à démêler sans la règle que je viens

d'expliquer. Car posant a pour BD ou CD, et c pour EF, et x pour DF, on

a GF = a — a;, et comme CF ou a — x est à FE ou c, ainsi FD ou x est

ex à BF, qui par conséquent est Puis à cause du triangle rectangle BDF

dont les côtés sont l'un x et l'autre a, leurs carrés, qui sont x- + a', sont

c*cc'

égaux à celui de la base, qui est — ; ~ : ; de façon que, multipliant

® ce' — 'zax + a^

le tout par x — 2aas + a% on trouve que l'équation est

x'' — 2ax' + 2a-x' — 2a^x + a'' := c^x*', ou bien

x' — lax" + {1a^ — C-) x^ — la'x + a' = 0;

et on connoît par les règles précédentes que sa racine, qui est la longueur de la ligne DF, est

LIVIU'. ti!()isii:;mi.:. 'J\

Que si on posoil TîF, ou CK, ou BK, pour I,i quaulil.'- inconnue, on viondroil diMOchef ;'i une ('"([ualion en iiKjuolle il y auroit quatre rliinensions, mais qui scroit plus aisée à démêler, et on y viendroit assez aisément; au lieu (|ue si c'étoit DG qu'on supposât, on viendroit l)eaucoup plus difficilement à l'équation, mais aussi elle seroit très simple. Ce que je mets ici pour vous avertir que, lorsque le problème proposé n'est point solide, si en le cherchant par un chemin on vient à une équation fort composée, on peut ordinairement venir à une plus simple en le cherchant par un autre.

Je pourrois encore ajouter diverses règles pour démêler les équations qui vont au cube ou au carré de carré, mais elles seroienl supei-fiues; car lorsque les problèmes sont plans on en peut toujours trouver la construction par celles-ci.

Je pourrois aussi en ajouter d'autres pour les équations qui montent nègie

jusques au sursolide, ou au carré de cube, ou au-delà, mais j'aime mieux fi*^'"'''*''' i^"''

réduire les les comprendre toutes en une, et dire en général que, lorsqu'on a tâché de équations qui

les réduire à même forme que celles d'autant de dimensions qui viennent passent le

carré de carré, de la multiplication de deux autres qui en ont moins, et qu'ayant dénombré

tous les moyens par lesquels cette multiplication est possible, la chose

n'a pu succéder par aucun, on doit s'assurer qu'elles ne sauroient être

réduites à de plus simples; en soite que si la quantité inconnue a trois

ou quatre dimensions, le problème pour lequel on la cherche est solide,

et si elle en a cinq ou six, il est d'un degré plus composé, et ainsi des

autres.

Au reste, j'ai omis ici les démonstrations de la plupart de ce que j'ai dit, à cause qu'elles m'ont semblé si faciles que, pourvu que vous preniez la peine d'examiner méthodiquement si j'ai failli, elles se présenteront à vous d'elles-mêmes; et il sera plus utile de les apprendre en celte façon qu'en les lisant. Fa^.on

Or, quand on est assuré que le problème proposé est solide, soit que -'^"'^'''^''î i^"""

l'équation par laquelle on le cherche monte au carré de carré, soit qu'elle tous les

ne monte que iusques au cube, on peut toujours en trouver la racine par problèmes

^ "^ ^ . solides réduits

l'une des trois sections coniques, laquelle que ce soit, ou même par quelque à une équation

partie de l'une d'elles, tant petite qu'elle puisse être, en ne se servant au Jdroisou

reste que de lignes droites et de cercles. Mais je me contenterai ici de donner dimensions.

une règle générale pour les trouver toutes par le moyen d'une parabole, à cause qu'elle est en quelque façon la plus simple.

Premièrement, il faut ôter le second terme de l'équation proposée, s'il n'est déjà nul, et ainsi la réduire à telle forme

z^ = ... apz ... a'^q, si la quantité inconnue n'a que trois dimensions; ou bien à telle

z'" =^ ... apz^ ... a^qz ... aV, si elle en a quatre; ou bien, en prenant a pour l'unité, à telle

z'= ...pz ... 7,

et à telle

qz

Après cela, supposant que la parabole FAG (fig. 27) est déjà décrite, et que son essieu est A CD KL, et que son côté droit est a ou 1 dont AC est la moitié, et enfin que le point G est au dedans de cette parabole, et que A en

Fig. 57.

est le sommet; il faut faire CD = -p, et la prendre du même côté qu'est

le point A au regard du point C, s'il y a + j9 en l'équation ; mais s'il y a — p, il faut la prendre de l'autre côté. Et du point D, ou bien, si la quantité /> étoit nulle, du point C (fig. 28) il faut élever une ligne à angles droits

jusques à E, en sorte qu'elle soit égale à -q. Et enfin du centre E il iaut