XLIV. — Placer les centres de similitude \ etY^de deux
circonférences 0(R), O'(R').
En se reportant à la- construction XXIX (deuxième méthode), on voit que ces points se déterminent par le symbole :
(*) Cette question est Tune de celles que j'ai déjà traitées (Congrès d'Oran, -1888, p. 93, construction XXX\, et Bulletin de la Soc. math, de France, t. XVI, 1887-88, p. 163); mais, quelque simple qu*elle soit, j'avais donné un symbole trop compliqué, parce que j'avais adopté une autre construction usuelle, aussi simple que celle-ci à exprimer ; mon attention n'étant pas alors fixée comme maintenant sur les différences qui existent entre les diverses constructions fondamentales, j'avais choisi et évalué la première construction classique qui m'était venue à l'esprit, la regardant, sans examen, comme équivalente aux autres: il y a des erreurs analogues dans beaucoup des constructions que j'ai données jusqu'ici. Celles de ce mémoire sont les plus simples que j'ai pu trouver, mais elles ne sont fixées, comme les plus simples effectivement, que tant que ies géomètres n'en auront-pas trouvé de préférables. C'est un petit travail expérimental qui sera fait très rapidement, parles uns et par les autres, si la question intéresse. Il y a deux ans, j'ai eu à ce sujet une assez longue correspondance avec M. G. Tarry et je saisis cette occasion de le remercier, car un grand nombre des simplifications que j'ai faites ici m'ont été indiquées par lui dans cette correspondi^nce.
É. LEMOINË. — LA GÉOMÉTROGRAPHIE 33
Op. : (6Rt + SRj -f- 4Ci + 2C3) ; simplicité 15 ; exactitude 10 ; 3 droites, 2 cercles.
Un seul des deux centres se déterminerait par :
Op. : (4R, + 2R, + iC, + QC,).
XLV. — Tracer les quatre aoces de similitude de trois circonférences
données 0(R), O'(R'), 0"{W').
a) En déterminant les centres de similitude par la construction précédente, remarquant qu'il n'y a besoin que de placer les quatre centres de similitude de 0(R) et 0''(R"), de O'(R') et de 0"(R"), que O'O n'est pas utile à tracer, on a le symbole:
Op. : (20Ri 4- IOR2 + lOCi + eCj) ; simplicité 46 ; exactitude 30 ; 10 droites, 6 cercles.
b) On peut opérer un peu plus simplement.
Je trace 00', 0'0\ 00'' . \ . op. : (6Ri4-3R,).
Par 0'' je mène une parallèle à 00' . op. : {2R, + R^ + 40^ +. 20,) ; dans 0' et 0" et dans et 0" j'ai des diamètres parallèles.
J'ai donc les quatre centres de similitude par . . . op. : (SR^ -(- 4R2), et les quatre . axes alors par op. : (SR^ + 4R2),
En tout : op. : (24Ri + I2R2 -f 40^ -f ^C^) ; simplicité 42 ; exactitude 28 ; 12 droites, 4 cercles.
XLVI. — Deux points XetB étant placés sur une droite, placer le conjugué harmonique C d*un point donné G, par rapport à k et à 1^.
Je trace une droite quelconque CDE passant par C, puis deux droites quelconques passant par A : l'une qui coupe CD en D, l'autre qui coupe la même droite en E op. : (3Ri -f- SRj).
Je trace DR, EB op. : (4Ri -f 2Rj).
DB coupe AE en F, EB coupe AD en 6, je trace FG qui coupe AB en C ....... op. : {m, + R,).
En tout : op. : (9Ri -j- 6R2); simplicité 15 ; exactitude 9; 6 droites.
Nous venons de donner, dans ce qui précède, les principales constructions, c'est-à-dire celles que Ton rencontre le plus souvent pour exécuter une solution; aussi, avec leurs symboles, tout calculés ici, il sera facile et court de trouver le symbole total d'une construction quelconque; notons que ces symboles fondamentaux ne dfevront jamais être employés sans examen; ils pourront, le plus souvent, être simplifiés par les circonstances particulières de l'épure que Ton exécute, à cause des lignes déjà tracées, ete»
3& ASSOCIATION FJIANÇAISE POUR L'AVANCEMENT DJSS SCIENCES
Nous alloDs compléter cette étude par quelques applications prises un peu au hasard et par quelques remarques qui permettront de comprendre mieux Tesprit et, je Tespère, l'utilité de notre méthode.
XLVn. — Les deux extrémités A et B du côté d'm carré étant placées,
placer les deux autres sommets C e^ D.
Je décris (fig. 9) A(AB), B(AB) qui se coupent en K; je décris K(AB)
qui coupe B(AB) en G .... .
.jo/ \ op. ; (4Ci + 3C,).
^^^-JS.'""" t~^^-. i J^ tr^ce AG qui coupe A(AB,
^ \ / l>f^( en I. .... op. : (2K, + R,).
\ /l j ^ . Je trace K(KI) qui coupe B(AB)
..-^ / en C et A(AB) en p. ......
..' ; \ /' op. : (2Cj + Cj).
^^.4^.-'"" I y En tout :
^ i "- -'|b'' Op. : (2R, + R, + 6C, + 4C,) ;
^^ simplicité 13; exactitudes;! droite,
4 cercles.
Nous tenons cette construction simple de M. Eugène Calalan, qui nous a dit ravoir trouvée eh 1847.
En ajoutant le symbole ; op. : (6R^ -\- SR»), elle pourrait servir à construire le carré ABCD sur une base donnée, à très peu près aussi simplement que par la construction ordinaire qui peut se faire — en la conduisant convenablement — par le symbole :
Op. : (6R1 + 3Rs -I- 7Ci + 5C,) ; simplicité 21 ; exactitude 16 ; 3 droites, S cercles.
Par tout ce qui précède, on voit déjà qu'il y a bien un véritable nrt des constructions géométriques, que nous appelons la GéométrographiCy qui, quoique n'ayant point été remarqué jusqu'ici, repose sur des principes d'une simplicité extrême; son importance tient, non principalement au temps qu'en le pratiquant, on peut gagner dans la construction d'une figure, ce qui, à certain point de vue, est un détail, mais surtout à l'exactitude plus grande qu'il permet d'atteindre en réduisant au minimum le nombre des opérations à effectuer. Enfin, il présente l'avantage d'être un critérmm pour juger de la simplicité d'une construction. Le besoin de ce critérium sera démontré quand on remarquera que 7a plupart des, corntractions célèbres par leur simplicité et leur élégance ne sont pas ordinairement les plus simples à construire qui soient connues. On les a cru simples parce qu'elles s'énonçaient simplement en faisant image et se retenaient sans difficulté; nous citerons, par exemple, la célèbre construc^ tion de M. Chastes, pour placer les axes (en grandeur et en position) d'une ellipse dont deux diamètres conjugués sont placés en grandeur et en
£. LEMOINE. — LA GÉOMÉTROGRAPHIE 35
position; elle n'est pas ]a plus simple à construire, il s'en faut; Ton en connaissait de plus simples... sans que Ton s'en doutât.
XLVIII. — Voici cette construction telle qu'elle est donnée dans V Aperçu hiêtoriquie, note 25; j'y ajoute les lettres nécessaires à l'intelligence de. ce que nous avons à dire,
^ a) Par l'extrémité A d'un des deux demi-diamètres conjugués donnés, on mène une droite perpendiculaire au second diamètre OB . . . . < .
. . op. : (2R, + R,4-3C,-f3C,);
on porte sur cette perpendiculaire, à partir du point A, deux segments
AC, AD égaux à ce second diamètre. op. : (3Ci + C3);
on joint le centre aux points G etD op. : (4R4.-|-2Ra);
on divise en deux parties égales, par deux nouvelles droites, l'angle COD et son supplément .op. : (4Ri -j- ^Rj + iC^ + iCj).
,Ces deux nouvelles droites seront en direction les deux axe» principaux de l'ellipse. La somme des deux premières droites OC et OD, sera le grand axe de l'ellipse, leur différeDce sera égale au plus petit.
Le géomètre s'arrête là, ayant indiqué des constructions dont le symbole est. . . .op.: (lORi -f 5R2 + lOCi -f 8C,).
Mais voici ce qui reste à faire au constructeur pour fixer les axes à leur place, en grandeur :
Tracer le cercle 0(0D) qui coupe OC eti deux points E et F de façon à avoir la longueur CE du petit axé et la longueur CF du grand axe .... . op. : (2C, 4- C3).
Diviser CE et CF en deux parties égales, ce qui, puisqu'elles ont C pour extrémité commune^ peut se faire par. op. : (4Ri + 2Ra + 3Ci + SCj),
Prendre les demi-longueurs ainsi déterminées des axes et les porter chacune sur l'axe convenable, choix très simple à faire, mais dont le géomètre ne parle pas op. : (GCi + SCa).
Quand il s'est arrêté, il restait donc à construire.
op. : (4R, + 2Ra + "C, + 6C,),
c'est-à-dire un peu plus des deux tiers de ce qui -était indiqué.
La construction totale, économiquement menée d'après nos principes, se résume par le symbole :
Op. : (14R, + 1^^ + 21C, -f 14C8); simplicité S6; exactitude 35; 7 droites, 14 cercles.
Il est clair qu'une des choses qui complique l'application, à la construction particulière dont il s'agit, de Télégant théorème du maître', c'est que ce sont les axes qui sont trouvés par lui, et qu'il faut les demi-axes pour la construction, puis il faut encore reporter jeurs longueurs en position sur OC et sur OD ; c'est un détail pour le géomètre spéculatif, mais point pour celui qui trace l'épure.
36 ASSOCIATION FRANÇAISE POUR l' AVANCEMENT DES SCIENCES
Nous nous proposons quelque jour de comparer les très nombreuses solutions qui ont été données du même problème afin de déterminer quelle est la plus simple, et de faife le même travail pour divers problèmes célèbres; en attendant, nous donnerons, de ce même problème, une solution due à M. Mannheim, qui est beaucoup plus simple que la solution classique de Chasles et qui se trouve dans les A^. A,, 1878, p. 529.
b) Soient om, on les deux diamètres conjugués donnés.
De m j'abaisse une perpendiculaire md sur on {d étant sur on), je porte
sur cette perpendiculaire (dans le sens dm) me = no, ^
. . . .'. . op.: (2R, + R, + 6C, + 4C,).
Sur oe comme diamètre, je trace une circonférence dont le centré est i
et je trace im qui coupe cette circonférence en c et en ^ •
op. : (6R, + 3R, + ^i + 4C,).
• Je trace oc, og, ce sont les axes en position .... op. : (4Ri -f" âR^).
Les distances me et mg (que je n/ai pas besoin de tracer) sont les longueurs des demi-axes.
.(e porte les longueurs wic, mg sur les directions respectives des axes qu'elles représentent et ces axes se trouvent placés aussi en grandeur. . op.: (6G,-f 2C,).
En tout : op. : (12R, + BRj + 16Ci + ^Cj) ; simplicité 43 ; exactitude 28 ; 6 droites, 9 cercles.
M. Mannhdm n'avait pas indiqué, non plus, dans l'article cité, quelle était celle des deux droites oe et og qui était le graiid axe; mais il a complété la solution (voir N. A., 1889, p. 329) en montrant que la direc- > tion du grand axe est celle de la droite qui joint o à celui des deux points c ou ^ qui limite la longueur du petit axe.
Cette solution complète est la plus simple de celles du même problème dont nous avons évalué la simplicité, mais rien ne prouve qu'il n'y en ait pas ou que l'on n'en trouve pas de plus simples encore.
Nous avons dit plus haut que l'art des constructions géométriques ou Géométrographie reposait sur des principes de la plus extrême simplicité; la digression à propos des constructions de MM. Chasles et Mannheim nous a fait différer l'énoncé de ces principes; les voici :
1® Dans chaque construction, ne tracer aucune ligne inutile, c'est-à-dire employer, quand on le peut, soit les lignes tracées de la figure donnée, soit celles déjà tracées dans le cours de la construction.
Corollaire : tracer, quand cela se peut, tous les cercles d'une ouverture de compas prise lorsque leurs centres sont placés, quoique le tracé de ces cercles ne se présente que plus tard dans le développement logique de la solution ; il faut donc, ainsi que nous l'avons déjà dit, que l'on fasse l'étude préalable de la question par une sorte de croquis raisonné de la construction.
É. LEMOINE, r^ 'LA GÉOMÉTROGRAPHIE 37
2® Choisir celles des solutions d'un même problème dont V ensemble des constructions conduit au symbole le plus simple.
8^ Examiner^ dans chaque problème, tous les cas particuliers de données qui peuvent se présenter et simplifier . alors le symbole général poi*r ces cas particuliers. .
Cette discussioQ dans les problèmes un peu. complexes» comme» par exemple, le problème d'Apollonius (cercles tangents à trois cercles donnés) est fort délicate, et c'est le meilleur exercice dé sagacité et de discussion que Ton puisse proposer aux élèves.
^ iP Dans la recherche du symbole général d'une construction,. n'employer que des constructions générales, à moins que Von démontre qu'une solution particulière s'applique toujours au problème que l'on examine.
Ainsi, par exemple, si dans une construction générale il y a à tracer les polaires de points par rapport à des cercles, il faudra adopter, pour le symbole général du tracé de ces polaires soit a, soit b de la construction XXXIX, et non c qui est plus simple, mais ne s'applique que si la distance du pôle au centre est plus grande que la moitié du rayon; à moins, bien évidemment, que Ton ne démontre que cette circonstance se présente toujours dans le problème général que Ton étudie,
8** Pour une construction effectuée avec des données particulières, profiter de toutes les constructions particulières plus simples que les constructions générales qui peuvent s'appliquer dans le cas où Von se trouve.
Il y a évidemment à faire une étude générale de procédés pour arriver à des constructions simples; rien n'est encore fait à ce point de vue, nous allons seulement donner ici un exemple pour faire comprendre clairement notre pensée.
• Examinons les deux problèmes : Prendre une droite n fois plus grande ou une droite n fois plus petite qu'une droite donnée BC ; n étant supposé entier.
Les constructions XXX et XXXI sont assez compliquées et surtout donnent lieu à une grandeprobabilité d'erreur lorsque n est un peu considérable; il y a donc lieu de chercher si l'on ne peut trouver d'autre mode de constructions dérivant des propriétés de certaines figures ou des valeurs du nombre n et qui donneraient un meilleur résultat pratique.
Supposons, par exemple, que nous ayions à tracer une droite qui soit
le 7-, de BC et, en même temps, une droite qui soit le jz de BC, Par la 10 15
construction XXXI je construis B^Ci qui soit le ^ de BC
op.: (2R, + 2R, + HC, + 13C,),
et pour avoir le — de BC, je n'ai qu% diviser BjC^ au point N' entre B^ ef C^
lo
de façon que ^-rr' = -; N'C^ sera -j^- Je peux, pour diviser Bfi^ dans le
rapport de 1 à 2, employer le procédé suivant plus simple que le procédé général donné pour diviser une droite donnée dans un rapport donné. Par Bj je mène une droite quelconque B^A' et sur B^A' je marque un point quelconque M' en prenant B^M' = M'A'
;^ op. .• (R, +R, + C,+C, + C3)?
je prends le symétrique A" de A' par rapport à C^ et je trace A"M' qui
coupe Bfii en N' op. : (4Ri + 3R, + 2Ci + C,).
En tout : op. : (5Hi + 3Kj ■+ 3C, + C, + aCj) pour diviser Bfi^ en N'
dans le rapport de 2 à 1. J'aurai ainsi obtenu le ^r: et le j^ de BC par le
syinbole :
Op. : (7Ri + 8R, + UC^ + C, + ISÇ,); simplicité 42 ; exactitude 22; S droites, 18 cercles.
Autre méthode. — Je prends BC entre les branches du compas et A
étant un point quelconque; je trace A(BC) (fig. 10} \ puis d*un pointe quelconque de A(BC), je trace C'(BC) qui coupe A(BC) en B', et je trace B'C qui coupe C'(BC) en D, puis AC, AB', op. :
(6R,+3R,+2C,+C,+2Ca).
Je plaœ le milieu H de AC et le milieu E de AB'. . .
op. : (2R, + R, + 2C, + C,)
Fia. 10.
en me servant des cercles A(BC), C'(BC) pour avoir H, et décrivant A(AH) pour avoir E, je trace ED coupant AC en F ; HD coupant B' en G ;
ED, GF qui se coupent en I ; DI qui coupe AB' en K, AC en L
op. : (lOR, -f 5R,);
on a KG =: 4 BC, KE = i BC.
En tout: op. : (18Ri + 9R, + 4Ci + G, + 3C,) ; simplicité 35 ; exactitude 23 ; 9 droites, 3 cercles.
Soit M le point où GF coupe B'C.
11 est évident que cette figure donne bien d'autres divisions de BC,
par exemple : HF = GE = IH = | BC; MC = JE = FC = | BC;
LA =^BC; LC = |bC; LH =:^BC; W
|bC,.«=|;
É. LEMOINE. •— LA GÉOMÉTROGBAPHIE . 39
