XXXVI. — Diviser une droite AB en moyenne et extrême raison
a) Par la méthode classique :
Je prends le milieu w de AB et j'élève en B une perpendiculaire à AB. .
op. :(4R,+2R, + 4C, 4.4C8).
Sur la perpendiculaire à AB menée en B, je prends Bw = BO et je trace (o(B0) op. : (3Ci + aCs).
Je trace Aw qui coupe (o(B0) en deux points ^ et m, l étant entre A et w
op. :(2R, + R,).
Je trace A(A/) qui coupe AB en M entre A et B . . .op. : (2Ci + Cj).
AM et BM sont les segments cherchés.
Op. : (6R1 + 3R2 + 9Ci + TCa) ; simplicité 2S; exactitude 18; 3 droites,
cercles.
b) Voici un moyen qui m'a été indiqué par le général Parmentier, mais le symbole en est un peu plus comphqué.
J'élève en B une perpendiculaire à AB et je prends sur elle BC — 2AB, la bissectrice de l'angle CAB coupe BC enD; je prends sur BA, BM = BD; M est le point cherché.
c) La construction suivante est la plus simple que je connaisse ; elle s'appuie sur ce théorème : Si la longueur de la tangente menée du point M à un cercle est égale à la longueur d'une corde AB de ce cercle, corde pas^ sant par M, MA et MB sont les plus grands segments (additifs ou soustractifs)(U AB divisée en moyenne et extrême raison (M, B, A se succédant dans cet ordre).
Je décris (fig. 8) A(AB), B(AB) qui se coupent en C et C ; je décris C(AB) op. : (4Q +3C8).
FlO. 8.
Je mène par A la tangente à C(AB), pour cela je décris C'(AB) qui coupe
B(AB) en D et je trace AD op. : (2Ri + R, + C^ + C,).
C'est la tangente cherchée , elle coupe A(AB) en E.
Je décris C(CE)
. op.: (2C, +C,)
qui coupe BA en M. Comme la .tangente menée de M à C(AB) a même longueur que AE, et par suite que AB, AM est la longueur du plus grand segment de AB divisé additivement en moyenne et extrême raison.
Je décris donc A(AM) qui me donne sur AB le point de division cherché P op. : (2Ci + C,).
En tout : op. : (2Ri + R, + BC^ + BC,); simplicité 18 ; exactitude li ; 1 droite, 6 cercles.
Remarque. — Cette construction est beaucoup plus simple que la construction classique, cependant il peut sembler, en regardant la figure ^, qu'elle soit plus compliquée ; cette apparence tient à ce que, dans la figure 8y nous avons tracé toutes les lignes dont on. se sert, tandis que, pour la figure classique, qu'on est habitué à voir, on dit simplement : je mène en B une perpendiculaire à AB, je porte sur cette perpendiculaire
une longueur égale à la moitié de AB, etc., mais on ne trace sur la
il . <■ »
figure aucune des lignes auxiliaires nécessaires à ces opérations; si on les trace toutes, la plus grande complication du procédé classique saute immédiatement à Toeil ; une remarque analogue s'appliquerait à presque toutes les questions que nous traitons dans ce mémoire.
XXXVIL — Tracer par un point P une droite passant par le point de rencontre de deux droites données que l'on ne peut prolonger jusque-là.
Ce problème a reçu un très grand nombre de solutions. Voici celle dont le symbole est le plus simple parmi celles que je connais ;
Soient AA'A", BB'B'', les deux droites données :
Je mène deux droites quelconques A'B', A"B" se coupant en I, puis une autre droite lAB quelconque, mais passant en I. .op. : (R^ -|- 3R,).
Je trace PA' et PB' qui coupent AIB respectivement en E et en F; puis A''EetB"F qui se coupent en F op. ; (8Ri + 4R,).
Je trace PP' qui est la droite cherchée op. : (2Ri -|- Rj.
Op. : (lIRi + 8R,) ; simplicité 19; exactitude H ; 8 droites.
É. LEMOmE. — LA GÉO MÉTRO GRAPHIE 29
XXXVIIL — Placer le point A' réciproque du point donné A par rapport
à un cercle donné de rayon R et de centre 0.
^ Deux cas à examiner :
Je trace A(AO) qui coupe 0(R) ea B et en C.
Je trace B(R), C(R) qui se coupent en et en A . A' est le point cherché.
Op. : (5Ci + 3C,); simplicité 8; exactitude 5; 3 cercles,
. Je trace OA ; je trace A(R) qui coupe 0(R) en B
..••••. op. : (2R, +R, +3C, + C,).
Je ttace B(R) quîjcoupe 0(R) en D et D'; je trace DD' qui coupe OA en A'. op. : (2Ri -f Rj -f Cl + Ce).
En tout : op. : (4Ri + 2Rj + 4Ci + 203); simplicité 12; exactitude 8 ; 2 cercles, 2 droites.
Ainsi, dans la recherche du symbole général d'une construction, c'est ce dernier symbole qu'il faudra adopter pour compter la recherche du réciproque d'un point A par rapport à un cercle de rayon: R, s'il ne résulte
pas des données générales que OA > ^ •
Voici une construction qui s'applique aussi quel que soit A, mais elle est un peu plus compliquée.
Je trace un cercle de centre A coupant le cercle donné en B et en C. Je trace AB, AC qui coupent le cercle dpnné ^n B' et en C
. op; : (4R, + 2R, + C, + C3).
Je trace B'C, C'B qui se coupent en A' op. : (4Ri + 2Rj).
Op. : (8R1 + 4Rj, + Cl + Cj); simplicité 14 ; exactitude 9; 4 dçoijes, 1 cercle.
XXXIX. — Tracer la polaire d*un point A par rapport à une circonférence
de centre et de rayon R.
a) Par A je mène deux droites quelconques : la première coupant la circonférence en B et B', la seconde en G et C • . . op. :.(2Ri + 2Rj). Je trace B'C et BC se coupant en D, et BC, CB' se coupant en E. Je trace ED, c'est la polaire cherchée.
Op. : (12Ri + 7R,) ; simplicité 19 ; exactitude 12 ; 7 droites.
b) Je peux aussi, D étant marqué comme précédemment, abaisser une perpendiculaire de D sur A (sans tracer A) . .
op. : (2R, + R, + 4C, + âCs).
En tout : op. : (SR^ + S R^ + 4Ci + 20,) ; simplicité 19 ; exactitude 12 ; 5 droites, 2 cercles.
Je n*ai pu trouver de construction générale de la polaire d'un point donné A par rapport à un cercle qui soit plus simple que ces deuxrlà.
C'est par erreur que j'indique IS comme Simplicité, dans ma note de
Mathesis, 1888, page 222. Je n'avais pas remarqué le cas où 0A<;-3«
D y a un grand nombre de constructions particulières du même problème.
c) Construction non générale applicable dans le cas où Ton a : OA >> -^ •
Je décris A(OA) qui coupe le cercle donné en R et en C.
Je décris R(R), C(R) qui se coupent en A' réciproque de A ..... • :. op. : (SC, + 3C,).
Je trace OC qui coupe C(R) en D; je trace DA'. . . op. : (4Ri -|- 2R^) ; c'est la polaire cherchée. . .
Op. : (4Ri + 2R2 + 5Ci + aCa); simplicité 14; exactitude 9; 2 droites, 3 cercles.
Si A est extérieur au cercle donné, on peut aussi tracer un cercle sur OA comme diamètre; l'intersection des deux cercles est la polaire cherchée; le symbole est alors :
Op. : (6R1 + 3Ra 4" ^1 + SCs) ; simplicité 16 ; exactitude 10 ; 3 droites, 3 cercles.
XL. — Placer le pôle L d*une droite XY par rapport à une circonférence
donnée de centre et de rayon R.
Deux cas à considérer :
1° XY coupe le cercle 0(R) en M et en N.
Je mène la tangente en M au cercle 0{R) (voir construction XXV) . . . op. : (2R, + R, + 4Ci + 3C3).
Je trace le cercle N(R) qui coupe en 0' le cercle M(R) tracé pour avoir la tangente en M . . ., op. : (C^ + Cj).
Je trace 00' op. : (m^ + RJ ;
00' coupe la tangente en M au pôle cherché L.
Op. : (4Ri + 2Rj + SC^ + 4C8) ; simplicité 15 ; exactitude 9; 2 droites, 4 cercles,
2** XY ne coupe pas le cercle 0(R). (Cette solution s'applique même si • XY coupe le cercle 0(R) pourvu que la distance de à XY soit supé-
rieureà-^j.
É. LEMOINE. — LA GÉOMÉTROGRAPHIE 31
De j'abaisse sur XY une perpendiculaire dont le pied sur XY est Fet qui coupe 0(R) en K du même côté de que F. .... . J . . . .- .>
op. : (2R, + R, + 3C, + 3C3).
Je décris F(FO) qui coupe 0(R) en H ; je décris H(R) qui coupe OF en L ........ ... ............ . op. : (4G, + aCa).
L est le pôle cherché ; car les deux triangles isocèles semblables OFH,
OHL ont le côté commun OH, donc ÔH^ ou R« = OL . OF. .
Op. : (2Ri + Rj + 7Ci + SÇ^) ; simplicité IS ; exactitude 9 ; 1 droite, S cercles.
Ces deux cas constituent par leur ensemble une construction générale de simplicité IS, car si l'une n'est pas applicable, l'autre l'est..
n y a encore un grand nombre de constructions générales pour le même problème, mais je n'en connais pas d'aussi simples que les deux que je donne ici.
XLI. — Tracer Vaoie radical de deux circonférences données 0(R), O'(R').
Je tracé deux circonférences : a)(p), (o'(p') qui coupent chacune les deux circonférences données, etc.
Op. : (lORi + 5Rj + âCs); simplicité 17; exactitude 10; 5 droites, 2 cercles.
Si les circonférences se touchent, le symbole se réduit à celui de la taagente au point de contact op. : (2Ri + Rj -f ^Cj + SCg).
Si elles se coupent, à op. : (2Rt -j- R»)-
XLÏÏ. — Placer le centre radical de trois circonférences R^, R^, R,.
a) Rj, Ra, Rj sont extérieures l'une à l'autre, ou bien l'une, Rg, par exemple, est tangente à l'une seulement des deux premières.
On trace les deux circonférences «(p), u)'(p') du problème- précédent de façon qu'elles coupentles trois circonférences données ; on trouve :
Op. : (16Ri + 8R, + 2Cs).
b) Ri et Ra sont extérieures et Rj touche R^ et Rj, ou elles se touchent deux à deux.
Je trace co(p) seulement; au moyen de (o(p), je construis un point K^ de l'axe radical de R^ et R^ ; je joins Kj au point de contact L^ de R^ et de R3. Lj étant placé en traçant 0^ O3. . . . op. : (SR^ -|- 4Ra + Cs).
De même, je construis un point Kg de l'axe radical de Rg et R3 et je joins Kg au point de contact Lj de Rg et de Rj . . . op.: (6R1 + 31^2)- En tout : Op. : (16Ri + SR^ + C,).
c) Ri, Rj se coupent, R, est extérieur.
32 ASSOCIATION FRANÇAISE POUR l'aVAIHCEMENT PES SCIENCES
Je trace «(p), <*)'(p') ; je détermine l'axe radical de Ri et de R^ ou de Rg et de Rj qui coupe Tintersection de Ri et de Rj au point cherché.
Op.: (i6Ri + 8R, + 2C3).
d) Ri, Ra se coupent, R, touche Tune des deux premières ou toutes
les deux.
Je ne trace que (o(p) et je détermine avec cette circonférence Taxe radical de deux circonférences se touchant :
Op. : (8Ri + 4R. + C«).
e) Ri, Rj, Rj se coupent deux à deux :
Op. : (4Ri + 2R,).
XLni. — Placer un point M donné par ses coordonnées cartésiennes x, y
relatives à deux axes donnés ox, oy»
Je prends OA = a? sur Taxe des a? . . . . . . . .op. : (3Ci + C,).
Je prends OB = y sur Taxe des y . . . . . . . . op. : (3Ci + Cj^
Je décris A(y) ................ op.: (Csrf C,,.
Puis, reprenant x entre les branches du compas, je décris B{x)
• . . op.: (3Ci-f C3).
A(y) et B{x) se coupent en M :
Op. : (lOCi -)- 4C8) ; simplicité 14 ; exactitude 10 ; 4 cercles.
Si je me sers de deux compas^ je n*ai pas à reprendre ir, mais à me servir du premier; j'économise ainsi 2Ci et j'ai seulement;
Op. : (8C1 + 4C,) (*).
