LVI. — Placer le point de Steiner

Je me sers de la proposition suivante (Mathesis, 1889, p. 69, dans l'article qui est la reproduction traduite du chapitre de : A Sequel to the first six books of the Emlide, par M. J. Casey, S® édition).

Des sommets A, B, C du triangle comme centres avec des rayons respectifs a, b, c, je décris des cercles qui se coupent deux à deux sur le cercle circonscrit en A^, B^, C^, ; BC et Bfii se coupent en Aj ; AAj coupe le cercle circonscrit au point de Steiner.

Je trace A(BC), B(CA), C(AB) qui se coupent deux à deux en A^, B^Xi op. : (9C, + 3C,).

Je trace B^Ciqui coupe BC en Aa,puis je trouve AA,, op. : (4Ri -j- 2R2).

Je trace C^Aj qui coupe AC en B^, puis je trace BB,, op. : (4Ri + 2R2).

AAa et EBjj se coupent au point de Steiner qui est ainsi donné par lé symbole :

Op. : (8R1 + 4R, + 9Ci + aCj) ; simplicité 24; exactitude 17; 4 droites, 3 cercles.

LVn. — Placer le point de Tarry.

Je trace le cercle circonscrit .... op. : (4Ri + 2Rj + SC^ + 4Cj). Je trace le cercle A(BC) qui coupe le cercle circonscrit en B^ et Ci . . .

. op. : (3C, + C).

Je trace B^C^ qui coupe BC en A^, je trace AAj qui coupe le cercle circonscrit au point R de Steiner op. : (4Ri + 2R8).

Je trace le diamètre RO du cercle circonscrit op. : (2R4 -f- ^s) ?

l'extrémité opposée à R est le point de Tarry.

Op. : (lORi + 6R, + 8C1 + «Ca); simplicité 28; exactitude 18; 5 droites, 5 cercles.

É. LEMOINE. — LA GÉOMÉTROGBAPHIE 47

Remarquons que lorsque Ton place ainsi le point de Tarry, le point de

Steiner se trouve préalablement placé par le symbole

op. : (8R, + 4R, + »C, + SC,),

symbole simple, mais cependant un peu moins que celui que nous venons de donner.

■ s 2S LVni, — Construire la longueur -^ ou ^^ dam un triangle.

Soit A' le pied de la hauteur abaissée de A surBC; A^ et A^ les projections

S de A' sur AB et sur AC : on aura A,' A' = - •

L'intersection de B(BA) et de C(CA) donnera A^ symétrique de A par

rapport à BC; traçons AA^ ; on aura A'. . op. : (2Ri 4-^2 + ^^x + ^Ca).

L'intersection de B{BA') et de A(AA') donnera A^'^ symétrique de A'

par rapport à AB ; traçons A'A^^, qui coupera AB en A^

op. : (2R, + R, + 4C, + 2C,).

On aura de même A^ par op. : (2Ri + R, + 4Ci + ^Cj),

S et A'^A^ (qu'il n'est pas besoin de tracer), c'est-à-dire — est obtenu par:

Op. : (6R1 + 3R2 + 12Ci + SCs); simplicité 27; exactitude 18; 3 droites, 8 cercles.

Si l'on remarque que A'^^A'^^ = —, on s'aperçoit que ^ peut être

S construit plus simplement que - ; en effet, je construis A' comme précédemment par .... = . op. : (2Ri -f- Rj -(- 4Ci + 2C3),

puis A^ç et A'^^ en opérant ainsi :

Je construis A(AA'), puis B(BA') qui coupe A(AA') en A'^^, puis C(CA') qui coupe A(AA') en A'^^ ; , . op. : (BCi-f-SCa).

En tout : op. : (2R4 + Rj + lOCj + 5Cs) ; simplicité 18; exactitude 12; 1 droite, 5 cercles.

Je ne donne cette construction LVIU que comme exemple très simple

des remarques que peut susciter l'application d'une construction, et aussi

pour montrer l'utilité qu'il y a à conserver dans la mémoire, ou de noter

la valieur d'un assez grand nombre d'éléments du triangle, afin d'abréger,

à l'occasion, les constructions.

S ^K Si je n'avais pas utilisé la valeur de A^A^, je n'aurais construit ^ = 9^

que par un symbole beaucoup plus compliqué; il aurait fallu par exemple: mener la hauteur partant de A, construire le cercle circonscrit pour

avoir le diamètre rayon 2R, enfin, chercher la quatrième proportionnelle

entre BC, la hauteur, et 2R.

S Dans notre première construction de ^, au lieu de mener les perpen-

diculaires de A sur BC, de A' sur AB et sur AC en plaçant leurs symétriques, j'aurais pu employer la construction classique XX a, et j'aurais

même simplicité, mais exigeant plus de lignes; remarquons, du reste,

2S que je n'aurais pu alors construire — aussi simplement que je l'ai fait.